План-конспект внеклассного мероприятия "Софизмы и Парадоксы"
план-конспект урока по математике

Министерство науки, образования и молодежной политики Нижегородской области

Государственное бюджетное образовательное учреждение «Сормовский механический техникум им. Героя Советского Союза П.А. Семенова»

План-конспект внеклассного мероприятия

«Софизмы и парадоксы Их связь с математической логикой и ораторским искусством)

Цели:

1. Формирование способности обучающихся  к умению связывать различные научные дисциплины. В частности, математическую логику и литературу, ораторское искусство

2. Расширение понятийной базы за счёт включения в неё новых элементов

Задачи

1. Познакомить обучающихся с новыми для них понятиями

2. Научить разбираться в логике высказываний

3. Показать, как математика влияет на другие науки

Ход мероприятия

Преподаватель:

Сегодня мы с вами познакомимся с нематематическими понятиями, которые, однако, имеют самое прямое отношение к математике, а именно, к математической логике. Это софизмы и парадоксы.

Начнем с софизмов

Софизм – это ошибочное утверждение, полученное с помощью рассуждений, которые кажутся правильными, но в действительности содержат ту или иную ошибку

Несмотря на то, что ключевое слово в определении этого понятия «ошибочное», применяются софизмы повсеместно.

В обучении математике, в частности, математической логике, для обучения правильно мыслить, находить ошибки в математических, логических и бытовых рассуждениях

В ораторском искусстве (выступления политиков, различные тренинги личностного роста и т. п.)

А теперь разделитесь на три команды (ряд – это команда), устройтесь поудобнее, и начнем. Вы будете помогать мне разобраться в ошибках, допущенных ораторами, коими могут быть и учителя, и психологи, и политики, да и просто обычные люди.

Итак, начинаем.

Математические софизмы.

2*2=5

Доказательство:

Найдите ошибку в доказательстве. Команда, первая ответившая правильно, получает 1 балл

Ответ: при делении нельзя выносить число за скобку

Софизмы в геометрии

Через любую точку, не лежащую на прямой, проходят 2 перпендикуляра к этой прямой

Где неточность?

Ответ: Через точку В мы проводим дуги одного и того же радиуса, поэтому точки E и D – совпадут

Еще одна задачка

Если a≠b, то a=b

Пусть a и b — произвольные числа. Обозначим их разность буквой c=a-b. Умножим это равенство на (a-b). Раскроем скобки:

ca-cb=a2-2ab+b2 

Далее сгруппируем одночлены следующим образом: 

a2-ab-ac=ab-b2-bc или:

a(a-b-c)=b(a-b-c)

Сократив на (a-b-c) получаем:  a=b, то есть все числа равны.

Найдите ошибку!

Геометрическая задача

Разрежем треугольник на четыре части, как показано на верхней части рисунка, а затем составим из этих частей новый треугольник такой же величины, как показано на нижней части рисунка. От перестановки местами частей общая площадь изменяется на одну клетку!

Как так получилось?

Ответ: острые углы у красного и синего треугольников не равны

Софизмы в жизни

То, что ты не потерял – ты не имеешь

Ты не потерял рога

Вывод: у тебя есть рога

Где ошибка?

Ошибка состоит в том, что первая посылка воспринимается изначально как истинная

Девушка – не человек?)

Доказательство от противного.

Допустим, девушка – человек. Она молодая. Значит, она молодой человек. Молодой человек – это парень. Значит, девушка – не человек

Почему так получилось?

Ответ: Определения, что молодой человек – это парень не было

Софизмы в политике

«Стабильность – это не стояние на месте, не топтание на месте, стабильность - это стабильное развитие. Вот что такое в моем понимании стабильность».

Где логика?

Здесь с точки зрения банальной логики идет подмена понятий. А именно, искусственно изобретенный термин «стабильное развитие».

