УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

АДМИНИСТРАЦИИ ГОРОДА МУРАВЛЕНКО

МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЦЕНТР ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ПРОТОН»

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ

ОБЩЕРАЗВИВАЮЩАЯ ПРОГРАММА

 «МАТЕМАТИКА»

(подготовка к олимпиадам)

Направленность: естественнонаучная

Вид деятельности: подготовка к олимпиадам

Уровень программы: продвинутый

Возраст обучающихся: 13-15 лет

Срок реализации: 1 год

Муравленко,

2025

Оглавление

ПАСПОРТ ПРОГРАММЫ        3

Раздел 1. Комплекс основных характеристик образования        5

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА        5

ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ПРОГРАММЫ        8

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ        8

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ        11

Раздел 2. Комплекс организационно-педагогических условий        13

УЧЕБНЫЙ ПЛАН        13

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН        14

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАНА        19

КАЛЕНДАРНЫЙ УЧЕБНЫЙ ГРАФИК        26

УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОГРАММЫ        29

ФОРМЫ АТТЕСТАЦИИ (КОНТРОЛЯ) И ОЦЕНИВАНИЕ ОБУЧАЮЩИХСЯ        32

ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ        35

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ        38

ПРИЛОЖЕНИЯ        39

ПАСПОРТ ПРОГРАММЫ

Раздел 1. Комплекс основных характеристик образования

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Дополнительная общеобразовательная общеразвивающая программа «Математика» (подготовка к олимпиадам) (далее – программа) составлена в соответствии с:

• Федеральным законом «Об образовании в Российской Федерации» от 29.12.2012 № 273-ФЗ (с изм. и доп., далее - ФЗ);
• Федеральным законом РФ от 24.07.1998 № 124-ФЗ «Об основных гарантиях прав ребенка в Российской Федерации» (с изм. и доп.);
• Указом Президента РФ от 07.05.2024 № 309 «О национальных целях развития Российской Федерации на период до 2030 года и на перспективу до 2036 года»;
• Стратегией развития воспитания в РФ на период до 2025 года (распоряжение Правительства РФ от 29 мая 2015 г. № 996-р) (с изм. и доп.);
• Распоряжением Правительства Российской Федерации от 31.03.2022 № 678-р «Об утверждении Концепции развития дополнительного образования детей и признании утратившим силу распоряжения Правительства Российской Федерации от 04.09.2024 № 1726-р» (с изм. и доп.);
• Постановлением Правительства Российской Федерации от 26.12.2017 № 1642 «Об утверждении государственной программы Российской Федерации «Развитие образования» (в редакции от 26 декабря 2024 года и последующих);
• Постановлением Правительства РФ от 11.10.2023 № 1678 «Об утверждении Правил применения организациями, осуществляющими образовательную деятельность, электронного обучения, дистанционных образовательных технологий при реализации образовательных программ»;
• Приказом Министерства просвещения Российской Федерации «Об утверждении Целевой модели развития региональных систем дополнительного образования детей» от 04.09.2019 № 467 (с изм. и доп.);
• Приказом Министерства просвещения Российской Федерации от 13.12.2024 № 883 «Об утверждении методик расчёта государственной программы Российской Федерации «Развитие образования» и федерального проекта «Всё лучшее детям» национального проекта «Молодёжь и дети»
• Приказом Министерства просвещения Российской Федерации от 27.07.2022 № 629 «Об утверждении Порядка организации и осуществления образовательной деятельности по дополнительным общеобразовательным программам»;
• Приказом Министерства труда и социальной защиты РФ от 22.09.2021 № 652н «Об утверждении профессионального стандарта «Педагог дополнительного образования детей и взрослых»;
• Приказом Министерства просвещения Российской Федерации от 03.09.2019 № 467 «Об утверждении Целевой модели развития региональных систем дополнительного образования детей» (с изм. и доп.);
• Приказом Министерства просвещения Российской Федерации от 13.03.2019 № 114 «Об утверждении показателей, характеризующих общие критерии оценки качества условий осуществления образовательной деятельности организациями, осуществляющими образовательную деятельность по основным общеобразовательным программам, образовательным программам среднего профессионального образования, основным программам профессионального обучения, дополнительным общеобразовательным программам»;
• Постановлением Главного государственного санитарного врача РФ от 28 января 2021 № 2 «Об утверждении санитарных правил и норм СанПиН 1.2.3685-21 «Гигиенические нормативы и требования к обеспечению безопасности и (или) безвредности для человека факторов среды обитания» // Статья VI. Гигиенические нормативы по устройству, содержанию и режиму работы организаций воспитания и обучения, отдыха и оздоровления детей и молодежи (Требования к организации образовательного процесса, таблица 6.6);
• Постановлением Главного государственного санитарного врача Российской Федерации от 28.09.2020 № 28 «Об утверждении санитарных правил СП 2.4. 3648-20 «Санитарно-эпидемиологические требования к организациям воспитания и обучения, отдыха и оздоровления детей и молодежи»;
• Протоколом заочного заседания Рабочей группы по дополнительному образованию детей Экспертного совета Министерства просвещения Российской Федерации по вопросам дополнительного образования детей и взрослых, воспитания и детского отдыха от 22.03.2022 от № Д06-23/06пр;
• Письмом Минобрнауки России от 18.11.2015 № 09-3242 «О направлении информации» (вместе с «Методическими рекомендациями по проектированию дополнительных общеразвивающих программ (включая разноуровневые программы)»;
• Постановлением Правительства ЯНАО от 05.12.2019 № 1274-П «Об утверждении Правил персонифицированного учета и персонифицированного финансирования дополнительного образования детей в Ямало-Ненецком автономном округе;
• Постановлением Правительства ЯНАО от 22.09.2023 № 743-П «Об отдельных вопросах реализации дополнительных общеразвивающих программ в соответствии с социальным сертификатом»;
• Приказом Департамента образования Ямало-Ненецкого автономного округа от 01.09.2023 № 769 «О требованиях к условиям и порядку оказания государственной услуги в социальной сфере «Реализация дополнительных общеразвивающих  программ для детей» в Ямало-Ненецком автономном округе в соответствии с социальным сертификатом»;
• Уставом МАУДО «ЦДО «Протон».

Актуальность программы. Математика является фундаментом научно-технического прогресса. Участие в олимпиадах развивает логическое и алгоритмическое мышление, творческие способности и умение решать нестандартные задачи. Данная программа призвана удовлетворить потребность обучающихся в углубленном изучении математики и системной подготовке к олимпиадам различного уровня.

Отличительные особенности программы. Данная программа выделяется углубленным изучением математических тем, значительно превосходящих объем стандартной школьной программы, что позволяет обучающимся осваивать сложные концепции и методы. В рамках программы особое внимание уделяется освоению специализированных приемов и техник, необходимых для успешного решения олимпиадных задач различного уровня сложности. Ключевым аспектом является индивидуальный подход к каждому обучающемуся, направленный на развитие его математической интуиции, логического мышления и креативного подхода к решению задач. Программа также делает значительный акцент на развитии самостоятельности обучающихся, их исследовательских навыков и умения работать в команде, что способствует формированию активной и мотивированной личности, готовой к успешной научной и профессиональной деятельности.

Педагогическая целесообразность программы обусловлена необходимостью создания оптимальных условий для развития математического таланта у обучающихся и формирования у них устойчивого интереса к углубленному изучению математики. Программа позволяет своевременно выявлять и поддерживать одаренных детей, предоставляя им возможность реализовать свой потенциал в интеллектуальной деятельности. Она способствует развитию ключевых компетенций, необходимых для успешной учебы, участия в олимпиадах и дальнейшей самореализации в выбранной профессиональной сфере. Кроме того, программа направлена на формирование у обучающихся таких важных личностных качеств, как целеустремленность, настойчивость, самостоятельность и ответственность, что имеет важное значение для их успешной социализации и адаптации в современном мире.

Новизна программы заключается в интеграции современных образовательных технологий и инновационных подходов к обучению математике. В программе активно используются методы проектной и исследовательской деятельности, позволяющие обучающимся самостоятельно изучать углубленные темы и применять полученные знания на практике. Интерактивные формы обучения, такие как дискуссии, дебаты, мозговые штурмы и работа в малых группах, способствуют развитию коммуникативных навыков и формированию у обучающихся умения аргументированно отстаивать свою точку зрения. Кроме того, в программе применяются элементы дистанционного обучения, что позволяет расширить доступ к образовательным ресурсам и создать гибкую среду для индивидуального обучения. Особое внимание уделяется развитию критического мышления, креативности и способности к самообучению, что делает программу актуальной и востребованной в условиях современного образовательного пространства.

Направленность программы.

Программа относится к естественнонаучной направленности, поскольку способствует формированию научного мировоззрения, развивает навыки логического и аналитического мышления, необходимые для изучения естественнонаучных дисциплин, а также обеспечивает углубленное понимание математических методов, используемых в естественных науках, таких как физика, химия и информатика. Программа также направлена на развитие исследовательских навыков, необходимых для проведения научных исследований и решения прикладных задач в области естественных наук.

