Решение задач на применение теоремы Вариньона
статья по математике (8 класс)

Решение задач на применение теоремы Вариньона

В 21 век, в век информационных технологий, главным ресурсом является время. Большую часть времени у нас занимает обучение в школе и приготовление домашнего задания. Одним из самых сложных предметов в школе является геометрия. В частности, задачи на доказательство требуют значительной траты времени, поэтому у многих отсутствует интерес к решению подобных заданий.

В теме «Четырехугольники» эту проблему может решить использование теоремы Вариньона. Почти каждая геометрическая задача нестандартна. Параллелограмм Вариньона — надёжный помощник в решении геометрических задач различной сложности. Пьер Вариньон – французский математик и механик 18 века, который первым доказал, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

1. Основные теоретические сведения

Вариньон Пьер (1654–1722)

французский математик, член Парижской Академии наук, профессор

Пьер Вариньон родился во Франции в 1654 году. Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Вариньон готовился к религиозной деятельности, но, изучая сочинения Эвклида и Декарта, увлекся математикой и механикой. С 1688 года - профессор математики Колледжа Мазарини, с 1704 – года – в Колледже де Франс.

Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике и физике. В геометрии Пьер Вариньон изучал различные специальные линии, написал учебник по элементарной геометрии (издан в 1731). Вариньон был другом Ньютона, Лейбница и Бернулли.

Главные заслуги его были представлены в Парижскую Академию наук в работе «Проект новой механики…», где Вариньон дал точную формулировку закона параллелограмма сил. Развил понятие момента сил и вывел очень важную теорему, позволяющую решать сложные геометрические задачи более простыми методами, так называемая теорема Вариньона. Он первым обратил внимание на, казалось бы, довольно очевидный факт: середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. В дальнейшем полученный параллелограмм назвали параллелограммом Вариньона.

1. Определение

Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон.

#1058;еорема Вариньона.

Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

Доказательство:

1. Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN , например KL . Так как KL является средней линией треугольника ABC , то KL ║AC и KL = АС. Аналогично, MN ║AC и MN = АС.

Следовательно, KL ║NM и KL= MN= AC.

Таким образом, KLMN - параллелограмм.

Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника ABCD.

2. Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника. Поэтому сама сумма площадей первого и третьего треугольников равна четверти площади всего четырехугольника. То же и относительно суммы площадей второго и четвертого треугольников.

SKBL = SABC, SMDN= ADС. Следовательно, S1+S3= SABCD. Аналогично, S2+S4= SABCD. Следовательно, S1+S3 + S2+S4 = SABCD + SABCD = SABCD.

Поэтому площадь параллелограмма KLMN составляет половину площади четырехугольника ABCD. Теорема доказана.

Следствия из теоремы.

Следствие 1.

Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали равны;

б) бимедианы перпендикулярны.

а) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали равны, то параллелограмм Вариньона является ромбом.

Доказательство:

Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является ромбом, то диагонали исходного четырёхугольника равны.

б) Прямая теорема: если в четырёхугольнике бимедианы перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является ромбом.

Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба). Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является ромбом, то бимедианы исходного четырёхугольника перпендикулярны.

Следствие 2.

Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали перпендикулярны

б) бимедианы равны

а) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны,

то параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

Доказательство:

Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является прямоугольником, то диагонали исходного четырёхугольника перпендикулярны.

б) Прямая теорема: если в четырёхугольнике бимедианы равны, то параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является прямоугольником, то бимедианы исходного четырёхугольника равны.

Следствие 3.

Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали равны и перпендикулярны;

б) бимедианы равны и перпендикулярны.

а) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали равны и перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является квадратом.

Доказательство:

Так как диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является квадратом, то диагонали исходного четырёхугольника равны и перпендикулярны.

б) Прямая теорема: если в четырёхугольнике бимедианы равны и перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является квадратом.

Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).

Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является квадратом, то бимедианы исходного четырёхугольника равны и перпендикулярны.

Следствие 2.

Бимедианы четырехугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Доказательство:

Пусть KM и LN – бимедианы ABCD, PQ – отрезок, соединяющий середины диагоналей АС и BD.

То, что бимедианы KM и LN точкой пересечения делятся пополам, следует из того, что эти отрезки являются диагоналями параллелограмма Вариньона. Поэтому достаточно доказать, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам.

Используя теорему о средней линии треугольника для соответствующих треугольников, имеем: LQ║ CD║ PN и PL║ AB║ NQ.

Тем самым, PLQN – параллелограмм. По свойству параллелограмма следует, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам.

Что и требовалось доказать.

Мы рассмотрели задачи, которые встречаются в школьном курсе геометрии. Решили их двумя способами: традиционным, опираясь на теоремы и следствия, изученные в разделе «Четырехугольники» нашего учебника и опираясь на рассмотренную теорему Вариньона и ее следствия. (См. Приложение 1)

Теорема Вариньона и следствия из нее позволяют решать задачи с наименьшими временными затратами.

