Учебно-исследовательская деятельность учащихся при обучении математике
учебно-методический материал по математике (5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класс)

Учебно-исследовательская деятельность учащихся при обучении математике

Учебно-исследовательская работа имеет очень важное значение в развитии творческих способностей учащихся. Ребенок учится наблюдать, анализировать объект, сравнивать, оценивать, находить общее с другими. Умение наблюдать тесно связано с умением видеть проблемы.

Вслед за выявлением проблемы идет поиск ее решения. Поиск решения осуществляется в форме выдвижения догадок или гипотез. Умение выдвигать гипотезы, строить предположение - одно из главных базовых умений исследования. Не любое предположение  можно назвать гипотезой. Но для детских исследований, направленных на развитие творческих  способностей ребенка, наиболее важным является наличие  гипотез и поиск их доказательств.

Изначально гипотеза не истинная и не ложная, она просто не определена. Стоит ее подтвердить, как она становится теорией, стоит опровергнуть, как она превращается в ложное предположение.

Способы проверки гипотез:

- теоретические (логика, анализ имеющихся знаний)

- эмпирические (наблюдения, эксперименты, исследования)

При проверке гипотез может быть организована следующая   деятельность (индивидуальная или групповая):

- дополнительный сбор фактов;

- обоснование известными теоретическими знаниями;

- экспериментальная проверка и наблюдение;

- лабораторная или практическая работа.

В ходе рабочего процесса используется: мозговой штурм, защита выработанных позиций, технология критического мышления, технология «погружений», что  придает работе организованность и поэтапность.

Выводы могут представлять собой новые формулы, правила, свойства рассматриваемых объектов, а также обобщения, методы, способы, алгоритмы деятельности.

Выводы исследовательской деятельности могут быть оформлены в виде устного сообщения, отчета, реферата или доклада, проекта, публикации или изобретения.

Учебно-исследовательские задания

5 класс

Тема: «Умножение десятичных дробей».

Цель: сформулировать правило умножения десятичных дробей.

Задания выполняются по группам.

Ход работы.

Задача. Найдите площадь прямоугольника  со сторонами a дм и b дм. Создаются группы по 4-5 человек, каждая группа получает свои значения a и b.

1. Переведите дециметры в сантиметры или миллиметры, чтобы работать с натуральными числами.

2. Найдите площадь прямоугольника в см2  или мм2.

3. Переведите см2 или мм2 в дм2.

4. Заполните с четвертой по восьмую строку таблицы.

5. Сравните  результаты в таблице,  сформулируйте гипотезы о том, как перемножаются десятичные дроби.
6. Проверьте гипотезы, опираясь на факты таблицы.
7. Сделайте вывод, работая с учебником.

Итог. Ученики формулируют правило умножения десятичных дробей.

6 класс

1. Тема: «Экспериментальное получение числа π».

Цель: найти приближённое значение числа π.

Оборудование: картонные круги  с указанным центром, нитка, линейка.

Создаются группы по 4-5 человек, каждая группа получает комплект кругов с разными радиусами.

Ход работы

1. Проведите и измерьте радиус круга.
2. Вычислите диаметр круга.  
3. С помощью нитки или перекатывая круг вдоль линейки, измерьте длину окружности.
4. Заполните таблицу.

5. Сформулируйте гипотезы об отношении длины окружности  к диаметру.
6. Проверьте гипотезы, работая с учебником.

Итог. Делается вывод, что отношение длины окружности к диаметру есть величина постоянная и получают приближенное значение числа π.

2. Тема: «Осевая симметрия».                                                                       

Цель: ввести понятие оси симметрии для отрезков, треугольников (рассмотреть различные виды треугольников).                                                                 

Оборудование:  проектор,  листы  белой  бумаги  для  каждого учащегося, карандаш,  различные  виды  треугольников: 5 равносторонних, 5 равнобедренных, 5 прямоугольных, 5 разносторонних.

Ход работы.

1. Постройте отрезок AB на листе бумаги.                                                           

2. Перегните лист так, чтобы т.A и т.B совпали.

3. Разверните лист и проведите карандашом линию перегиба. Назовите эту прямую m.

4.  Точку пересечения отрезка AB с  прямой m обозначьте О. Как расположена т.O относительно  прямой m и относительно отрезка AB?  

 5. Возьмите на прямой m точки C, D, K, M. Как записать, что эти точки лежат на прямой m?                                            

 6. Соедините каждую точку с концами отрезка АВ. Что можно сказать о полученных треугольниках AOC и BOC?   Как  это доказать?  

