презентация Дерево вероятностей
презентация к уроку по математике (10 класс)

Слайд 1

Решите задачи По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет- магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет- магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар . Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся А. верно решит больше 9 задач, равна 0,63. Вероятность того, что А. верно решит больше 8 задач, равна 0,75. Найдите вероятность того, что А. верно решит ровно 9 задач.

Слайд 2

Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 2. Какова вероятность того, что для этого потребовалось три броска? Ответ округлите до тысячных . В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру кофе останется в обоих автоматах.

Слайд 3

Дерево вероятностей

Слайд 4

В главе 2 «Элементы теории графов» мы познакомились с важной разновидностью графов, которые называются деревьями, и научились строить дерево случайного эксперимента. Напомним , что в корне такого дерева находится начальное состояние всего эксперимента, когда никакие действия ещё не производились. Вершинами служат состояния, в которые мы попадаем в процессе проведения эксперимента, а рёбрами — возможные переходы из одного состояния в другое.

Слайд 5

Пример 1. Монету подбрасывают до появления орла, но не больше трёх раз. С какой вероятностью орёл появится ? Договоримся теперь писать на каждом ребре вероятность такого перехода (рис. 77, б). Для нашего примера все эти вероятности будут равны 1 2 . Полученное дерево называют деревом вероятностей.

Слайд 6

По свойству дерева, доказанному ранее, к любой его вершине идет единственная цепь из корня. Она показывает, какая цепочка случайных событий должна произойти, чтобы попасть в данное состояние. Вероятность любого случайного события теперь можно получить, сложив вероятности всех благоприятных для него конечных вершин-исходов. Для события A = «орёл появится» благоприятными являются вершины О, РО, РРО. Найдём их вероятности по правилу умножения и сложим: В этом примере все следующие друг за другом испытания были независимы.

Слайд 7

Пример 2. В ящике лежат 5 спелых груш и 3 неспелых. Соня вытаскивает из него по одной груше до тех пор, пока не вытащит спелую. Какое количество груш, вероятнее всего, будет вынуто из ящика? Чтобы ответить на этот вопрос, нарисуем для данного эксперимента дерево вероятностей (рис. 78). Буква С на нём соответствует спелой груше, а буква Н — неспелой. На рёбрах дерева выписаны условные вероятности каждого очередного события в соответствующей цепочке.

Слайд 8

Теперь можем вычислить вероятность каждого из четырёх возможных исходов. Для этого нужно перемножить все вероятности, написанные на рёбрах от корня до соответствующей вершины: Получаем, что максимальную вероятность имеет исход С, т. е., наиболее вероятно, что спелая груша попадётся Соне с первого раза. Интересно, что так будет всегда, кроме одного случая, когда спелая груша всего одна.

Слайд 9

Пример 3. На заводе микроэлектроники 8% микросхем производятся с браком. Система контроля, через которую проходят все микросхемы, выявляет этот брак с вероятностью 0,95. Какой процент микросхем попадает к заказчику? С какой вероятностью схема, поступившая к заказчику, будет бракованной? Таким образом, благоприятными для события A = «микросхема попадёт к заказчику» будут две вершины дерева: «исправная» и «брак не замечен». Они выделены на дереве цветом.

Слайд 10

Чтобы найти вероятность события A, нужно сложить вероятности этих двух исходов: Таким образом, к заказчику попадает 92,4% произведённых микросхем — все исправные и те бракованные, которые не заметила система контроля. Рассмотрим событие B = «микросхема будет бракованной». Чтобы ответить на второй вопрос, нам нужно вычислить условную вероятность P(B | A). По определению условной вероятности