На решение задачи традиционным способом затрачивается 15-20 минут, а зная теорему Вариньона и следствия из нее, доказательство сводится к одному-двум предложениям и занимает 1-2 минуты. При этом экономия времени на доказательство в среднем составляет 15 минут. Таким образом, освобождается время на выполнение домашнего задания по другим предметам. Кроме этого, повышается не только интерес к изучению данного предмета (геометрии), но и сам процесс работы приносит удовлетворение.

Решение олимпиадных задач.

Мы рассмотрели применение теоремы Вариньона и ее следствий к решению планиметрических задач повышенной трудности, взятых с различных математических конкурсов и олимпиад. (См. Приложение 2)

Вывод: в математике самыми трудными являются геометрические задачи. Почти каждая из них нестандартна. Надо подумать, какие нужно сделать дополнительные построения, какими воспользоваться теоремами, при этом очень непросто из их огромного количества выбрать ту, которая наилучшим образом поможет в решении. Мы убедились, что параллелограмм Вариньона – надёжный помощник в решении геометрических задач различной сложности,

Теорема Вариньона и ее следствия могут стать отличным помощником при решении задач на ОГЭ. (См. Приложение 3)

Мы узнали о Пьере Вариньоне, его достижениях, рассмотрели доказательство его теоремы для различных видов четырёхугольников; показали, что справедливость теоремы не зависит от выпуклости четырёхугольника, продемонстрировали применение теоремы; убедились в том, что параллелограмм Вариньона – надёжный помощник в решении геометрических задач различной сложности, узнали много нового и интересного о свойствах геометрических фигур.

Проведено сравнение временных затрат на решение задач традиционным способом и с опорой на теорему Вариньона и следствия из этой теоремы. Было подсчитано, что на решение задачи традиционным способом затрачивается 15-20 минут, а зная теорему Вариньона и следствия из нее, доказательство сводится к одному-двум предложениям и занимает 1-2 минуты.

Такие замечательные понятия, как бимедианы четырехугольника и теорема Вариньона не входят в программу по геометрии для средней школы. Однако при решении целого класса задач эти понятия позволяют легко получить решение, в то время, когда традиционные подходы приводят к громоздким и утомительным преобразованиям.

Список литературы:

3. #1042;ариньон,_Пьер
5. Филипповский Г. Б. Параллелограмм Вариньона решает задачи //Математика в школе № 4 – 2006, стр. 45–50
6. В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика. 2006 – №22.
7. Геометрия: Учебник для 7 – 9 кл. общеобразовательных учреждений /А.В. Погорелов, – М.: Просвещение, 2014.
8. Геометрия: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1996.

Приложение 1

Задача 1. Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Дано: ABCD – четырехугольник

AK=KB, BL=LC, CM=MD, AN=ND

Доказать:KLMN – параллелограмм

Доказательство:

1 способ

Проведем диагональ АС и рассмотрим треугольник АВС.

KL – средняя линия, следовательно KLIIAC, KL= AС.

Рассмотрим треугольник ADC, NM – средняя линия, следовательно NMIIAC, NM = AC.

KLIIAC, NMIIAC, следовательно, KLIINM.

KL= AC, NM = AC, следовательно, KL=NM.

KLMN – параллелограмм (противоположные стороны равны и параллельны)

2 способ (с помощью параллелограмма Вариньона)

KLMN–параллелограмм Вариньона (по определению)

Что и требовалось доказать.

Задача 2Докажите, что а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Доказательство.

1 способ

AC – диагональ. EF - средняя линия треугольника ABC. KH – средняя линия треугольника ADC. Треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку равенства треугольников (AB=DC, BC=DC, AC – общая сторона) => EF=KH. Также EF||KH (AC||EF, AC||KH) => EFKH- параллелограмм.Аналогично EH=KF. Так как ABCD – прямоугольник => AC=BD. => EF = KF = KH = EH => EFKH – ромб.

Что и требовалось доказать.

2 способ (с помощью параллелограмма Вариньона)

Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие #1072;);

Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие #1073;).

б) диагонали ромба перпендикулярны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие #1072;);

Стороны ромба равны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие #1073;).

Что и требовалось доказать.

Задача 3 У четырехугольника диагонали равны a и b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

1способ

1) Т.к. AL =LB и AK =KD, LK – средняя линия ∆ABD

2) Т.к. BM=MC и DN =NC, NM – средняя линия ∆CBD

3) Т.к. AL =LB и BM=MC, ML – средняя линия ∆ABC

4) Т.к. DN=NC и AK =KD, KN – средняя линия ∆ADC

5) PKNML = KN + LM + KL +MN =

Ответ: a + b.

2 способ (с помощью параллелограмма Вариньона)

1) По теореме Вариньона KNML – параллелограмм.