7. Назовите равные элементы в треугольниках AOC и BOC.  

8. Рассмотрим треугольник ADO и BDO. Что можем сказать об этих треугольниках? Назовите равные элементы и в этих треугольниках.  

Итак, мы  видим, что т.A и т.B находятся на одинаковом расстоянии от прямой m, т.е. т.A и т.B равноудалены от прямой m. Прямая m называется  осью симметрии  отрезка AB и треугольника АВД.                                         

8. Что мы можем сказать о длинах отрезков AM и MK? AP и PB?

Итак, любые точки, принадлежащие оси симметрии отрезка AB, равноудалены от его концов.

10. Рассмотрим треугольники  ACB, ADB, AMB, APB. Что делает прямая m с этими треугольниками?  Проверьте гипотезу на различных видах треугольников.

Итог.   Сформулировали определение оси симметрии и проверили симметричность различных видов треугольников.

7 класс

1. Тема: «График уравнения ax+by+c=0».

Цель: выяснить, как расположены в координатной плоскости решения уравнения ax+by+c=0.

Сформулировать алгоритм построения графика этого уравнения.

Оборудование: проектор, инструменты.

Ход работы.

1. Составьте уравнение: ax + by + c = 0.
2. Подберите 5 решений, удовлетворяющих уравнению.
3. Постройте в координатной плоскости точки с координатами (x; y), соответствующими решению уравнения.

4. Выясните, все ли решения мы отметили в координатной плоскости. Проанализируйте, где будут расположены остальные решения.

5. Выдвижение гипотезы, что множеством решений уравнения

ax + by + c = 0 есть множество точек, образующих  прямую.

6. Отметим, что доказательство этой теоремы будет проведено позже в            9 классе.

7. Так как графиком уравнения является прямая, обговаривается количество точек, необходимых для её построения.

Итог. Формулировка алгоритма построения графика уравнения ax + by + c = 0.

2. Тема: «Возведение в квадрат трехчлена».

Цель: вывести формулу возведения трехчлена в квадрат.

Оборудование: тетрадь, ручка, карандаш и линейка.

Ход работы.

1. Постройте квадрат, длина стороны которого равна сумме длин трех  произвольных отрезков a + b + c.
2. Запишите формулу для вычисления площади такого квадрата.
3. Разбейте квадрат на 9 частей, соединив концы отрезков на сторонах  квадрата.

                                               a               b                   с

4. Найдите площади всех частей, занесите данные в таблицу.

Сложите получившиеся результаты и соотнесите с формулой из пункта 2.

5. Сформулируйте свои гипотезы о возведении в квадрат трехчлена.
6. Проверьте гипотезы, используя формулу возведения в квадрат двучлена

,  где .

Итог.   Выводится  формулу возведения трехчлена в квадрат:              

 (а + b + с)2  =  а2 + b2 + с2 + 2аb + 2ас + 2bс.

3. Тема: «Применение метода  перебора».

Цель: научить применять метод перебора при решении задач.

Оборудование: таблица, инструменты.

Задача: Найти все двузначные числа, если сумма квадратов их цифр на 9 меньше первой цифры, умноженной на 4.

Ход работы.

1. Составьте математическую модель:  

2. Выразите из равенства .

3. Занесите в таблицу расчеты при .  Подумайте, почему именно эти значения х?  Всегда ли возможно найти у?

4. Выберите х и у и составьте из них двузначные числа.  Могут ли быть другие двузначные числа, удовлетворяющие решению задачи?

5. Сформулируйте гипотезы о том, когда можно применять данный метод. Какое бы вы дали ему название?

6. Проверьте гипотезы, работая с учебником.

Итог. Установлен  новый метод   при решении задач, в которых конечное число вариантов для неизвестных - метод перебора.

4. Тема: «Взаимное расположение графиков линейных функций».  

Цель: научиться оценивать взаимное расположение графиков линейных функций, не выполняя построения.

Оборудование: таблица, инструменты, карточки с заданиями.

Ход работы.

4. Построить два графика линейной функции y = kx + m в одной системе координат. Задания выполняются по группам.

1. у1= 2х +3;         2 )у1= 2х +3;          3 )у1= х +4;                  

    у2= 2х - 2;            у2= -х +3;              у2= х -3;

 4) у1= х +3;         5) у1=3х -5;           6) у1= -2х;                  

    у2= 0,5х +3;         у2=2х -2;              у2=-2 х +1;

5. Заполнить таблицу.