Вид деятельности – подготовка к олимпиадам.

Адресат программы. Программа предназначена для занятий с обучающимися 13-15 лет. Наполняемость учебных групп 10-11 обучающихся. Набор в группы осуществляется на свободной основе, по желанию обучающихся, проявляющих интерес заниматься математикой и решать сложные задания.

Срок реализации программы и объем программы.

Объём программы – 144 учебных часа.

Программа рассчитана на 1 год обучения.

Язык реализации программы: русский.

Форма обучения: очная.

Режим занятий:

Продолжительность одного академического часа – 45 минут.

Перерыв между учебными занятиями – 10 минут.

Общее количество часов в неделю – 4 часа.

Занятия проводятся 2 раза в неделю по 2 часа.

ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ПРОГРАММЫ

Цель: математических способностей и формирование системного мышления у обучающихся, а также обеспечение их успешной подготовки к участию и достижению высоких результатов на олимпиадах по математике различного уровня.

Задачи:

1. Сформировать у обучающихся устойчивые навыки применения алгебраических методов и теоретико-числовых концепций для решения широкого круга математических задач, включая уравнения, неравенства, делимость и сравнения.
2. Развить комбинаторное мышление и навыки логического анализа, необходимые для решения задач на подсчет, размещение, выбор элементов, а также задач, требующих применения логических рассуждений, инвариантов и принципа Дирихле.
3. Сформировать прочные знания основных геометрических фактов и методов, развить пространственное воображение и умение применять геометрические преобразования для решения планиметрических и стереометрических задач, а также задач на построение.
4. Совершенствовать навыки решения комплексных олимпиадных задач за счет применения стратегии анализа условия, освоения приемов и методов решения задач повышенной сложности, правильного оформления решений и подготовки к участию в олимпиадах различного уровня.

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Задача 1. Сформировать у обучающихся устойчивые навыки применения алгебраических методов и теоретико-числовых концепций для решения широкого круга математических задач, включая уравнения, неравенства, делимость и сравнения.

В результате реализации первого раздела программы будут достигнуты следующие результаты.

Предметные результаты:

Обучающиеся будут

знать:

• основные алгебраические методы, признаки делимости, понятия модульной арифметики.

уметь:

• решать уравнения и неравенства разных типов, применять признаки делимости, выполнять операции по модулю.

владеть:

• методами решения задач на делимость, сравнения и алгебраические преобразования.

Метапредметные результаты:

• развитие логического и алгоритмического мышления при решении алгебраических и теоретико-числовых задач.

Личностные результаты:

• устойчивый интерес к изучению математики, уверенность в своих математических способностях.

Задача 2. Развить комбинаторное мышление и навыки логического анализа, необходимые для решения задач на подсчет, размещение, выбор элементов, а также задач, требующих применения логических рассуждений, инвариантов и принципа Дирихле.

В результате реализации второго раздела программы будут достигнуты следующие результаты.

Предметные результаты:

Обучающиеся будут

знать:

• основные комбинаторные формулы, принцип Дирихле, понятия инварианта и полуинварианта.

уметь:

• решать задачи на подсчет, размещение, выбор элементов, применять принцип Дирихле и метод инвариантов.

владеть:

методами решения комбинаторных задач и задач, требующих логического анализа.

Метапредметные результаты:

• умение строить логические рассуждения, видеть закономерности и использовать их при решении задач.

Личностные результаты:

• развитие креативности и нестандартного подхода к решению математических задач.

Задача 3. Сформировать прочные знания основных геометрических фактов и методов, развить пространственное воображение и умение применять геометрические преобразования для решения планиметрических и стереометрических задач, а также задач на построение.

В результате реализации третьего раздела программы будут достигнуты следующие результаты.

Предметные результаты:

Обучающиеся будут

знать:

• основные геометрические факты, свойства фигур, методы геометрических преобразований.

уметь:

• решать планиметрические и стереометрические задачи, применять геометрические преобразования, выполнять построения.

владеть:

• методами решения геометрических задач различной сложности.

Метапредметные результаты:

• развитие пространственного воображения, умения анализировать геометрические фигуры и строить логические доказательства.

Личностные результаты:

• повышение интереса к геометрии, развитие геометрической интуиции.

Задача 4. Совершенствовать навыки решения комплексных олимпиадных задач за счет применения стратегии анализа условия, освоения приемов и методов решения задач повышенной сложности, правильного оформления решений и подготовки к участию в олимпиадах различного уровня.

В результате реализации четвертого раздела программы будут достигнуты следующие результаты.

Предметные результаты:

Обучающиеся будут

знать:

• стратегии решения олимпиадных задач, методы анализа условия и выбора оптимального подхода.

уметь:

• решать комплексные олимпиадные задачи, правильно оформлять решения.

владеть:

• навыками успешного участия в олимпиадах по математике.

Метапредметные результаты:

• умение планировать свою деятельность, контролировать процесс решения задач, оценивать полученные результаты.

Личностные результаты:

• повышение уверенности в своих силах, настойчивость в достижении цели, готовность к участию в олимпиадах.

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

Программа направлена на развитие математических способностей обучающихся, формирование системного мышления и подготовку к успешному выступлению на олимпиадах по математике различного уровня. Обучение строится на сочетании теоретического изучения математических концепций и применении их для решения нестандартных задач, развитии логического мышления и математической интуиции, формировании навыков самостоятельной работы и проектной деятельности. Обучающиеся постепенно осваивают ключевые разделы олимпиадной математики, учатся применять эффективные методы и приемы решения нестандартных задач, развивают свои исследовательские и творческие способности. Важной частью программы является подготовка к олимпиадам, включающая анализ условий, разработку стратегии решения, правильное оформление решений и работу над ошибками.

Разделы программы:

1. Алгебра и теория чисел – изучение алгебраических методов и теоретико-числовых концепций. Решение уравнений, неравенств, задач на делимость и сравнения. Применение математической индукции.
2. Комбинаторика и логика – развитие комбинаторного мышления и навыков логического анализа. Решение задач на подсчет, размещение, выбор элементов. Применение принципа Дирихле, инвариантов и логических рассуждений.
3. Геометрия – освоение основных геометрических фактов и методов. Развитие пространственного воображения и умение применять геометрические преобразования для решения планиметрических и стереометрических задач, а также задач на построение.
4. Решение комплексных олимпиадных задач. Подготовка к олимпиадам – совершенствование навыков решения комплексных олимпиадных задач. Разработка стратегии решения, освоение приемов и методов решения задач повышенной сложности, правильное оформление решений, подготовка к участию в олимпиадах различного уровня.

Этапы освоения программы:

I этап – знакомство с основными понятиями и методами алгебры, теории чисел, комбинаторики и геометрии.

II этап – углубленное изучение каждого раздела, решение задач повышенной сложности.

III этап – решение комплексных олимпиадных задач, анализ условий, разработка стратегии решения.

IV этап – подготовка к олимпиадам, участие в пробных турах, работа над ошибками.

Особенности организации образовательного процесса:

Постепенное усложнение материала от простых задач к задачам повышенной сложности.

Сочетание различных форм занятий: лекции, семинары, практические занятия, индивидуальные консультации, работа в группах.

Использование интерактивных методов: решение задач у доски, работа в группах, обсуждение решений, участие в математических играх и конкурсах.

Активное включение обучающихся в проектную и исследовательскую деятельность.

Развитие самостоятельности, творческого подхода и настойчивости в решении задач.

Программа не только формирует у обучающихся прочные знания и навыки в области математики, но и развивает логическое мышление, пространственное воображение, умение решать нестандартные задачи, а также воспитывает настойчивость, целеустремленность и готовность к участию в олимпиадах.

Раздел 2. Комплекс организационно-педагогических условий

УЧЕБНЫЙ ПЛАН

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАНА

Задача 1. Сформировать у обучающихся устойчивые навыки применения алгебраических методов и теоретико-числовых концепций для решения широкого круга математических задач, включая уравнения, неравенства, делимость и сравнения.

В соответствии с поставленной задачей сформулирован следующий раздел программы.

Раздел 1. Сформировать у обучающихся устойчивые навыки применения алгебраических методов и теоретико-числовых концепций для решения широкого круга математических задач, включая уравнения, неравенства, делимость и сравнения (всего 48 ч.: теория 14 ч.; практика 34 ч.)

Модуль 1: Основы математического мышления

Тема 1.1. Вводное занятие. Знакомство с программой. Техника безопасности.

• Теория (1 ч.): Знакомство с целями и структурой курса. Обсуждение формата занятий (лекции, практикумы, проекты). Правила поведения в кабинете, безопасная работа с оборудованием (если предполагается). Критерии успешного освоения курса.
• Практика (1 ч.): Решение несложных разминочных задач на логику и внимательность для знакомства с форматом будущих занятий. Обсуждение и анализ различных подходов к решению.

Тема 1.2. Математический язык и логика.

• Теория (1 ч.): Понятие высказывания. Логические операции: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность. Таблицы истинности. Законы де Моргана.
• Практика (1 ч.): Решение логических задач с помощью таблиц истинности и логических рассуждений.

