Числовые ребусы: от простого к сложному
олимпиадные задания по математике (5 класс)

Арифметические (числовые) ребусы – это математические головоломки, примеры обычных арифметических действий, в которых все или большая часть цифр заменены звездочками, кружочками, буквами.

Арифметические ребусы часто встречаются в олимпиадах по математике.

Расшифровать (решить) ребус — это значит восстановить первоначальную запись примера.

При решении задач такого типа требуется внимательность к очевидным арифметическим действиям и умение вести нить логических рассуждений.

Большинство арифметических ребусов — это задачи на сложение, реже встречаются задачи на умножение. Ребусы, содержащие действия вычитания и деления, легко преобразовываются в сложение и умножение. При решении подобных ребусов самым действенным методом является логический перебор, для которого используются правила и некоторые наблюдения для выполнения арифметических действий «столбиком», полученные ещё в начальной школе.

Сформулируем основные правила и идеи решения ребусов:

1. Одинаковые буквы означают одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры.

2. Число не может начинаться с нуля, то есть крайние левые цифры не могут быть равны 0.

3. Если в арифметическом ребусе использовано более 10 букв, то такой ребус не будет иметь решений.

4. Если при сложении сумма имеет большее количество разрядов, чем слагаемые, то сумма начинается с единицы.

5. Минимальная сумма цифр 0+0 = 0, максимальная – 9+9 = 18, а с учётом переноса разрядной единицы: 9+9+1 = 19.

Рассмотрим примеры решения арифметических ребусов. Данные задачи можно использовать для совместного разбора на уроке. Важно показать цепочку рассуждений, ключевые моменты, «зацепки», которые помогут найти все подходящие варианты и отсеять лишние.

Примеры построены так, чтобы отследить логику рассуждений от самых простых правил до полноценного решения ребуса.

Пример 1.

Чему может быть равно П, если П*П=Т?

Решение.

В ребусе используются всего две различные цифры, соответствующие буквам П и Т. Видно, что при умножении двух одинаковых однозначных чисел также получается однозначное число. Опираясь на таблицу умножения, получаем возможные варианты:

0*0=0 и 1*1 = 1 не подходит, так как все цифры одинаковые, что противоречит правилу: разные буквы – разные цифры);

2*2 = 4, 3*3 = 9 – подходящие варианты;

4*4 = 16 и все оставшиеся цифры при умножении дают двузначное число.

Ответ: 2 или 3.

Пример 2.

Дан ребус: ДВА+ДВА=УРА. Чему может быть равна буква Д?

Решение.

При сложении двух трёхзначных чисел получено также трёхзначное число. Делаем вывод: переноса разряда не было. Это значит, что в разряде сотен может стоять 1, 2, 3 или 4 (500+500 = 1000, что уже не допустимо, а также число не может начинаться с нуля).

Замечание. Обратите внимание, что решать ребус не требуется.

Ответ: 1, 2, 3 или 4.

Пример 3.

Верно ли, что в ребусе 7+Б = ВВ буква Б равна 5?

Решение.

Два однозначных числа в сумме образуют двузначное. Заметим, что при этих условиях минимальным является 5+5 = 10, а максимальным – 9+9 = 18.

Двузначное число ВВ состоит их одинаковых цифр, следовательно в диапазоне от 10 до 18 единственный подходящий вариант – 11.

Значит, 7 + Б = 11. Б = 4. Исходное утверждение (буква Б равна 5) неверно.

Замечание. Ответить на вопрос задачи можно обычной проверкой при Б=5: 7+5=12, что не может быть верным, так как цифры в числе должны быть одинаковыми. Однако, чтобы действительно разобрать суть решения ребусов, рекомендуется провести рассуждения так, как в образце.

Ответ: неверно.

Пример 4.

Решите ребус ТИК + ТАК = АКТ.

Решение.

Два трёхзначных числа в сумме дают трёхзначное число, следовательно, на месте буквы Т могут быть 1, 2, 3 или 4. Заметим также, что в разряде единиц К+К = Т, а две одинаковые цифры в сумме образуют чётное число. Значит, для буквы Т остаются всего два варианта: 2 и 4.

Запишем ребус в столбик для удобства

Пусть Т=2.

На месте буквы К может быть 1 или 6 (1+1=2, 6+6=12).

Пусть К=1. При этом переноса единицы в разряд десятков не будет.

В разряде сотен стоит сумма 2+2, которая может быть равна 4, если переноса разряда не было, или 5, если был перенос разрядной единицы.

При А = 4 получить в разряде десятков 1 можно только в случае 7+4 = 11, что дает перенос разряда. Противоречие.

При А=5 получить в разряде десятков 1 можно только в случае 6+5 = 11, что дает перенос разряда. Получаем верное решение

Продолжим перебор случаев. Т=2, К=6. В этом случае в разряд десятков переносится 1.

Пусть А=4, переноса в разряд сотен не было.

В разряде десятков получит 6 с учетом переноса можно так: 1+1+4 = 6. Значит, И=1.

Получен ещё один вариант решения ребуса.

Пусть теперь Т=4.

На месте буквы К может быть 2 или 7.

Пусть К=2. При этом переноса единицы в разряд десятков не будет.

В разряде сотен стоит сумма 4+4, которая может быть равна 8, если переноса разряда не было, или 9, если был перенос разрядной единицы.

При А=8 получить в разряде десятков 2 можно только в случае 4+8 = 12, что дает перенос разряда. Противоречие.