3. Сделать выводы, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от коэффициентов к и m.  

4.  Проверка полученных выводов с помощью учебника.

Итог. Если к1= к2, m1≠ m2, то прямые у=к1х + m1 и у=к2х + m2 параллельны.         Если к1= к2, m1 = m2, то прямые у=к1х + m1 и у=к2х + m2  совпадают.                       Если к1  ≠ к2,  то прямые у=к1х + m1 и у=к2х + m2   пересекаются.

5. Тема: «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными».

Цель: научиться определять количество решений системы, не находя самих решений.                                                                                            

Оборудование: таблица, инструменты, карточки с заданиями.

Ход работы.                                                                                                            

1.Решить графически систему уравнений  

Задания выполняются по группам.

2.Заполнить таблицу.

3.Сделать выводы, как зависит количество решений системы        
 от коэффициентов  a1, b1, c1, a2, b2, c2.

4.Проверка полученных выводов с помощью доказательства.

Итог. Если, , то система решений не имеет.                            

 Если, , то система имеет бесконечное множество решений.

Если, , то система имеет одно решение.

6. Тема: «Свойства прямоугольного треугольника».

Цель: вывести свойства прямоугольного треугольника.

Оборудование: равносторонний треугольник, вырезанный из бумаги.

Ход работы.

1.Сложите треугольник Δ пополам и определите углы, получившегося треугольника Δ.

2.Сравните длины гипотенузы и катета, лежащего против угла в 30˚

3. Согните острые углы так, чтобы получился четырехугольник.

4. Сформулируйте гипотезы о сумме острых углов прямоугольного треугольника и о катете, лежащем против угла в 30˚.

5.Проверьте гипотезы и сделайте выводы.                                                                  

Итог. Формулируются свойства прямоугольного треугольника:

• сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 900;
• катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 300, равен половине гипотенузы.

8 класс

1. Тема: «Наибольшее значение произведения положительных чисел при их фиксированной сумме».

Цель: определить значения положительных чисел, для которых их произведение будет  наибольшим при фиксированной сумме.

Оборудование: карточки с таблицей, ручка.

Ход работы.

Работа по группам.

1. Представьте данное число в виде суммы двух положительных слагаемых всеми способами.
2. Найдите произведение каждой пары, занесите данные в таблицу.

I группа а+b=8       II группа а+b=10        III группа а+b=12

3. Выберите, при каких значениях a и b произведение наибольшее.
4. Сформулируйте гипотезы о зависимости произведения положительных величин при их фиксированной сумме от значений этих величин.
5. Проверьте истинность гипотез, составив разность между произведением аb, когда a и b различны, и, когда они равны, учитывая, что при равенстве а и b  а+b=2а=2b=к, а=b=к∕2, аb=к2∕4=(а+b)2∕4 . 

Итог.  Делается вывод о том, что  произведение положительных чисел будет наибольшим при их фиксированной сумме, если эти числа будут равны.

2. Тема: «Наименьшее значение суммы положительных чисел при их фиксированном произведении».

Цель: определить при каких значениях положительных чисел их  сумма будет  наименьшая, при фиксированном произведении.

Оборудование: карточки с таблицей, ручка.

Ход работы.

Работа по группам.

1. Представьте данное число в виде произведения  двух положительных множителей  всеми возможными способами.
2. Найдите сумму каждой пары, занесите данные в таблицу.

I группа а×b=64       II группа а×b=100        III группа а×b=36

3. Выберите, при каких значениях a и b сумма получилась минимальная.
4. Сформулируйте гипотезы о зависимости суммы  положительных величин при их фиксированном произведении от значений этих величин.
5. Проверьте истинность гипотез, составив разность между суммой а+b, когда a и b различны, и, когда они равны,  учитывая, что при равенстве а и b  аb = а2 = b2 = к,              а = b = √к, а + b = 2√к = 2√аb.  

Итог. Делается  вывод о том, что сумма положительных чисел будет наименьшей при фиксированном произведении, если эти числа равны.

3. Тема: «Нахождение значения  многочлена».

Цель: вывести правило нахождения значения многочлена с помощью схемы Горнера.

Оборудование: карточки с таблицей.

Ход работы.

Работа по группам.

Дан многочлен

Начертите таблицу и заполните верхнюю строку коэффициентов, внешний столбик, значение х и столбик старшего коэффициента.

