Определенный интеграл, его свойства. Способы интегрирования.
презентация к уроку по математике

Слайд 1

Лекция № 9 Определенный интеграл, его свойства. Способы интегрирования.

Слайд 2

Определенный интеграл. Теорема 1. Если функция f ( x ) монотонна на отрезке [ a ; b ], то она интегрируема на этом отрезке. Теорема 2. Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ], то она интегрируема на этом отрезке Если функция f ( x ) интегрируема на отрезке[ a ; b ], то выражение - называется определенным интегралом. Величины a , b называются пределами интегрирования, соответственно а – верхний предел, b – нижний предел.

Слайд 3

Свойства определенных интегралов 1) Для любого действительного числа  (1) 2) Если f ( x ) интегрируема на отрезке [ a ; b ], то для любого действительного числа  функция f ( x 0 также интегрируема на [ a ; b ]. ( 2) 3) Если f ( x ) и g ( x ) интегрируемы на отрезке [ a ; b ], то и сумма f ( x ) + g ( x ) также интегрируема на [ a ; b ]. ( 3)

Слайд 4

4) Если на отрезке [ a ; b ] функция f ( x ) и g ( x ) интегрируемы и f ( x )  g ( x ), то (4) 5 ) Если функция f ( x ) интегрируема на отрезке [ a ; b ], то она интегрируема на любом отрезке, содержащемся в [ a ; b ]. (5) Если a=b, то (6) Если a  b , то (7)

Слайд 5

Теорема . Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ], а функция F ( x ) является первообразной для функции f ( x ) на [ a ; b ], то справедлива формула - формула Ньютона-Лейбница. Способы интегрирования Способы интегрирования Непосредственное интегрирование – применяется для интегрирования простых функций. Сводится к математическим преобразованиям приводящим интеграл к табличному виду и дальнейшему его вычислению с помощью формулы Ньютона-Лейбница. 1) 2 ) 3 )

Слайд 6

Интегрирование методом подстановки (введение новой переменной). Применяется для интегрирования сложных функций. Сводится к выполнению следующих шагов алгоритма: Алгоритм 1) Ввести новую переменную 2) Найти дифференциал переменной равный произведению производной функции на дифференциал аргумента. 3) Вычислить дифференциал аргумента. 4) Изменить границы интегрирования. 5) Подставить введенные величины под знак интеграла. 6) Методом математических преобразований привести интеграл к табличному интегралу и найти значение первообразной.

Слайд 7

7 ) Используя формулу Ньютона-Лейбница найти числовое значение интеграла . Сделаем подстановку: 6∙ x – 5 = t ; Вычислим новые пределы: при x н = 1, t н = 1; x в = 9, t в = 49 . 2) Сделаем замену: ln x = t или x = e t , тогда если x = 1, то t = 0, а если x = e , то t = 1. В результате получим:

Слайд 8

Геометрический смысл определенного интеграла. С позиции геометрии определенный интеграл численно равен площади фигуры ограниченной: сверху (или снизу) — участком графика под-интегральной функции от x = a до x = b ; справа и слева — вертикалями x = a и x = b ; снизу (или сверху) — отрезком b – a оси ОХ. Это свойство определенного интеграла дает возможность через него аналитически определять площади плоских фигур и наоборот, по площадям фигур графически (приблизительно) находить значение определенного интеграла. Задача 1. Определить площадь фигуры (SABCDE), изображенной на рисунке 34.

Слайд 9

Закрепление материала. 1) 2 ) 3) 4 ) 5 )