• Пример задачи: «Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Путешественник встретил двух человек и спросил у одного из них: «Хотя бы один из вас рыцарь?» Тот ответил «Да». Кто они такие?»

Тема 1.3. Простейшие логические задачи.

• Практика (2 ч.): Интенсивное решение широкого круга логических задач: задачи на взвешивание, переправы, истину и ложь (усложненные варианты с тремя персонажами). Использование методов графов, таблиц и последовательных рассуждений.

• Пример задачи: «Как за 2 взвешивания на чашечных весах без гирь найти одну более легкую монету из 8?»

Тема 1.4. Метод математической индукции.

• Теория (1 ч.): Принцип математической индукции. База индукции, индукционный шаг. Разбор классической схемы доказательства на примере суммы первых n натуральных чисел.
• Практика (1 ч.): Доказательство тождеств и неравенств с помощью метода математической индукции.

• Пример задачи: «Докажите, что 1² + 2² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6 для любого натурального n.»

Тема 1.5. Индукция и дедукция.

• Теория (1 ч.): Сравнение индуктивного (от частного к общему) и дедуктивного (от общего к частному) методов рассуждения. Роль гипотез в индукции и аксиом в дедукции.
• Практика (1 ч.): Решение задач, где требуется выдвинуть гипотезу с помощью неполной индукции, а затем доказать ее дедуктивно (часто с помощью математической индукции).

• Пример задачи: «Исследуйте, на какое максимальное количество частей можно разделить плоскость n прямыми. Сформулируйте гипотезу и докажите ее.»

Тема 1.6. Классические применения и типы задач.

• Теория (1 ч.): Обзор классических типов задач, решаемых методом математической индукции: делимость, неравенства, задачи на последовательности и суммирование, геометрические задачи.
• Практика (1 ч.): Решение комбинированных задач, требующих применения индукции в неочевидных ситуациях.

• Пример задачи: «Докажите, что 11^(n+2) + 12^(2n+1) делится на 133 при любом натуральном n.»

Модуль 2: Алгебраический аппарат

Тема 1.7. Задачи с последовательностями.

• Практика (2 ч.): Нахождение формул n-го члена последовательности, заданной рекуррентно. Решение задач на арифметическую и геометрическую прогрессии повышенной сложности. Задачи на суммирование.

• Пример задачи: «Последовательность задана условиями: a₁ = 1, a_(n+1) = a_n + 2n. Найдите a₁₀₀.»

Тема 1.8. Геометрические и комбинаторные задачи.

• Практика (2 ч.): Применение индукции и других методов к решению геометрических (разбиение плоскости, задачи на графы) и комбинаторных (число размещений, комбинаторные тождества) задач.

• Пример задачи: «Докажите, что сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°(n-2).»

Тема 1.9. Тождественные преобразования алгебраических выражений. Основы.

• Теория (1 ч.): Понятие тождества. Формулы сокращенного умножения: вывод и геометрическая интерпретация. Основные приемы: приведение подобных, вынесение за скобки.
• Практика (1 ч.): Преобразование выражений с использованием базовых формул и приемов.

Тема 1.10. Разложение многочленов на множители.

• Теория (1 ч.): Методы разложения на множители: группировка, выделение полного квадрата, использование формул сокращенного умножения (включая суммы и разности степеней), метод неопределенных коэффициентов.
• Практика (1 ч.): Разложение многочленов на множители различными методами.

Тема 1.11. Преобразование целых выражений.

• Практика (2 ч.): Комбинированное применение всех изученных методов для упрощения сложных целых алгебраических выражений. Доказательство тождеств.

• Пример задачи: «Упростите выражение (a² - b²)³ + (b² - c²)³ + (c² - a²)³ / (a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³.»

Тема 1.12. Применение и нестандартные задачи на преобразования.

• Теория (1 ч.): Применение алгебраических преобразований для решения уравнений, доказательства неравенств, задач на делимость. Симметрические и однородные выражения.
• Практика (1 ч.): Решение нестандартных задач, где ключевым шагом является искусственное преобразование выражения.

• Пример задачи: «Докажите, что если x + y + z = 0, то x³ + y³ + z³ = 3xyz.»

Модуль 3: Уравнения, неравенства и текстовые задачи

Тема 1.13. Решение уравнений: методы замены.

• Практика (2 ч.): Решение уравнений методом введения вспомогательной переменной: возвратные уравнения, однородные уравнения, уравнения вида af(x) + bf(x) = c.

• Пример задачи: «Решите уравнение (x² + x + 1)(x² + x + 2) = 12.»

Тема 1.14. Решение уравнений: разложение на множители.

• Теория (1 ч.): Метод разложения на множители как основной метод решения уравнений. Приемы: группировка, вынесение общего множителя, использование формул.
• Практика (1 ч.): Решение уравнений, сводящихся к виду f(x)*g(x)=0.

Тема 1.15. Уравнения в целых числах (диофантовы уравнения).

• Теория (1 ч.): Понятие диофантовы уравнения. Методы решения: разложение на множители, оценка выражений, перебор остатков, использование неравенств.
• Практика (1 ч.): Решение линейных и нелинейных уравнений в целых числах.

• Пример задачи: «Решите в целых числах уравнение x² - y² = 2023.»

Тема 1.16. Решение неравенств.

• Теория (1 ч.): Основные свойства числовых неравенств. Линейные и квадратные неравенства. Метод интервалов (напоминание).
• Практика (1 ч.): Решение стандартных неравенств.

Тема 1.17. Метод интервалов.

• Практика (2 ч.): Применение метода интервалов для решения рациональных неравенств высокой степени, содержащих кратные корни. Нестрогие и строгие неравенства.

Тема 1.18. Нестандартные неравенства.

• Теория (1 ч.): Идеи доказательства неравенств: использование очевидных неравенств (x² ≥ 0), метод выделения полного квадрата.
• Практика (1 ч.): Доказательство классических неравенств (например, Коши для двух чисел) и их применение.

• Пример задачи: «Докажите, что для положительных a и b выполняется неравенство (a+b)/2 ≥ √(ab).»

Тема 1.19. Текстовые задачи на движение и работу.

• Теория (1 ч.): Основные модели: движение навстречу и вдогонку, движение по окружности, совместная работа. Составление уравнений на основе этих моделей.
• Практика (1 ч.): Решение задач повышенной сложности на составление систем уравнений.

• Примеры стандартных задач:

1. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов A и B. После встречи первый проехал до пункта B еще 12 часов, а второй до пункта A – еще 3 часа. Сколько времени каждый из них был в пути?

• Примеры олимпиадных задач:

1. (Задача на движение по замкнутой трассе) Два бегуна стартуют одновременно из одной точки круговой дорожки и бегут в одном направлении. Скорость первого на 20% больше скорости второго. Через 30 минут им впервые снова оказаться вместе. За какое время второй бегун пробегает один круг?
2. (Задача с "исчезающим" параметром) Турист проплыл по реке на лодке 90 км, а затем прошел пешком 10 км. На пеший путь он затратил на 4 часа меньше, чем на путь по реке. Найдите скорость туриста пешком и на лодке, если известно, что пешая скорость была на 4 км/ч меньше скорости лодки по течению, а скорость лодки в стоячей воде равна 12 км/ч.

Тема 1.20. Текстовые задачи на проценты, смеси и сплавы.

• Теория (1 ч.): Формулы для расчета процентов, концентрации вещества. Алгоритм решения задач на смеси и сплавы с помощью таблиц (столбцы: "Масса/Объем", "Процентное содержание", "Масса чистого вещества"). Стандартные приемы: определение "базиса" для процентов (от чего считать), учет изменений массы при смешивании (например, выпаривание воды).
• Практика (1 ч.): Решение комплексных задач на изменение концентрации при последовательных переливаниях, смешивании нескольких компонентов и задачи, сводящиеся к уравнениям в целых числах.

• Примеры стандартных задач:

1. Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 30%, а во втором – 55% золота. В каком отношении нужно взять первый и второй сплавы, чтобы получить новый сплав, содержащий 40% золота?

• Примеры олимпиадных задач:

1. (Задача на последовательные переливания) В сосуде объемом 10 литров содержится 20%-й раствор соли. Из сосуда вылили 2 литра раствора и долили 2 литра воды. После этого из сосуда снова вылили 2 литра смеси и долили 2 литра воды. Какая концентрация соли получилась в сосуде в итоге? (Решить в общем виде: объем V, начальная концентрация C, объем переливаемой части x).
2. (Комбинированная задача на проценты и подбор) Цену товара сначала повысили на 20%, затем новую цену повысили еще на 15% и, наконец, после перерасчета цену снизили на 25%. На сколько процентов окончательная цена отличается от первоначальной? Существует ли такая последовательность изменений цены (двух повышений и одного понижения на целое число процентов), чтобы в результате цена не изменилась?

Тема 1.21. Признаки делимости.