1 группа x = 2, 2 группа x = 3, 3 группа x = 6.

1. Преобразуйте многочлен следующим образом:

 и вычислите значение при заданном х.

а) во внутренних скобках;

б) во внешних скобках;

в) конечный результат.

2. Занесите полученные числовые выражения и их значения в таблицу в строку соответствующего столбика а) б) в)

3. Сопоставьте полученные числовые выражения в клетке таблицы с числом стоящим в клетке слева, с «внешним» числом и числом из строки коэффициентов «сверху».

4. Сформулируйте гипотезы нахождения чисел в клетках таблицы.

5. Проверьте ваши гипотезы, сравнив с правилом в учебнике.

Итог.  Научились находить  значения многочлена с помощью схемы Горнера, вывели правило заполнения строк «следующее = левое × внешнее + верхнее».

4. Тема: «Теорема Виета».

Цель: сформулировать теорему Виета.

Оборудование: карточки с заданиями.

Ход работы.

Работа по группам.

1. Решите уравнение x2 + px + q = 0.

1 гр.

2 гр.

3 гр.

4 гр.

5 гр.

6 гр.

2. Заполните таблицу:

3. Найдите закономерность и сформулируйте гипотезы о связи  корней и коэффициентов приведенного квадратного уравнения.

4. Верны ли полученные выводы для уравнения      

                 ax2 + bx + c = 0?

5. Преобразуйте его к виду приведенного квадратного  

    уравнения .

6. Сформулируйте гипотезы  для уравнения ax2 + bx + c = 0.

7. Проверьте гипотезы c помощью доказательства, данного в учебнике.

Итог. Формулируется теорема Виета: Если х1  и  х2 корни уравнения           ах2 + bх + с = 0, то х1 +  х2 = -,  х1 ∙  х2 =.

9 класс

1. Тема: «Теорема синусов».

  Цель: сформулировать теорему синусов.

Оборудование: циркуль, линейка, транспортир, таблицы Брадиса.

Ход работы.

Работа по группам.                              

1. Постройте окружность заданного радиуса:

1 группа R =2см, 2 группа R = 3см, 3 группа R = 4см.

2. Возьмите три произвольные точки  на окружности и постройте треугольник.

3. Измерьте стороны и углы треугольника.

4. Заполните таблицу.

5. Сформулируйте гипотезы об отношении стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

6. Сравните результат с величиной диаметра окружности.

7. Проверьте гипотезы.

Итог.   Формулируется теорема синусов:  и рассматривается ее доказательство по учебнику.

2. Тема: «Уравнение эллипса».

Цель: вывести уравнение построенной кривой.

Оборудование: лист бумаги, кнопки, нитка, карандаш.

Ход работы.

1. На листе воткните две кнопки на расстоянии 12 см друг от друга    (точки А и В).
2. Из нитки длиной 32 см свяжите кольцо и набросьте его на кнопки.
3. Оттягивая нитку карандашом, проведите на листе бумаги замкнутую кривую.
4. Введите систему координат: О (0;0) – середина АВ, Ох – прямая, совпадающая с  АВ, Оу – прямая, проходящая  через (0;0) перпендикулярно Ох.
5. Определите координаты точек А и В в этой системе координат.
6. Для произвольной точки М (х; у) кривой выполняется равенство АМ+ВМ+АВ=32. Чему равно тогда АМ+ВМ?

Выразите АМ + ВМ по формуле расстояния между точками через координаты точек А, М, В.

7. Упростите полученное уравнение:

- перенесите один корень в правую часть,

- возведите в квадрат обе части уравнения,

- приведите подобные слагаемые,

- «уедините» корень и снова возведите в квадрат обе части уравнения,

- еще раз приведите подобные слагаемые,

- разделите обе части уравнения на свободный член,

-представьте числа в знаменателях дробей в виде квадратов.

8. Сравните  полученные в уравнении числа с   координатами точек пересечения кривой с осями.

Сформулируйте гипотезы об уравнении эллипса.

9. Проверьте гипотезы, сравнив с выводом уравнения эллипса в учебнике в общем виде.

Итог. Выводится  уравнение эллипса:   и выясняется  способ определения  а и b.

10 класс

Тема: «Правильные многогранники».

Цель:  установить число правильных многогранников, их названия, их        Эйлерову характеристику, двойственность и место в философии.

