Первообразная, интеграл
презентация к уроку по математике (11 класс)

Слайд 1

Первообразная. Интеграл. Площадь криволинейной трапеции.

Слайд 2

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка

Слайд 3

Если F(x) – первообразная для функции f(x) на некотором промежутке, то функция F(x)+C также является первообразной функции f(x) на этом промежутке, где C –произвольная постоянная

Слайд 4

Таблица первообразных f(x) F(x) F(x) f(x) f(x) F(x) F(x)

Слайд 5

Правила нахождения первообразных

Слайд 6

Если F(x) – первообразная для функции f(x) , а G(x) – первообразная для функции g(x) , то F(x)+G(x) – первообразная для функции f(x)+g(x) Первообразная суммы равна сумме первообразных

Слайд 7

Если F(x) – первообразная для функции f(x) , а а –константа , то а F(x) – первообразная для функции а f(x) Постоянный множитель можно выносить за знак первообразной

Слайд 8

Если F(x) – первообразная для функции f(x) , а k и b - константы , причем то - первообразная для функции

Слайд 9

Показать, что функция является первообразной для функции Решение:

Слайд 10

Показать, что функция является первообразной для функции Решение:

Слайд 11

Найти первообразные для функции Решение:

Слайд 12

НЕопределенный интеграл – формула Ньютона-Лейбница .

Слайд 13

Определенный интеграл – формула Ньютона-Лейбница . Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, образованной линиями: сверху ограниченной кривой у = f(x), и прямыми у = 0; х = а; х = b.

Слайд 14

Вычисление определенного интеграла

Слайд 15

Площадь криволинейной трапеции a b x y y = f(x) 0 A B C D x = a x = b y = 0

Слайд 16

Площадь криволинейной трапеции (1) a b x y y = f(x) 0 A B C D x = a x = b y = 0

Слайд 17

a b x y y = f(x) 0 y = g(x) A B C D M P Площадь криволинейной трапеции (3)

Слайд 18

Пример 1: вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x 2 , y = x + 2. x y y = x 2 y = x + 2 -1 2 A B O D C 2

Слайд 19

a b x y y = f(x) 0 y = g(x) A B C D с Е Площадь криволинейной трапеции ( 4 )

Слайд 20

Пример 2: 2 8 x y = (x – 2 ) 2 0 A B C D 4 y y = 2 √ 8 – x 4 вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = ( x – 2) 2 , y = 2 √ 8 – x , х = 2, х = 8, у = 0

Слайд 21

вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = ( x – 2) 2 , y = 2 √ 8 – x , х = 2, х = 8, у = 0

Слайд 1

Первообразная раздел Математический анализ

Слайд 2

раздел Математический анализ Элементарные функции Теория пределов Дифференцирование Интегрирование

Слайд 3

Определение производной функции ? Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента , стремиться к нулю.

Слайд 4

Устная работа 1 с os х sin х + 12

Слайд 5

Устная работа

Слайд 6

Используя определение производной функции, решают ряд задач в алгебре, физике, химии. Рассмотрим физический смысл производной . материальная точка s(t) закон движения

Слайд 7

Задача: Точка движется прямолинейно по закону s ( t ) = t 3 + 2 t ( где s ( t ) – измеряется в м). Найдите скорость точки в момент времени t =2с. Решение: v(t) = v (2) = 3t 2 + 2 Ответ: 14 м / с.

Слайд 8

Что мы сделали за часть урока? Повторили определение производной функции и формулы дифференцирования. Решили задачу на применение производной: зная закон движения, нашли скорость при заданном времени. В математике часто приходиться решать обратную задачу: зная скорость найти закон движения.

Слайд 9

Задача: По прямой движется материальная точка, скорость которой в момент времени t задается формулой v ( t ) = 3 t 2 . Найдите закон движения. Решение: Пусть s ( t ) – закон движения надо найти функцию, производная которой равна 3 t 2 . Эта задача решена верно, но не полно. Эта задача имеет бесконечное множество решени й. 3t 2 3t 2 3t 2 3 t 2 можно сделать вывод, что любая функция вида s ( t )= t 3 + C является решением данной задачи, где C любое число.

Слайд 10

При решении задачи, мы, зная производную функции, восстановили ее первичный образ. Эта операция восстановления - операция интегрирования. Востановленная функция – первообразная ( первичный образ функции) Операция дифферен-цирования функция y = F (х) (первообразная) Операция интегри- рования y = f (х) производная

Слайд 11

y = F(x) называют первообразной для y = f(x) на промежутке X, если при x ∈ X F'(x) = f(x) Определение первообразной

Слайд 12

Операция дифферен-цирования функция y = F (х) (первообразная) y = f (х) производная Операция интегри- рования В математике много операций которые являются обратными 3 2 = 9 ? ? Сегодня мы познакомились с новой операцией интегрирование дифференцирование ?

Слайд 13

Запомните: Первообразная – это родитель производной:

Слайд 14

Задача: Найдите все первообразные для функций : f (х)=3 f (х)= х 2 f (х)= cosx f (х)=12 f (х)=х 5 f(x) F(x) 1

Слайд 15

Три правила нахождения первообразных Если функции у= f(x) и у =g(x) имеют на промежутке первообразные соответственно у= F(x) и у= G(x) , то Функция Первообразная у = f(x) + g(x) у = F(x) + G(x) у = k f(x) у = k F(x)

Слайд 17

Самостоятельно Для функции y=f(x) найдите хотя бы одну первообразную:

Слайд 18

Первообразная С какой новой операцией вы познакомились? Подведем итоги урока. Нахождение первообразной функции. Как называется процесс нахождения первообразной функции? Интегрирование. Что значит найти первообразную для функции? Найти первичный образ функции, т.е. вид функции до того как нашли её производную . Интегрирование – это операция, которая является обратной для операции…. дифференцирования.