• Теория (1 ч.): Повторение и углубление известных признаков делимости (на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11). Вывод признаков делимости через представление числа в виде суммы разрядных слагаемых. Изучение редких признаков (на 7, 13, 19, 25, 125) по аналогичному принципу. Общая идея: возможность замены исходного числа на более короткое, сравнимое с ним по модулю делителя.
• Практика (1 ч.): Решение комбинированных задач на применение нескольких признаков одновременно.

• Пример задачи 1: «Найдите все пятизначные числа вида 34x5y, которые делятся на 36.»
• Пример задачи 2: «Делится ли число 123456789 на 7? Докажите свой ответ, используя соответствующий признак.»
• Пример задачи 3: «Из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 составили число, которое делится на 4. Затем цифры числа переставили так, что оно стало делиться на 15. Могло ли оно после этого снова делиться на 4?»

Тема 1.23. Основы теории сравнений: остатки и цикличность.

• Теория (1 ч.): Понятие сравнения по модулю (a ≡ b (mod m)). Свойства сравнений: возможность почленно складывать, вычитать и умножать сравнения. Решение простейших линейных сравнений. Идея полной системы вычетов. Анализ цикличности последних цифр степеней чисел как практическое применение теории сравнений.
• Практика (1 ч.): Решение задач на нахождение остатков от деления больших чисел, доказательство делимости с помощью сравнений.

• Пример задачи 1: «Найдите остаток от деления числа 2^2023 на 7.»
• Пример задачи 2: «Докажите с помощью сравнений, что число 17 * 5^(2n+1) + 2^(4n+1) делится на 7 при любом натуральном n.»
• Пример задачи 3: «Какой цифрой оканчивается число 7^(7^7)?»

Тема 1.24. Модульная арифметика: ключевые теоремы и методы.

• Теория (1 ч.): Теорема Эйлера и Функция Эйлера (понятие и вычисление для простых чисел и их степеней). Малая теорема Фабра/Ферма как частный случай теоремы Эйлера. Понятие сравнений по простому модулю и их свойства (сокращение на число, взаимно простое с модулем). Метод решения систем сравнений (китайская теорема об остатках) на простейших примерах.
• Практика (1 ч.): Решение более сложных олимпиадных задач, требующих применения ключевых теорем.

• Пример задачи 1: «Найдите остаток от деления числа 3^100 на 16.»
• Пример задачи 2: «Решите систему сравнений: x ≡ 2 (mod 5), x ≡ 3 (mod 7).»
• Пример задачи 3: «Докажите, что n^5 - n делится на 30 при любом целом n.»

Задача 2. Развитие у учащихся комбинаторного мышления, формирование умения применять правила суммы и произведения для подсчета количества различных комбинаторных объектов (перестановок, сочетаний, размещений), а также освоение основных понятий и методов теории графов, инвариантов и принципа крайнего для решения широкого круга комбинаторных задач.

В соответствии с поставленной задачей сформулирован следующий раздел программы.

Раздел 2. КОМБИНАТОРИКА И ЛОГИКА (всего 36 ч.: теория 10 ч.; практика 24 ч.)

Тема 2.1. Введение в комбинаторику.

• Теория (1 ч.): Что такое комбинаторика? Основные понятия: комбинаторные конфигурации, конечные множества. Основные принципы: правило суммы (если объект можно выбрать m способами, а другой - n способами, и эти выборы не пересекаются, то выбор "A или B" осуществляется m+n способами) и правило произведения (если объект состоит из двух частей, и первую часть можно выбрать m способами, а вторую - n способами, то весь объект можно выбрать m·n способами).
• Практика (1 ч.): Решение простейших задач на прямое применение правил суммы и произведения.

• Пример задачи: «Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5?»

Тема 2.2. Правила суммы и произведения. Комбинаторные задачи.

• Практика (2 ч.): Решение более сложных задач, требующих одновременного и многоступенчатого применения правил суммы и произведения.

• Пример олимпиадной задачи 1: «Сколько существует 6-значных чисел, в записи которых есть хотя бы одна чётная цифра?»
• Пример олимпиадной задачи 2: «Сколько можно составить четырёхбуквенных слов из букв слова КАРЕТА?»

Тема 2.3. Комбинаторные конфигурации. Формулы перестановок, размещений, сочетаний.

• Теория (1 ч.): Вывод формул:

• Перестановки (Pₙ = n!): Число способов упорядочить n различных объектов.
• Размещения (Aₙᵏ = n!/(n-k)!): Число способов выбрать k объектов из n и упорядочить их.
• Сочетания (Cₙᵏ = n!/(k!(n-k)!): Число способов выбрать k объектов из n (порядок не важен).

• Практика (1 ч.): Решение задач на определение типа конфигурации и применение соответствующей формулы.

• Пример задачи: «Сколькими способами можно выбрать 3 дежурных из 10 человек? А если один из них должен быть старшим?»

Тема 2.4. Решение комбинаторных уравнений.

• Теория (1 ч.): Уравнения, связывающие факториалы, размещения и сочетания (например, Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ, Aₙᵏ = k!·Cₙᵏ). Методы решения: разложение на множители, подбор.
• Практика (1 ч.): Решение уравнений и систем уравнений с комбинаторными величинами.

• Пример олимпиадной задачи: «Решите уравнение: Cₓ⁴ = Aₓ³»

Тема 2.5. Комбинаторные тождества.

• Теория (1 ч.): Основные тождества: свойство симметрии сочетаний (Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ), рекуррентное соотношение (Cₙᵏ = Cₙ₋₁ᵏ⁻¹ + Cₙ₋₁ᵏ). Комбинаторные доказательства (на основе интерпретаций).
• Практика (1 ч.): Доказательство тождеств комбинаторным и алгебраическим методами.

• Пример олимпиадной задачи: «Докажите тождество: Cₙ⁰ + Cₙ¹ + Cₙ² + ... + Cₙⁿ = 2ⁿ»

Тема 2.6. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля.

• Теория (1 ч.): Формула бинома Ньютона: (a+b)ⁿ = Σ Cₙᵏ·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ. Связь коэффициентов бинома с треугольником Паскаля. Свойства строк и диагоналей треугольника Паскаля.
• Практика (1 ч.): Нахождение коэффициентов в разложении бинома, суммы биномиальных коэффициентов.

• Пример олимпиадной задачи: «Найдите коэффициент при x⁵ в разложении (2-3x)⁸.»

Тема 2.7. Комбинаторика в геометрии.

• Теория (1 ч.): Применение комбинаторики к геометрическим объектам: число отрезков, треугольников, многоугольников, образованных набором точек на плоскости; число точек пересечения диагоналей в выпуклом многоугольнике.
• Практика (1 ч.): Решение геометрико-комбинаторных задач.

• Пример олимпиадной задачи 1: «На окружности отмечено 10 точек. Сколько существует различных выпуклых четырёхугольников с вершинами в этих точках?»
• Пример олимпиадной задачи 2: «Сколько диагоналей в выпуклом двадцатиугольнике?»

Тема 2.8. Принцип Дирихле и его применение.

• Теория (1 ч.): Классическая формулировка: «Если n кроликов рассажены в m клеток, и n > m, то хотя бы в одной клетке сидит не менее [n/m] + 1 кроликов». Общая идея: установление существования объекта, обладающего определённым свойством.
• Практика (1 ч.): Решение стандартных задач на принцип Дирихле.

• Пример задачи: «Докажите, что в Москве есть два человека, у которых одинаковое число волос на голове.»

Тема 2.9. Принцип Дирихле в геометрии: для площадей и объемов. Задачи на раскраски и разбиения.

• Теория (1 ч.): Обобщение принципа: если площадь фигуры больше площади области, в которую её помещают, то хотя бы две точки фигуры попадут в одну часть разбиения. Метод раскраски как способ применить принцип Дирихле.
• Практика (1 ч.): Решение геометрических задач.

• Пример олимпиадной задачи 1 (раскраска): «Докажите, что квадрат 4x4 нельзя разрезать на "уголки" из трёх клеток так, чтобы они не перекрывались.»
• Пример олимпиадной задачи 2 (площади): «В квадрате площади 5 расположены 9 точек. Докажите, что найдутся 3 из них, образующие треугольник площадью не более 0.5.»

Тема 2.10. Графы: основные понятия, свойства, задачи.

• Теория (1 ч.): Определение графа (вершины, рёбра). Виды графов: полный, двудольный, связный. Степень вершины. Лемма о рукопожатиях (сумма степеней всех вершин чётна).
• Практика (1 ч.): Решение задач на моделирование ситуации с помощью графов.

• Пример олимпиадной задачи: «Может ли в государстве, где из каждого города выходит 3 дороги, быть ровно 100 дорог?»

Тема 2.12. Введение в инварианты. Простейшие примеры.

• Теория (1 ч.): Понятие инварианта — величины, которая не меняется при заданных преобразованиях объекта. Примеры: чётность суммы чисел, остаток от деления, раскраска.
• Практика (1 ч.): Решение простых задач на инвариант.

• Пример задачи: «На доске написаны числа 1,2,...,100. Разрешается стереть любые два числа и написать их разность. Какое число может остаться на доске после 99 таких операций?»

