Открытый урок "Применение производной"
презентация к уроку по математике (11 класс)

Слайд 1

Тема урока: Применение производной к решению практических задач «Теория без практики мертва или бесполезна, практика без теории невозможна или пагубна». А. Н. Крылов

Слайд 2

Воспитательная работа : Расширение кругозора и познавательной деятельности учащихся Развитие логического мышления и умение применять свои знания Техническое обеспечение : Интерактивная доска Компьютер Диск

Слайд 3

обобщить и закрепить применение техники дифференцирования учить работать с теоретическими вопросами темы обобщить, систематизировать знания о производной

Слайд 4

На практике часто решают вопросы на оптимизацию, на выбор наилучшего результат: -организовать производство так, чтобы выпускать больше продукции, -разработать прибор для космического корабля таким, чтобы его масса была наименьшей; -построить сооружения таким образом, чтобы их устойчивость и прочность была наибольшей. На уроке мы рассмотрим некоторые задачи и разберём их решение .

Слайд 5

Повторение основных понятий: 2. Геометрический смысл производной ? 1. Вспомним основное определение производной? 3. Физический смысл производной ?

Слайд 8

Задача №1. Два тела движутся прямолинейно: одно по закону s = t^3 + t^2 - 27t, другое — по закону s = t^2 + 1. Определить момент, когда скорости этих тел окажутся равными

Слайд 9

Применение производной к исследованию функций Признак возрастания (убывания) функции Критические точки функции, максимумы и минимумы Наибольшее и наименьшее значения функции Касательная к графику функции. Уравнение касательной.

Слайд 10

Задача №2 Написать уравнение касательной в точке Х= 1: Y = X^3 – X^2 — 2.

Слайд 11

Заметим , что при определении касательной к кривой и нахождение мгновенной скорости неравномерного движения, по существу, выполняются одни и те же математические операции : -Заданному значению аргумента дают приращение и вычисляют новое значение функции, соответствующее новому значению аргумента. -Определяют приращение функции, соответствующее выбранному приращению аргумента. -Приращение функции делят на приращение аргумента. -Вычисляют предел этого отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Слайд 12

Минутка релаксации:

Слайд 13

Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Умение решать задачи с применением производной требует хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследование различных ситуаций .

Слайд 14

Так как в практических приложениях обычно интересует не только сама функция , но и скорость ее изменения, то производная , будучи характеристикой скорости изменения , функции, имеет самые широкие практические применения в вопросах физики, химии, геометрии и т. д.

Слайд 15

Задача 3. Количество электричества, протекающего через тело Человека при замыкании электрической цепи, задаётся формулой q(t) = 13t^2 + 4t + 1 (Кл). Найдите силу тока опасного для человека в момент времени t = 1 c. Cила тока есть производная I= q*(t) где Δq – положительный электрический заряд, переносимый через сечение проводника за время Δt .

Слайд 16

№4 Тело массой 8 кг движется прямолинейно по закону s = 2t^2+ 3t - 1. Найти кинетическую энергию тела (E=mv^2/2) через 3 секунды после начала движения. Решение: Найдем скорость движения тела в любой момент времени: V = ds / dt = 4t + 3 Вычислим скорость тела в момент времени t = 3: V t=3 = 4 * 3 + 3=15 (м/с). Определим кинетическую энергию тела в момент времени t = 3: mv2 /2=8-15^2 /2=900 (Дж).

Слайд 17

Самостоятельная работа: Задача 5. Количество электричества, протекающего через тело человека при замыкании электрической цепи, задаётся формулой q(t) = 4t^2 + 11,2t (Кл). Найдите силу тока не опасного для человека в момент времени t = 1 c?

Слайд 18

Применение производной в в разных областях науки, техники и жизни Дифференциальное исчисление- это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки, техники и жизни. https://scienceforum.ru/2016/article/2016026525

Слайд 19

Применение производной Формула производной встречается ещё в 15 веке. Великий итальянский математик Тартальи , рассматривая и развивая вопрос - на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия - применяет её в своих трудах. Формула производной часто встречается в работах известных математиков 17 века. Её применяют Ньютон и Лейбниц. Посвящает целый трактат о роли производной в математике известный учёный Галилео Галилей. Затем производная и различные изложения с её применением стали встречаться в работах Декарта, французского математика Роберваля и англичанина Грегори. Большой вклад по изучению производной внесли такие умы, как Лопиталь, Бернулли, Лангранж и др. https://scienceforum.ru/2016/article/2016026525

Слайд 21

Задача № 4 Из круглого бревна диаметром d требуется вырезать стойку прямоугольного сечения с наибольшей площадью. Наибольшая площадь сечения балки необходима для использования большей нагрузки. Пояснения к задаче: Стойка в строительстве Стойка - это вертикальная или наклонная конструкция в проектировании строительных объектов и строительстве, означающее колонну . Применяют деревянные стойки при строительстве различных сельскохозяйственных сооружений , деревянных домов, складов и временных сооружений. Также деревянные стойки нашли широкое применение как опоры для опалубки при возведении монолитных железобетонных конструкций и др.