Люди делятся на две категории: те, которые хотят стабильности, и те, кто готов развиваться. Здесь политик угодил и тем, и другим

К древним временам

В диалоге Платона два брата софиста буквально издеваются над необразованным крестьянином

— Скажи-ка, есть у тебя собака?
— И очень злая.
— А есть ли у нее щенята?
— Да, тоже злые.
— И их отец, конечно, собака же?
— Да, и это тоже мой пес.
— Твой?
— Конечно, мой.
— Значит, этот отец — твой, следовательно, твой отец — собака, и ты брат щенят. 

Где софисты намеренно «ошиблись»?

Назад в будущее

Борис Грызлов:

«Любая атака на партию власти — это удар по нашему государству»

Вам не кажется, что это аналог следующей фразе?

«Любая клевета на ухажера — это удар по девушке, за которой он ухаживает»

Шойгу о своей зарплате и зарплате рядовых сотрудников

Тех, кого интересует большая зарплата, как в брачных объявлениях, просим не обращаться… Если человек, приходя на работу, первым делом задает вопрос «Сколько я буду получать?», то он на порядок уменьшает шансы поступить к нам на работу. Я считаю, что в спасательной среде создан своеобразный дух, атмосфера… 

Вы бы устроились на работу, где начальник вам предлагает коллектив и энтузиазм вместо зарплаты?

В чем уловка?

Шойгу воспользовался тут полемическим приемом («убить собаку»), допустив небольшой переход на личности путем завуалированного намека на меркантильность спрашивающего.

Теперь перейдем к парадоксам

Парадоксом называется суждение, которое может доказать, что суждение одновременно является как ложным, так и истинным.

Парадокс Монти Холла*

Представьте, что перед вами три двери, как показано на рисунке ниже. За двумя дверьми находятся козы, за одной — автомобиль. Надо угадать дверь с автомобилем, и он ваш.

Казалось бы, ничего сложного. Но, как говорилось в одном фильме: «Если бы задача так просто решалась, то армянское радио этим бы не занималось». В своей передаче, после того как участник выбирал дверь, Монти всегда открывал одну из дверей с козой и предлагал ему поменять свой выбор (*). А вы поменяли бы или нет? Почему?

Этот вопрос многих ставит в тупик. Люди обычно думают: «Ну какая разница: остались две двери, и машина может с одинаковой вероятностью 50% оказаться как за одной, так и за другой дверью?». … И оказываются неправы. Правильный ответ — всегда менять первоначальный выбор. Поступая так, вы удваиваете свои шансы на победу.

Удивлены? Такой ответ для многих становится откровением: мало кто ожидает этого. Давайте подробно разберёмся, как так получается.

Итак, вы выбрали одну из трёх дверей. Вероятность того, что машина окажется именно за ней, составляет 1/3. А вероятность того, что она окажется за одной из двух оставшихся (то есть не выбранных вами) дверей, будет 2/3. Это должно быть понятно.

На рисунке у нас наглядно показаны эти вероятности: 1/3 слева и 2/3 справа.

Теперь Монти открывает одну из невыбранных дверей — тех, что справа. И открывает он всегда ту, за которой коза.

Вероятности остаются неизменными: 1/3 слева (ваш первоначальный выбор) и 2/3 справа. Изменилось лишь то, что справа одна дверь теперь открыта, но вероятность для оставшейся неоткрытой двери здесь та же, что была прежде для обеих.

Если не совсем понятно, попробуем объяснить на примере с десятью дверьми.

Выбранная вами дверь будет слева, остальные девять — справа (как на рисунке ниже). Вероятность того, что вы угадали дверь с машиной, будет 1/10. Вероятность того, что вы не угадали и машина окажется за одной из оставшихся девяти дверей, будет 9/10.

Дальше Монти открывает восемь из этих невыбранных девяти дверей, причем за всеми восемью — козы. Как поступить теперь: поменять свой выбор или нет? Конечно, поменять! Ведь теперь восемь из девяти дверей справа открыты, а вероятность того, что машина окажется за оставшейся девятой дверью (как мы уже посчитали ранее), равна 9/10.

Ответ на вопрос станет ещё очевиднее, если представить, что Монти даёт вам возможность открыть не одну оставшуюся справа неоткрытой дверь, а сразу все девять!