Тема 2.13. Инварианты, связанные с делимостью и полуинварианты. Комбинированные инварианты.

• Теория (1 ч.): Полуинвариант — величина, которая монотонно изменяется (убывает или возрастает), что позволяет доказать окончание процесса. Комбинирование нескольких инвариантов.
• Практика (1 ч.): Решение сложных задач.

• Пример олимпиадной задачи 1 (полуинвариант): «На доске написано число 10!. Разрешается заменить число n на число n-1. Можно ли получить число 1?»
• Пример олимпиадной задачи 2 (комбинированный инвариант): «На шахматной доске расставлены фишки. Разрешается убирать фишку с клетки, если на соседних по горизонтали и вертикали клетках есть фишки. Можно ли убрать все фишки, оставив одну?»

Тема 2.14. Основы логики и таблицы истинности.

• Теория (1 ч.): Логические операции (И, ИЛИ, НЕ, импликация, эквивалентность). Построение таблиц истинности для сложных высказываний. Законы де Моргана.
• Практика (1 ч.): Определение истинности высказываний, анализ логических задач.

• Пример задачи: «Какие из следующих высказываний логически эквивалентны: "Если идет дождь, то я остаюсь дома" и "Если я не остаюсь дома, то дождь не идёт"?»

Тема 2.15. Множества и диаграммы Эйлера-Венна.

• Теория (1 ч.): Операции над множествами: объединение, пересечение, разность, дополнение. Решение задач с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Формула включений-исключений для двух и трёх множеств.
• Практика (1 ч.): Решение задач на подсчёт элементов множеств.

• Пример олимпиадной задачи: «В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 — в биологическом, 10 не посещают кружки. Сколько ребят занимаются и математикой, и биологией?»

Тема 2.16. Принцип крайнего.

• Практика (2 ч.): Стратегия решения задач: рассмотреть "крайний" объект (наибольший, наименьший, самый левый и т.д.) и вывести из его свойств противоречие или нужное утверждение.

• Пример олимпиадной задачи 1: «Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде суммы нескольких различных степеней числа 2.»
• Пример олимпиадной задачи 2: «В стране несколько городов, некоторые соединены авиарейсами. Докажите, что найдётся город, из которого выходит не более одного рейса.»

Тема 2.17. Задачи на взвешивание.

• Практика (2 ч.): Задачи на нахождение фальшивой монеты с помощью рычажных весов за минимальное число взвешиваний. Стратегии для случаев, когда фальшивая монета легче/тяжелее, и когда это неизвестно.

• Пример олимпиадной задачи 1: «Среди 12 монет есть одна фальшивая, которая отличается по весу. Как за 3 взвешивания на чашечных весах найти фальшивую монету и определить, легче она или тяжелее?»
• Пример олимпиадной задачи 2: «Есть 8 монет, одна из которых фальшивая и легче. Как её найти за 2 взвешивания?»

Тема 2.18. Задачи на переливание и разрезание.

• Практика (2 ч.): Моделирование процессов переливания. Задачи на разрезание фигур на равные по площади или форме части. Метод инвариантов для доказательства невозможности.

• Пример олимпиадной задачи 1 (переливание): «Как отмерить 6 литров воды, имея сосуды вместимостью 9 и 4 литра?»
• Пример олимпиадной задачи 2 (разрезание): «Можно ли шахматную доску 8x8 разрезать на прямоугольники 3x1?»

Задача 3. Формирование у учащихся прочных знаний о геометрических фигурах и их свойствах, развитие умения применять различные методы доказательства в геометрии, освоение геометрических преобразований, а также формирование навыков решения задач на построение и вычисление площадей и объемов геометрических тел, с целью развития пространственного воображения и геометрической интуиции.

В соответствии с поставленной задачей сформулирован следующий раздел программы.

Раздел 3. ГЕОМЕТРИЯ (всего 42 ч.: теория 12 ч.; практика 30 ч.)

Тема 3.1. Введение в олимпиадную геометрию.

• Теория (1 ч.): Особенности олимпиадных задач по геометрии. Основные объекты, языки и методы: синтетическая геометрия, метод ключевых точек, дополнительные построения. Важность точного чертежа. Обзор основных теорем школьного курса, наиболее востребованных на олимпиадах.
• Практика (1 ч.): Разбор 1-2 классических олимпиадных задач, демонстрирующих красоту и неочевидность геометрических идей.

• Пример задачи: «Докажите, что в любом треугольнике сумма медиан больше периметра, но меньше полупериметра.»

Тема 3.2. Основные факты и свойства олимпиадной геометрии.

• Практика (2 ч.): Интенсивное решение задач на применение "букета" теорем: теорема Пифагора, теорема косинусов, теорема синусов, теорема о пропорциональных отрезках, свойства биссектрисы и медианы.

• Пример олимпиадной задачи 1: «В остроугольном треугольнике ABC высоты AA₁ и BB₁ пересекаются в точке H. Найдите угол C, если известно, что AB = AH.»
• Пример олимпиадной задачи 2: «В треугольнике ABC биссектриса угла A делит противоположную сторону на отрезки 3 и 5. В каком отношении медиана, проведенная из вершины B, делит эту биссектрису?»

Тема 3.3. Треугольники: замечательные точки и линии.

• Теория (1 ч.): Определения и свойства четырех замечательных точек треугольника: точка пересечения медиан (центроид), биссектрис (инцентр), серединных перпендикуляров (центр описанной окружности, циркумцентр), высот (ортоцентр). Теорема Чевы и теорема Менелая как мощные инструменты для доказательства конкурентности точек и коллинеарности.
• Практика (1 ч.): Задачи на доказательство свойств замечательных точек с помощью Чевы и Менелая.

• Пример задачи: «С помощью теоремы Чевы докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.»

Тема 3.4. Точка пересечения медиан (центроид). Точка пересечения биссектрис (инцентр).

• Теория (1 ч.): Центроид: свойство деления медиан в отношении 2:1. Инцентр: центр вписанной окружности, свойство биссектрисы делить противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Формулы для нахождения длин биссектрис.
• Практика (1 ч.): Задачи на вычисление и доказательство, связанные с центроидом и инцентром.

• Пример олимпиадной задачи: «В треугольнике ABC со сторонами AB=13, BC=14, AC=15 проведена биссектриса BD. Найдите расстояние от центра масс треугольника до вершины B.»

Тема 3.5. Точка пересечения серединных перпендикуляров (циркумцентр) и высот (ортоцентр).

• Теория (1 ч.): Циркумцентр: центр описанной окружности. Ортоцентр: точка пересечения высот. Свойство симметрии: в остроугольном треугольнике ортоцентр является инцентром ортотреугольника. Теорема о прямой Эйлера (ортоцентр, центроид и циркумцентр лежат на одной прямой).
• Практика (1 ч.): Задачи на свойства описанной окружности, высот и прямой Эйлера.

• Пример олимпиадной задачи 1: «Докажите, что в остроугольном треугольнике основания высот являются вершинами другого треугольника, биссектрисы которого лежат на исходных высотах.»
• Пример олимпиадной задачи 2: «В треугольнике ABC угол C равен 60°. Докажите, что центр описанной окружности и ортоцентр симметричны относительно стороны AB.»

Тема 3.6. Окружность.

• Теория (1 ч.): Касание окружности и прямой. Свойство радиуса, проведенного в точку касания. Центральные и вписанные углы. Теорема о вписанном угле и ее следствия (угол, опирающийся на диаметр — прямой).
• Практика (1 ч.): Задачи на базовые свойства окружностей.

• Пример задачи: «Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке E. Докажите, что AE·EB = CE·ED.»

Тема 3.7. Касательные, хорды, секущие.

• Практика (2 ч.): Теорема о квадрате касательной. Теорема о произведении отрезков секущих. Теорема о степени точки относительно окружности. Решение сложных задач.

• Пример олимпиадной задачи 1: «Из точки A вне окружности проведены касательная AB (B — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках C и D (C между A и D). Найдите AD, если AB=4, AC=2.»
• Пример олимпиадной задачи 2: «Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены прямые, вторично пересекающие окружности в точках C и D. Докажите, что угол CBD постоянен.»

Тема 3.8. Вписанные и описанные углы.

• Практика (2 ч.): Угол между касательной и хордой. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Задачи на нахождение геометрических мест точек, из которых отрезок виден под данным углом.

• Пример олимпиадной задачи 1: «В окружности проведены хорды AB и CD. Их продолжения пересекаются в точке E. Докажите, что треугольники AED и CEB подобны.»
• Пример олимпиадной задачи 2: «Найдите геометрическое место точек, из которых данный отрезок AB виден под углом 45°.»

Тема 3.9. Четырехугольники и их свойства.

• Теория (1 ч.): Свойства параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата, трапеции. Свойства и признаки вписанных и описанных четырехугольников (суммы противоположных углов, суммы противоположных сторон).
• Практика (1 ч.): Задачи на применение свойств.

• Пример задачи: «Докажите, что у вписанного четырехугольника суммы противоположных углов равны 180°.»