Оборудование: развертка выпуклого многогранного угла, набор правильных многогранников, таблицы, ПК, проектор, экран и презентация.

 Ход работы.

Работа состоит из серии исследований.

1 исследование:  определение количества правильных многогранников.

1. Рассмотрите  развертку выпуклого многогранного угла, в его  вершине должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником.                                                                  

2. Сколько может быть углов правильного трех, четырех, пяти, шестиугольника при вершине многранного угла?

3. Составьте и решите в целых числах неравенства:

60к < 360, 90к < 360, 108к < 360,   (к - число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника).

4. Сделайте общий вывод.

2 исследование: установление соотношения между названиями и количеством граней.

5.Посчитайте количество вершин, ребер и граней каждого многогранника и заполните таблицу

6. Определите   название многогранников по числу граней, если в переводе с греческого языка: тетра – 4, гекса -6, окта -8, додека – 12, эйкоси -20.                        

7. Проверьте по слайду, верны ли ваши названия.

3 исследование: определение Эйлеровой  характеристики.

8.Вычислите Эйлерову характеристику по формуле В-Р+Г, что вы замечаете?

9. Сделайте общий вывод.

4 исследование: установление  двойственности многогранников.

10. Представьте, что получится, если построить многогранник, соединив все центры граней у куба, додекаэдра и тетраэдра?

11.  По таблице сравните, у какого многогранника число граней   равно числу вершин другого.

12. Сделайте общий вывод о двойственности многогранников.

13. Сравните по слайду ваши предположения.

5 исследование: ознакомление с правильными многогранниками,  как символами стихий.

14. Определите,  какой из многогранников олицетворял какую сущность или "стихию.

Попробуйте, держа их в руках пофантазировать, если известно, что:.

он символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх,  

он -  воду, т.к. он самый "обтекаемый",  

он - землю, как самый "устойчивый",  

он  - воздух, как самый "воздушный»,  

он - символизировал все мироздание, считался главным.

15. Сравните по слайду ваши предположения.

Итог. Определяется число правильных многогранников и их названия, Эйлерова характеристика, двойственность и место в философии.

11 класс

1. Тема: «Приближенное вычисление площади криволинейной трапеции».

Цель: показать связь вычисления площади криволинейной трапеции с понятием интеграла.

Оборудование: рабочая тетрадь, инструменты.

Ход работы.

Работа по группам.

1. Постройте прямоугольники с заданным шагом и высотами, найдите их площади и сложите.
2. Найдите точное значение площади по формуле Ньютона-Лейбница.
3. Разбейте отрезок [0;1] на 10 равных частей.
4. Через эти точки проведите прямые, перпендикулярные Ох, до пересечения с кривой у=х2   и вычислите значения функции в этих  точках.
5. Постройте график функции у=х2  на отрезке [0;1] (единичный отрезок 10 см)
6. Внесите полученные результаты в таблицу:

7. Сравните полученные площади с точным значением площади  и определите зависимость результата от шага.
8. Сформулируйте гипотезу о вычислении площади криволинейной трапеции.
9. Проверьте гипотезу.

Итог. Вычислили площадь подграфика на отрезке [а; b] способом разбиения всей площади на более мелкие криволинейные трапеции. Установили, что площадь подграфика функции f(х) – одна из первообразной этой функции, т. е. S(х) = ∫ f(х) dх.

2. Тема: «Применение интеграла для вычисления площади криволинейной                   трапеции».

Цель: установить зависимость площади криволинейной трапеции от способа интегрирования.

Оборудование: на рис. изображен график функции , где . Точка Вх и точка Ву  - проекции точки В на оси координат.

Ход работы.

Работа по группам.

1. Запишите в виде интеграла площадь  криволинейной трапеции:

I группа – SOBBx

II группа – SOByB

III группа – OByBBx

2. Запишите  площадь той же криволинейной трапеции  по оси ОУ.
3. С помощью формулы Ньютона-Лейбница вычислите значение  площадей по оси ОХ и по оси ОУ
4. Занесите полученные данные в таблицу:

5. Сравните площади криволинейных трапеций в результате вычисления различными способами.
6. Сформулируйте гипотезы о вычислении S криволинейной трапеции.
7. Проверьте гипотезы.                                                                                                    

Итог.  С помощью формулы Ньютона – Лейбница  

S(х) = F(b)-F(a) = а ∫ b  f(х) dх  установили, что площадь криволинейной трапеции не зависит от способа интегрирования.