Вот и всё. Это так просто! Однако важно не забывать, что всегда есть вероятность проигрыша. Верное решение определяется стратегией. Правильная стратегия — делать так, чтобы шансы на победу были максимальными или хотя бы такими, которые позволяют больше выигрывать, чем проигрывать.

Усложняем задачу

Предположим, Монти хочет усложнить для вас задачу и открывает лишь одну дверь с правой стороны. Как вы поступите теперь: выберите одну из восьми закрытых дверей справа или не станете менять свой выбор?

Здесь придётся кое-что посчитать. Вероятность того, что машина окажется за одной из девяти дверей справа, равна 9/10. Разделим её на количество оставшихся неоткрытыми дверей (8):

Это будет вероятность того, что машина окажется за одной из восьми остающихся закрытыми дверей справа. И она чуть больше вероятности 0,1 (1/10), что первоначально выбранная вами дверь слева окажется с машиной. Поэтому вам всё же предпочтительнее поменять свой выбор, хотя шансы выиграть машину и в этом случае будут очень низкими. По этой же формуле можно посчитать вероятность для любого количества неоткрытых дверей.

Вот и весь парадокс Монти Холла вкратце. Не знаю, можно ли придумать более простое его объяснение? Я лишь выношу на ваш суд свой взгляд, отличный от тех, что изложены в большинстве других объяснений, в которых вы можете тоже почерпнуть много полезного. Надеюсь, что после прочтения статьи вы приблизились к пониманию парадокса Монти Холла.

*Объяснение парадокса взято с сайта https://medium.com/nuances-of-programming/%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9%D1%88%D0%B5%D0%B5-%D0%BE%D0%B1%D1%8A%D1%8F%D1%81%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81%D0%B0-%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D1%82%D0%B8-%D1%85%D0%BE%D0%BB%D0%BB%D0%B0-3732389ed76d

Парадокс Бога

Может ли Всемогущий Бог создать камень, который он не может поднять?

Юмористический парадокс

Кошка и бутерброд

1. Кошка всегда приземляется на лапы

2. Бутерброд всегда падает маслом вниз

Вопрос: Если прилепить скотчем бутерброд к кошачьей спине, что будет?

Парадокс бесконечного отеля

В Нижнем Новгороде построили отель с бесконечным числом номеров

И такая это была прекрасная гостиница, что все номера были заняты.

И однажды дождливой ночью… Приехал еще один постоялец. Как быть портье? Отель бесконечный, заполненный, но с бесконечным количеством номеров.

Как вы думаете, поместится этот постоялец? И что надо сделать, чтоб его поселить?

Надо каждого постояльца переместить из номера n в номер n+1

И тут приезжает туристический автобус с 40 пассажирами.

Как мы их разместим?

Правильно, каждого постояльца перемещаем из номера n в номер n+40

Но и это еще не все. Вот взял и приехал автобус с бесконечным числом пассажиров.

А их мы сможем поселить?

Конечно! Мы переселим постояльца из №1 в №2, из №2 – в №4, и так далее – все бесконечное число постояльцев мы переместим в четные номера, ведь четных чисел – бесконечное количество!

А пассажиров бесконечного автобуса селим в нечетные номера.

Отель стал настолько популярным, что в один прекрасный день к нему подъехало бесконечное число автобусов, каждый из которых – с бесконечным числом пассажиров.

Справимся?

Обязательно! Мы знаем, что простых чисел (это те, которые делятся только на себя и на 1) – бесконечное количество. Поэтому постояльца из №1 мы переселяем в №2 – первое простое число, из №2 – в №22, из №3 – в 23 … №128 в №2128 …

Переходим к первому бесконечному автобусу. И селим пассажиров в степени второго простого числа – 3.

…

7 автобус будет заселяться в степени числа 23

И так далее до бесконечности

Парадокс в том, что после этого останутся еще свободные номера, например, №6, ведь число 6 не является степенью никакого простого числа

Подведение итогов, вручение призов