Тема 3.10. Признаки четырехугольников. Решение задач.

• Практика (2 ч.): Задачи на доказательство того, что фигура является определенным четырехугольником. Комбинированные задачи.

• Пример олимпиадной задачи 1: «В окружность вписан четырехугольник ABCD. Известно, что AB = CD. Докажите, что AC > BD тогда и только тогда, когда BC < AD.»
• Пример олимпиадной задачи 2: «Докажите, что если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.»

Тема 3.11. Площади фигур. Площади многоугольников.

• Теория (1 ч.): Формулы площадей треугольника (через основание и высоту, Герона, через две стороны и синус угла), параллелограмма, трапеции, ромба. Понятие площади как инварианта.
• Практика (1 ч.): Вычисление площадей по формулам.

• Пример задачи: «Выведите формулу Герона для площади треугольника.»

Тема 3.12. Методы вычисления и сравнения площадей.

• Практика (2 ч.): Метод вспомогательных площадей (нахождение отношений отрезков через отношения площадей). Принцип "общей высоты" или "общего основания".

• Пример олимпиадной задачи 1: «В треугольнике ABC на сторонах AB, BC и CA взяты точки C₁, A₁ и B₁ соответственно. Отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке O. Докажите, что AO/OA₁ = (S_{ABO} + S_{ACO}) / S_{BOC}.»
• Пример олимпиадной задачи 2: «В треугольнике ABC точка M — середина BC. На стороне AC взята точка K так, что AK:KC=1:2. В каком отношении прямая BK делит медиану AM?»

Тема 3.13. Равновеликие и равносоставленные фигуры.

• Практика (2 ч.): Теорема Пика (для решетчатых многоугольников). Задачи на разрезание и перекраивание фигур. Доказательство равновеликости с помощью добавления и вычитания равных площадей.

• Пример олимпиадной задачи 1: «Докажите, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.»
• Пример олимпиадной задачи 2: «Докажите, что три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.»

Тема 3.14. Отношение площадей подобных фигур.

• Теория (1 ч.): Теорема: отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Применение к сложным фигурам.
• Практика (1 ч.): Задачи на вычисление площадей через подобие.

• Пример олимпиадной задачи: «В треугольник со сторонами 13, 14, 15 вписан квадрат так, что две его вершины лежат на одной стороне, а две другие — на двух других сторонах. Найдите сторону квадрата.»

Тема 3.15. Геометрические преобразования: симметрия.

• Теория (1 ч.): Осевая и центральная симметрия. Свойства движений: сохранение длин, углов, площадей. Использование симметрии для упрощения задач (достраивание фигуры).
• Практика (1 ч.): Решение задач с помощью симметрии.

• Пример олимпиадной задачи: «Через данную точку A провести прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшей площади.»

Тема 3.16. Геометрические преобразования: поворот, параллельный перенос.

• Теория (1 ч.): Поворот на заданный угол вокруг точки. Параллельный перенос на заданный вектор. Применение для совмещения отрезков, построения равносторонних треугольников и квадратов.
• Практика (1 ч.): Решение задач с помощью поворота и переноса.

• Пример олимпиадной задачи (поворот): «Внутри квадрата ABCD взята точка P так, что угол PBC = 15° и угол PAB = 30°. Докажите, что треугольник PCD — равносторонний.»
• Пример олимпиадной задачи (перенос): «Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен полуразности оснований.»

Тема 3.17. Геометрические задачи на построение: базовые операции.

• Практика (2 ч.): Классические задачи на построение циркулем и линейкой: деление отрезка, построение касательных, построение правильных многоугольников. Анализ, построение, доказательство, исследование.

• Пример олимпиадной задачи 1: «Постройте треугольник по трем медианам.»
• Пример олимпиадной задачи 2: «Впишите в данную окружность прямоугольный треугольник так, чтобы его катеты проходили через две данные точки.»

Тема 3.18. Методы решения сложных задач на построение. Геометрическое место точек.

• Теория (1 ч.): Метод ГМТ (геометрических мест точек). Основные ГМТ: серединный перпендикуляр, биссектриса, окружность (дуга, из которой отрезок виден под данным углом), пара параллельных прямых.
• Практика (1 ч.): Решение задач методом ГМТ.

• Пример олимпиадной задачи: «Постройте окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой.»

Тема 3.19. Задачи на вычисление длин и углов.

• Практика (2 ч.): Комбинирование всех изученных методов для вычисления длин и углов в сложных конфигурациях. Использование тригонометрии, метода координат, векторного метода.

• Пример олимпиадной задачи 1: «В треугольнике ABC угол B равен 30°, угол C равен 50°. На стороне BC взята точка D так, что угол BAD равен 50°. Найдите угол ADC.»
• Пример олимпиадной задачи 2: «В выпуклом четырехугольнике ABCD: AB=BC, AD=CD, угол ABC=80°, угол ADC=140°. Найдите угол BAD.»

Тема 3.20. Стереометрия: основные понятия и простейшие задачи.

• Теория (1 ч.): Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Перпендикулярность прямой и плоскости. Теорема о трех перпендикулярах.
• Практика (1 ч.): Пространственные задачи на доказательство и вычисление.

• Пример олимпиадной задачи: «В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S угол между боковым ребром и плоскостью основа

Задача 4. Развитие у учащихся логического мышления, формирование умения решать логические задачи, задачи на взвешивания, переливания и разрезания, а также задачи с параметрами, с целью развития креативности, нестандартного подхода к решению проблем и умения применять логические рассуждения в различных ситуациях.

В соответствии с поставленной задачей сформулирован следующий раздел программы.

Раздел 4. РЕШЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ. ПОДГОТОВКА К ОЛИМПИАДАМ (всего 18 ч.: теория 5 ч.; практика 13 ч.)

Тема 4.1. Стратегия решения олимпиадных задач. Анализ условия.

· Теория (1): Алгоритм работы с задачей: чтение, анализ, поиск связи с известными фактами, выбор метода, проверка.

· Практика (3): Коллективный разбор сложных задач.

· Пример задачи (на анализ): «На доске написано число 123. Разрешается стереть любые два числа a и b и написать вместо них числа 0,6a — 0,8b и 0,8a + 0,6b. Можно ли через несколько таких операций получить на доске число 153?» (Задача требует не вычислений, а поиска инварианта — в данном случае инвариантом является сумма квадратов всех чисел на доске).

Тема 4.2. Приемы и методы решения задач повышенной сложности.

· Теория (1): Интеграция методов из разных разделов (комбинаторная геометрия, алгебраические методы в теории чисел).

· Практика (3): Решение задач уровня регионального этапа ВсОШ.

· Пример задачи (комбинация алгебры и геометрии): «На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбрана точка M. Окружность с центром M, проходящая через A, пересекает прямую AC вторично в точке P, а окружность с центром M, проходящая через B, пересекает прямую BC вторично в точке Q. Докажите, что прямая PQ проходит через фиксированную точку, не зависящую от выбора M.» (Задача высокого уровня, требующая применения метода геометрических преобразований или координатного метода).

Тема 4.3. Оформление решений. Критерии проверки.

· Теория (1): Требования к полноте и обоснованности решения. Разбор реальных критериев оценки олимпиадных работ.

· Практика (1): Взаимная проверка решений обучающимися по критериям.

· Пример задачи для оформления: «Докажите, что уравнение x² + y² + z² = x³ + y³ + z³ имеет бесконечно много решений в целых числах.» (Важно не просто подобрать серию решений (например, x = y = z = 0, 1, -1, 2), но и строго доказать, что их бесконечно много, например, найдя параметрическое решение: x = 3k, y = 3k, z = -3k-1).

Тема 4.4. Пробный тур олимпиады.

· Практика (4 ч.): Написание полноформатной олимпиадной работы (4-5 задач за 3-4 часа) в условиях, максимально приближенных к реальным.

· Набор задач для тура (4 задачи, 3-4 часа):

  1. (Алгебра) «Решите в натуральных числах уравнение: 3ˣ + 4ʸ = 5ᶻ.»

  2. (Комбинаторика) «В стране 100 городов, некоторые пары городов соединены авиарейсами. Известно, что из любого города можно долететь в любой другой (возможно, с пересадками). Докажите, что можно закрыть половину рейсов так, чтобы условие сохранилось.»

3. (Геометрия) «В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁, CC₁. Докажите, что периметр треугольника A₁B₁C₁ равен 4R ⋅ sin A ⋅ sin B ⋅ sin C , где R — радиус описанной окружности треугольника ABC.»

  4. (Теория чисел/логика) «На доске написано число 10. Каждую минуту его стирают и пишут произведение его цифр. Какое число будет на доске через час?»

Тема 4.5. Разбор пробного тура. Работа над ошибками.

· Теория (1 ч.): Анализ типичных ошибок: неверная интерпретация условия, логические пробелы в доказательстве, нерациональный путь решения.

· Практика (1 ч.): Доработка и переоформление собственных решений.

· Разбор решения задачи 4 из пробного тура:

  · Неверный подход: Пытаться вычислять все 60 шагов. Это нерационально.