При А=9 получить в разряде десятков 2 можно только в случае 1+2+9 = 12, что дает перенос разряда. При этом И=3, получаем решение ребуса.

Пусть К=7, при этом будет перенос единицы в разряд десятков.

При А=8 получить 7 в разряде десятков можно только так: 1+8+8 = 17, что даёт перенос в разряд сотен и совпадение букв И и А. Противоречие.

При А=9 получить 7 можно так: 1+7+9 = 17, что даёт совпадение букв И и А. Противоречие.

Перебор случаев окончен, других вариантов быть не может.

Замечание. В данном случае в задаче просили решить ребус, чаще всего это означает найти все решения ребуса или доказать, что их нет. В некоторых задачах просят найти хотя бы одно решение ребуса. В таких случаях, об этом пишут в условии задачи.

Ответ: 261+251=512; 216+246=462; 432+492=924.

Задача 5

Решите ребус: АЙ⋅ОЙ=2301. В ответе укажите значение цифры Й.

Решение.

Ребус содержит действие умножение, а значит необходимо разложить число 2301 на множители.

Используя признаки делимости, узнаем, что число делится на 3: 2301 = 3*767.

Разложить число 767 можно методом подбора простых множителей. В итоге получаем: 2301 = 3*13*59.

Заметим, что числа АЙ и ОЙ оканчиваются на одну и ту же цифру, при этом в результате в разряде единиц образуется 1. Это возможно в следующих случаях: 1*1 = 1 или 9*9 = 81.

Так как число 59 – простое, то множители должны оканчиваться на 9. Нетрудно заметить, что 3*13 = 39. То есть, 39*59 = 2301.

Замечание. Определить точное значение букв А и О в данном случае невозможно, либо А=3, О=5, либо А=5, О=3. В данном случае для ответа на вопрос значения букв А и О не требуются. Если бы ребус было необходимо решить полностью, то в ответе получилось бы две комбинации.

Ответ: 9

Вопросы для первичной проверки понимания

Вопрос 1.

Правила решения числовых ребусов (выберите верные утверждения):

• Одинаковые буквы означают одинаковые цифры
• Разные буквы могут быть одинаковыми цифрами
• Число может начинаться с нуля
• Если в числовом ребусе больше 10 разных букв, то такой ребус решить невозможно

Вопрос 2.

Заполни пропуск.

1) Если при умножении некоторого числа на однозначное получено исходное число, то множитель равен ...

2) Если при умножении некоторого числа, не оканчивающегося на нуль, на некоторое однозначное число, получен нуль в младшем разряде произведения, то младший разряд множимого и множителя есть пара чисел, одно из которых …, а другое - число четное.

3) Если при умножении некоторого двузначного числа на некоторое однозначное число, большее 5, полученное произведение - двузначное число, тогда первая цифра множимого равна ….

4) Произведение некоторого числа, не оканчивающегося на нуль, на некоторое нечетное число дает последнюю цифру (букву), равную последней цифре множимого тогда, когда цифра равна …

Вопрос 3.

Необходимо решить ребус ГОД + ФИФА = 2018. Выберите верные утверждения.

• Среди значений букв Г, О, Д, Ф, И, А могут быть цифры 2, 0, 1 и 8.
• Среди значений букв Г, О, Д, Ф, И, А не могут быть цифры 2, 0, 1 и 8.
• Буква Г не может быть цифрой 0.
• Буква Г может быть цифрой 0.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.

1) Чему может быть равно В, если В*В=ДВ?

2) Чему может быть равно В, если Д*В=Д?

Задача 2

1) Дан ребус: ДВА+ДВА=УРА. Чему может быть равна буква А?

2) Дан ребус: ДВА+ДВА=ПЯТЬ. Чему может быть равна буква П?

3) Дан ребус: ТРИ+ТРИ=СЕМЬ. Чему может быть равна буква С?

Задача 3.

1) Верно ли, что в ребусе 7+Б=ВВ буква Б равна 4?

2) Верно ли, что в ребусе 8+А=СС буква С равна 2?

3) Верно ли, что в ребусе 8+А=СС буква С равна 1?

Задача 4.

1) Решите ребус: А + ВВ + А = ССС.

2) Решите ребус: АВС + АВ + А = ВСВ.

Задача 5.

1) Решите ребус: СПОРТ + СПОРТ = КРОСС

2) Решите ребус: ЛЕТО + ЛЕТО = ПОЛЕТ

3) Решите ребус: НИТКА + НИТКА = ТКАНЬ

4) Решите ребус: ВАГОН + ВАГОН = СОСТАВ

Задача 6

1) Решите ребус: АЙ⋅ОЙ=1581. В ответе укажите значение цифры Й.

2) Решите ребус: АЙ⋅ОЙ=2001. В ответе укажите значение цифры Й.

Задача 7.

1) В выражении МАТЕМ + АТИКА каждая буква обозначает цифру, причем разные буквы обозначают разные цифры. Найдите максимально возможное значение этой суммы.

2) Мальвина записала равенство МА · ТЕ · МА·ТИ·КА = 2016000 и предложила Буратино заменить одинаковые буквы одинаковыми цифрами, разные буквы разными цифрами, чтобы равенство стало верным. Есть ли у Буратино шанс выполнить задание или таких замен не существует?

Задача 8

Составь самостоятельно ребус на сложение. В качестве ответа представь числовой ребус и его решение.