Слайд 22

Решение 1) Представим математическую модель 2) Введём переменные: х- ширина, у - длина прямоугольника. Выразим у через х по теореме Пифагора: у2 = d 2 - x 2 т.о . У= 3) Выразим площадь прямоугольника S= x· y= x* 4) Найдём производную площади:S ' = 5) Определим критические точки S' =0 6)В точке производная меняет знак с "+" на "-", следовательно это точка максимума. В этой точке площадь прямоугольника будет наибольшей.

Слайд 23

Ответ: Сечение балки должно быть квадратом со стороной .

Слайд 24

Ответ: Сечение балки должно быть квадратом со стороной .

Слайд 25

Вопрос: Какой порядок действий мы использовали для нахождения наибольшего значения величины? При решении задач на нахождение наибольшего (наименьшего) значения придерживались следующего порядка действий: 1) вводили переменную; 2) выражали через эту переменную и известные данные величину , наибольшее значение которой необходимо найти, вводили функцию (площадь прямоугольника); 3) определяли наибольшее значение введённой функции .

Слайд 26

Задача № 6. Для хранения строительных материалов необходимо сделать временное хранилище в форме сварного каркаса, накрытого брезентом. Для изготовления каркаса, имеющего форму правильной четырёхугольной призмы, имеется 36 м металлического прута. Какую необходимо выбрать длину, ширину и высоту каркаса , чтобы под навес уместилось как можно больше строительных материалов ?

Слайд 27

Решение : Применение пространственного каркаса в строительстве получило широкую популярность благодаря преимуществам технологии. Она позволяет сэкономить ресурсы и время на возведение конструкции. Каркасы значительно улучшают крепость железобетонных строений, придают им большую жесткость. Такое армирование предотвращает появление трещин, сколов, деформации. Виды каркасов зависят от способа производства и диаметра металлических прутьев , которые используются. Легкий каркас изготавливается из стержней диаметром от 3 мм, а тяжелый – свыше 12 мм. Производятся они с помощью дуговой или точечной сварки. Пространственный каркас использовать гораздо дешевле, чем плоский. Экономия достигается за счет меньшего количества используемой стали. При этом жесткость конструкции с объемным каркасом не уступает строению с плоским.

Слайд 28

1) Представим математическую модель. 2) Введём переменные: х - сторона квадрата, у- высота каркаса. 3) На весь каркас расходуется 36 м металического прута: 36=8х+4у , 9= 2х+ у, у = 9-2х. 4) Выразим объём четырёхугольной призмы: V= a2 y= x2 (9-2x)=9x2-2x3 . 5) Находим производную объёма: V' = (9x2-2x3)'=18x-6x2 6) Определяем критические точки: V' =0, 18x-6x2=0 , 3х(6-2 x )=0, х=0 и х=3. х=0 не подходит по смыслу задачи, используем х=3. 7) Производная в точке х=3 меняет знак с "+" на "-", следовательно это точка максимума . В этой точке объём призмы будет наибольшим. у=9-2·3= 3, V= a2 y= 32 3=27м2. Ответ: Каркас для навеса должен иметь форму куба с длиной 3 м.

Слайд 29

Самостоятельная работа 1 вариант: Каковы должны быть стороны прямоугольного участка с периметром 120 м, чтобы площадь этого участка была наибольшей? 2 вариант : Прямоугольный участок земли площадью 4 га огораживается забором. Каковы должны быть размеры участка , чтобы площадь была наименьшей? 3 вариант: Проволочной сеткой длиной 240 м надо огородить прямоугольный участок земли . Какие размеры должен иметь участок, чтобы его площадь была наибольшей? 4 вариант: Из квадратного листа картона со стороной а нужно сделать открытую сверху коробку прямоугольной формы, вырезав по краям квадраты и загнув образовавшиеся края (рисунок). Какой должна быть высота коробки, чтобы её объём был наибольшим?

Слайд 30

№8 Тело, масса которого 30 кг, движется прямолинейно по закону s = 4t^2 + t. Доказать, что движение тела происходит под действием постоянной силы. Решение : Имеем s' = 8t+1, s" = 8. Следовательно , a(t) = 8 (м/с^2), т. е. при данном законе движения тело движется с постоянным ускорением 8 м/с^2. Далее , так как масса тела постоянна (30 кг), то по второму закону Ньютона действующая на него сила F= ma = 30*8 = 240 (H)-также постоянная величина.

Слайд 31

Подведение итогов урока Каким вопросам был посвящен урок? Чему научились на уроке? Какие рассмотренные задачи оказались наиболее сложными? Почему?

Слайд 32

Спасибо за внимание! До новых встреч!