  · Ключевое наблюдение (инвариант): Как только в числе появляется цифра 0, произведение цифр становится равно 0, и на всех последующих шагах на доске будет 0.

  · Правильное решение:

    · 10 → 1 * 0 = 0

    · 0 → 0

    · ... Таким образом, начиная со второй минуты и далее, на доске всегда будет число 0.

  · Ответ: 0.

Тема 4.6. Итоговое занятие. Подведение итогов. Награждение.

· Теория (1 ч.): Рефлексия: что узнали, чему научились, какие цели достигнуты. Обсуждение планов на дальнейшее развитие.

· Практика (1 ч.): Награждение наиболее активных и успешных обучающихся. Математическая викторина или игра.

Пример задачи для неформальной викторины: «Петя и Вася играют. Перед ними лежат три кучки камней: в первой — 10, во второй — 15, в третьей — 20 камней. За ход можно разбить любую кучку на две меньшие. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?» (Это задача на четность. Общее число камней постоянно (45). Ход увеличивает общее число кучек на 1. Начало: 3 кучки. Конец: 45 кучек (каждая по 1 камню). Всего будет сделано 42 хода. Так как 42 — четное число, то последний, 42-й ход, сделает второй игрок. Но после его хода кучек станет 43, и первый игрок не сможет сделать ход? Нет! Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Значит, выиграет первый игрок, так как второй не сможет сделать 43-й ход. Задача на внимательный анализ условий победы).

КАЛЕНДАРНЫЙ УЧЕБНЫЙ ГРАФИК

УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОГРАММЫ

Материально-техническое обеспечение

Методическое обеспечение

Особенности организации образовательной деятельности

Форма обучения – очная.

Методы обучения – при реализации программы используются как традиционные методы: словесный, наглядный, объяснительно-иллюстративный, практический, так и нетрадиционные: частично-поисковый, проблемный, игровой, проектный.

Формы организации образовательной деятельности – занятия организуются с учетом разного уровня подготовки детей, возрастных и гендерных особенностей контингента объединения; предусматривают коллективную, групповую и индивидуальную формы работы.

Формы организации учебного занятия – выбор формы организации учебного занятия зависит от содержания учебного материала, подготовки обучающихся и результата, который должен быть получен по итогам изучения того или иного материала. Диапазон форм, которые могут быть использованы для организации учебного занятия в дополнительном образовании, широк. Остановимся на нескольких, которые представляются нам наиболее целесообразными и эффективными для реализации программы:

беседа – традиционная форма образовательной деятельности, при которой полезно проводить и опрос, и объяснение нового материала на первой ступени обучения. Это характерная особенность формы учебного занятия состоит в том, что обучающиеся принимают в нем активное участие – отвечают на вопросы, делают самостоятельные выводы из демонстрационных опытов, объясняют явления;

практическое занятие – особый вид учебных занятий, имеющих целью практическое усвоение основных положений по предмету;

учебное занятие – основная традиционная форма образовательной деятельности, используется педагогом при изучении нового учебного материала, закреплении знаний и способов деятельности, а также при проверке, оценке, коррекции знаний и способов деятельности (если нецелесообразно использовать нетрадиционные формы);

лабораторное занятие – традиционная форма образовательной деятельности, при которой обучающиеся непосредственно участвуют в проведении экспериментов, наблюдений и анализе биологических объектов и процессов. Эта форма обучения позволяет глубоко погрузиться в материал, проверить теорию на практике, научиться работать с оборудованием и инструментами, необходимыми для биологических исследований;

воркшоп – форма организации учебного занятия, подразумевающая активную, интерактивную и практическую работу обучающихся под руководством педагога. Основной акцент делается на решении конкретной задачи, проекта или проблемы через упражнения, обсуждение идей и моделирование реальных ситуаций;

итоговое тестирование – форма организации образовательной деятельности, которая позволяет проверить знание обучающихся через выполнение ими тестовых заданий (открытых или закрытых) по итогам изучения программы, в том числе и с использованием коммуникативно-информационных технологий;

мультимедиа-лекция – нетрадиционная форма организации образовательной деятельности, в ходе которой обучающиеся используют интерактивные компьютерные обучающие программы (PowerPoint,TuxPaint и т.д.);

работа в мини группах – это методика объединения обучающихся в небольшие группы для совместного выполнения задания. Используется для того, чтобы обучающийся овладел коммуникативным умениям и навыкам. Совместная работа развивает умение общаться, слушать, коллективно решать проблемы, достигать взаимопонимания.

Педагогические технологии:

технология разноуровневого обучения используется в настоящей программе для обеспечения усвоения учебного материала на разных уровнях сложности: стартовом, базовом и углубленном (подробная информация по дифференциации уровней представлена в разделе «Уровни программы»); глубина и сложность одного и того же учебного материала адаптируется относительно возможностей и темпа развития каждого обучающегося;

технология проблемного обучения — организованный педагогом способ активного взаимодействия субъекта с проблемно-представленным содержанием обучения, в ходе которого он приобщается к объективным противоречиям научного знания и способам их решения. Учится мыслить, творчески усваивать знания.

Данная технология применяется для прививания видения проблем и отсутствия страха при их решении при работе над творческими проектами, которые, как правило, связанны с какими-либо глобальными мировыми проблемами;

информационно-коммуникационные технологии позволяют педагогу сформировать элементы информационной культуры и информационной компетентности, привить навыки рациональной работы с компьютерными программами, поддержать самостоятельность в освоении компьютерных технологий; на занятиях используются такие программно-технические средства как ноутбук, интерактивная доска, проектор, необходимое программное обеспечение;

технология проектного обучения позволяет педагогу ориентировать обучающихся на самостоятельную поисковую, исследовательскую, рефлексивную, практическую, презентативную работу, результат которой имеет практический характер, важное прикладное значение, интересен и значим для обучающихся;

здоровьесберегающие технологии, используемые в программе, направлены на создание максимально возможных условий для сохранения и укрепления здоровья обучающихся и на развитие осознанного отношения обучающихся к здоровью и жизни человека, на развитие умений оберегать, поддерживать и сохранять здоровье, на формирование валеологической компетентности, позволяющей обучающемуся самостоятельно и эффективно решать задачи здорового образа жизни и безопасного поведения;

технология критического мышления позволяет педагогу развивать у обучающихся готовность к планированию (кто ясно мыслит, тот ясно излагает), к гибкости (восприятие идей других), к настойчивости (достижение цели), к готовности исправлять свои ошибки (воспользоваться ошибкой для продолжения обучения), к осознанию процесса и результата своей деятельности (отслеживание хода рассуждений), а так же к поиску компромиссных решений (важно, чтобы принятые решения воспринимались другими людьми);

технология принятия решений, позволяет понять состав и последовательность процедур, приводящих к решению проблем, в комплексе с методами разработки и оптимизации альтернатив. Рациональное использование этой технологии неоценимо в ситуациях, требующих повышенной концентрации внимания, ограниченных во времени, и ситуациях, в которых невозможно допустить ошибку, в основном это соревновательные моменты.

Формы контроля:

взаимоконтроль – обучающийся проверяет работу, выполненную другим обучающимся, по образцу, памятке или инструкции;

творческие задания – учебные задания, для выполнения которых обучающийся должен применить нестандартное решение;

практическое упражнение – учебное задание для отработки и закрепления практических навыков, умений и способов выполнения того или иного действия;

тематические задания – форма контроля, которая  представляет собой совокупность упражнений разных уровней сложности и разных видов, с помощью которых проверяются знания по определенной теме;

электронный контроль – форма контроля, осуществляемая в автоматическом режиме. Применяется при реализации настоящей программы во время работы в специальных программах, на тематических порталах и т.д.;

тестовые задания – форма контроля, которая  представляет собой совокупность тестовых вопросов разных уровней сложности и разных видов, с помощью которых проверяются знания обучающихся по пройденным темам.

Кадровое обеспечение

Педагог дополнительного образования – руководитель творческого объединения «Математика» (подготовка к олимпиадам) – должен соответствовать требованиям единого квалификационного справочника должностей руководителей, специалистов и служащих (раздел «Квалификационные характеристики должностей работников образования»), профессионального стандарта «Педагог дополнительного образования детей и взрослых», должностной инструкции педагога дополнительного образования МАУДО «ЦДО «Протон»; владеть знаниями в области математики.

В 2025-2026 учебном году программу реализует педагог дополнительного образования Карташова Марина Шамильевна, имеющая высшее образование («Кокшетауский государственный университет им.Ш.Уалиханова», 2008 г.), по направлению «Математика».

ФОРМЫ АТТЕСТАЦИИ (КОНТРОЛЯ) И ОЦЕНИВАНИЕ ОБУЧАЮЩИХСЯ

При реализации программы проводится входной, текущий, промежуточный и итоговый контроль за усвоением пройденного материала обучающимися.

Входной контроль проводится при зачислении ребёнка на обучение по программе с целью определения наличия специальных знаний и компетенций в соответствующей образовательной области для установления уровня сложности освоения программы. Входной контроль проводится в форме собеседования.

Текущий контроль проводится на каждом занятии с целью выявления правильности применения теоретических знаний на практике. Текущий контроль может быть реализован посредством следующих форм: творческие задания, практические упражнения, тематические задания, тестовые задания и т.д. Комплексное применение различных форм позволяет своевременно оценить, насколько освоен обучающимися изучаемый материал, и при необходимости скорректировать дальнейшую реализацию программы.

Промежуточный контроль проводится в рамках процедуры промежуточной аттестации для обучающихся в форме воркшопа.

Итоговый контроль проводится в рамках процедуры итоговой аттестации для обучающихся в форме итоговое тестирование.

Порядок проведения промежуточной и итоговой аттестации прилагается. (Приложение 1)

Формы контроля и оценочные материалы

ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ

1.  Целевой раздел

Цель: Формирование гармонично развитой личности с развитым интеллектом, логическим и критическим мышлением, способной к творческому и продуктивному взаимодействию в коллективе, обладающей такими качествами, как настойчивость, целеустремленность, интеллектуальная честность и уважение к сопернику.

Задачи воспитательной работы программы:

1. Воспитание устойчивого интереса к интеллектуальной деятельности, познанию и саморазвитию.

2. Формирование культуры научного дискурса: умения аргументированно отстаивать свою точку зрения, корректно вести полемику и с уважением относиться к мнению оппонента.

3. Развитие softskills (гибких навыков): умения работать в команде, распределять роли, нести ответственность за общий результат во время математических боев и групповых проектов.

4. Воспитание волевых качеств: настойчивости в достижении цели, умения концентрироваться на задаче и достойно принимать как успех, так и неудачу.

5. Формирование осознанного подхода к выбору будущей профессиональной траектории в сфере науки, IT и технологий.

Целевые ориентиры воспитания:

• проявление инициативы в изучении сложных тем, участие в олимпиадах и конкурсах;
• сознание ценности интеллектуального труда;
• умение конструктивно взаимодействовать в команде во время математических игр, оказывать поддержку одногруппникам, соблюдать правила и принципы честной игры;
• стремление к поиску нестандартных решений, готовность к преодолению интеллектуальных трудностей, развитие привычки к рефлексии и самоанализу.

Реализация цели и задач программы, достижение её целевых ориентиров осуществляется через создание особой воспитывающей среды:

• формирование атмосферы интеллектуального поиска и взаимного уважения, где не ошибается только тот, кто ничего не делает;
• организация регулярных мероприятий (математические бои, турниры, квесты), направленных на применение знаний на практике и развитие навыков сотрудничества;
• стимулирование обучающихся к проведению мини-исследований, участию в конкурсах и конференциях;
• создание благоприятной атмосферы для общения, взаимодействия и обмена знаниями между обучающимися;
• организация встреч с выпускниками, студентами технических и математических вузов, представителями профессий, связанных с математикой.

2. Содержательный раздел

Основные формы и методы воспитания:

• математические бои и турниры: воспитание командного духа, стратегического мышления, уважения к сопернику и культуры ведения дискуссии;
• интеллектуальные викторины и квесты («Математический детектив», «Код Да Винчи»): развитие эрудиции, смекалки и умения работать в условиях ограниченного времени;
• встречи с интересными людьми (студенты-победители олимпиад, ученые, IT-специалисты) для формирования представления о практическом применении математики и профессионального самоопределения;
• рефлексивные беседы после олимпиад и контрольных: обсуждение не только результатов, но и эмоций, стратегии подготовки, работы над ошибками. Формирование адекватной самооценки;
• проектная деятельность: развитие ответственности, самостоятельности, умения планировать и представлять результат своей работы;
• историко-математические экскурсы: рассказы об истории великих открытий и судьбах ученых (Эйлер, Гаусс, Ковалевская, Перельман) для воспитания уважения к науке и формирования ценностных ориентиров.

3. Организационный раздел

Условия организации воспитания:

• пространственные: оснащенный учебный кабинет, зоны для групповой и индивидуальной работы, доступ к онлайн-ресурсам;
• кадровые: педагог как наставник и мотиватор, создающий поддерживающую и развивающую среду;
• социальные: взаимодействие с родителями (законными представителями) для формирования единой воспитательной стратегии (информирование об успехах, приглашение на открытые мероприятия);
• диагностические: регулярный мониторинг личностных результатов (наблюдение, анкетирование, анализ участия в мероприятиях).

Миссия педагога дополнительного образования в контексте поставленных задач заключается в создании ситуации успеха для каждого обучающегося, развитии математической одаренности не в ущерб личностному развитию, воспитании думающей, критически мыслящей и этически ответственной личности.

Особое место в этом процессе занимают родители (законные представители), которые поддерживают интерес ребенка к математике, формируют адекватные ожидания от результатов, поощряют настойчивость и помогают справляться с трудностями.

В конечном итоге успешное сотрудничество между семьёй и Центром дополнительного образования «Протон» приводит к созданию благоприятных условий для всестороннего развития и раскрытия творческого потенциала обучающихся. 

Календарный план воспитательной работы

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Список литературы для педагога:

1. Ященко И.В. Приглашение на математический праздник. - М.: МЦНМО.

2. Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. - Киров: Аса.

3. Горбачев Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике. - М.: МЦНМО.

4. Интернет-ресурсы: сайт matol.ru, problems.ru, сайт «Сириус».

Список литературы для обучающихся:

1. Шаповалов А.В. Принцип Дирихле. - М.: МЦНМО.

2. Спивак А.В. Математический кружок. 6-7 классы. - М.: Просвещение.

3. Олимпиадные задачи по математике на различных этапах. Сборники.

4. Онлайн-платформы: Сириус.Курсы, Яндекс.Учебник (раздел олимпиад).

Электронные ресурсы:

1. [http://www.problems.ru](http://www.problems.ru) – База задач по математике.
2. [http://www.mccme.ru](http://www.mccme.ru) – Московский центр непрерывного математического образования.
3. [http://www.olimpiada.ru](http://www.olimpiada.ru) – Портал всероссийских олимпиад школьников.
4. [http://www.exponenta.ru](http://www.exponenta.ru) – Образовательный математический сайт.
5. [http://www.mathnet.ru](http://www.mathnet.ru) – Общероссийский математический портал.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Система оценки результатов освоения дополнительной общеобразовательной общеразвивающей программы «Математика» (подготовка к олимпиадам)

Программа проведения промежуточной и итоговой аттестации

1. Проведение промежуточной аттестации обучающихся

1. Цель промежуточной аттестации:

Отслеживание уровня развития способностей обучающихся и их соответствия прогнозируемым результатам программы. 

2.  Задачи промежуточной аттестации:

• определить уровень сформированности навыков (компетенций) учебной деятельности в области знаний программы;
• создать условия для представления обучающимися творческого(-их) продукта(ов), созданных в результате программы;
• проанализировать полноту реализации программы;
• проанализировать актуальность содержания программы, при необходимости внести изменения, соответствующие уровню развития науки, техники, технологий.

1. Формы проведения промежуточной аттестации:

К прохождению промежуточной аттестации допускаются все обучающиеся, освоившие текущий материал обучения по программе.

Промежуточная аттестация проводится в форме воркшопа.

Обучающиеся решают поставленную задачу в командах, используя знания и навыки, полученные в ходе обучения. По окончании работы каждая группа готовит краткий отчет, который может содержать фото, графики, таблицы, диаграммы, иллюстрирующие ход исследования и полученный результат. Представители группы озвучивают итоги своего труда, отвечают на вопросы других обучающихся и педагога.

Критерии оценки:

• уровень самостоятельности и активности каждого участника;
• качество работы в группе (сплоченность, распределение ролей, сотрудничество);
• корректность и обоснованность предложенных решений;
• четкость и доступность изложения итогов исследования.

1. Система оценивания промежуточной аттестации:  

        –  «зачтено» – задание выполнено, верно, выявлены и решены все поставленные задачи, отчет составлен корректно, проведена качественная презентация;

        – «не зачтено» – допущены серьезные ошибки, обучающиеся не смогли решить поставленную задачу, отчет представлен некорректно либо отсутствует необходимая информация.

2. Проведение итоговой аттестации обучающихся

1.  Цель итоговой аттестации: выявление степени сформированности специальных компетенций обучающихся, прошедших полную программу обучения.
2.  Задачи итоговой аттестации:

         – создать условия для представления обучающимися творческого(-их) продукта(-ов), созданных по итогам освоения программы;

• проанализировать полноту реализации программы;

– проанализировать актуальность содержания программы, при необходимости внести изменения, соответствующие уровню развития науки, техники, культуры, экономики, технологий и социальной сферы.

3. Формы проведения итоговой аттестации:

К прохождению итоговой аттестации допускаются все обучающиеся, освоившие полную программу обучения.

Итоговая аттестация для обучающихся проводится в форме итогового тестирования. (Приложение 2)        

4. Система оценивания итоговой аттестации:

• «зачтено» – аттестуемый выполнил не менее 50% заданий;
• «не зачтено» – аттестуемый выполнил менее 50% заданий.