2)KN= , KL=

3) PKNML = (KN + KL) ∙ 2 =

Ответ: a + b.

Задача 4

1способ

Докажите, что любые две медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.

Дано: ABC, AA1, BB1, СС1— медианы

Доказать:

Доказательство:

1) Пусть M — середина отрезка AO, N — середина BO

(то есть AM=OM, BN=ON).

2) Соединим точки M, N, A1 и B1 отрезками.

Тогда MN — средняя линия треугольника AOB и

3) Так как AA1 и BB1 — медианы треугольника ABC, точка A1- середина отрезка BC,

B1 — середина AC.

Следовательно, A 1B1 — средняя линия треугольника ABC и

4) Имеем:

Значит, четырёхугольник MNA1B1 — параллелограмм (по признаку).

По свойству диагоналей параллелограмма ON=OB1, OM=OA1

Таким образом,

из чего следует, что

2 способ (с помощью параллелограмма Вариньона)

Проведём две медианы AА1 и BВ1 треугольника ABC. Пусть О – точка их пересечения. Середины сторон невыпуклого четырехугольника АCBО – точки А1, В1, M и N– вершины параллелограмма, причем точкой пересечения его диагоналей А1M и В1N для этой конфигурации будет точка пересечения медиан – точка О. Итак, AM = MO = OА1 и BN = NO = OВ1, т.е. точка О делит каждую из медиан AА1 и BВ1 в отношении 2:1.

Аналогично доказывается для медианы, проведённой из вершины С.

Приложение 2

Задача 1 Вершины четырехугольника являются серединами сторон ромба со стороной, равной 4, и углом . Определите вид четырехугольника и найдите его площадь.

Решение.

1)ABCD – ромб EFKH – прямоугольник (по следствию #1072;)

2)∙

3) ∙

Ответ: прямоугольник с площадью .

Задача 2. Докажите, что площадь параллелограмма, образованного прямыми, проходящими через вершины выпуклого четырехугольника и параллельными его диагоналям, в два раза больше площади исходного четырехугольника.

Решение.

;

Так как AMOL, MONB, CKON, DKOL - параллелограммы, то

Отсюда получаем, что

что и требовалось доказать.

Задача 3. Все стороны выпуклого четырехугольника площади 1 разделены на 2n равных частей, а затем точки деления на противоположных сторонах соединены так, чтобы получилась «косоугольная шахматная доска», состоящая из белых и черных «клеток» (см. рис. при n= 2). Доказать, что сумма площадей всех белых «клеток» равна сумме площадей всех черных «клеток».

Решение.

Из следствия 2 следует, что точки пересечения отрезков на этой доске делят каждый на равные части.

Тогда в любом «маленьком» четырехугольнике, куда входят ровно две белые и две черные клетки, выполняются условия теоремы о бабочках. Нужное равенство установлено.

что и требовалось доказать.

Задача 4. Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий.

Доказательство:

Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона KLMN является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Что и требовалось доказать.

Задача 5. Докажите, что сумма квадратов диагоналей четырёхугольника в два раза больше суммы квадратов его средних линий.

Доказательство:

В параллелограмме Вариньона, как и в любом другом параллелограмме, сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон, т.е.

KM²+LN²=2(KL²+LM²)

Учитывая, что KL=AC и LM= BD

получим: KM2+LN2= (AC2+BD2).

Что и требовалось доказать.

Задача 6. Диагонали четырёхугольника ABCD равны d1 и d2, а средние линии равны между собой. Найдите площадь четырёхугольника.

Решение:

Из условия задачи следует, что в параллелограмме Вариньона диагонали KM и LN равны. Значит, KLMN – прямоугольник и SKLMN=d1d2, а с другой стороны, SKLMN=SABCD, следовательно, SABCD=d1d2.

Ответ: SABCD=d1d2.

Задача 7. Докажите, что площадь четырёхугольника равна произведению средней линии на одну из диагоналей и на синус угла между ними.

Доказательство:

необходимо доказать, что.

Треугольник KLN представляет собой половину параллелограмма Вариньона. (). Так как KL=1/2AC, то , значит, , а с другой стороны, (см. задачу 8), тогда .

Что и требовалось доказать.

Приложение 3

Задача 1. Диагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Решeние:

Стороны искомого четырехугольника являются сторонами параллелограмма Вариньона, периметр которого равен сумме диагоналей данного четырехугольника. Соответственно,

РKLMN = AC + BD = 4+5 = 9.

Ответ: 9.

Задача 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равны между собой. Найдите площадь четырёхугольника, если его диагонали равны 8 и 12.

Решение

Пусть K , L , M и N — середины сторон соответственно AD , BА , CВ и СD данного выпуклого четырёхугольника ABCD . Поскольку МL и КN — средние линии треугольников ABC и ADC , то МL || КN и МL = КN , значит, четырёхугольник KLMN — параллелограмм, а т.к. его диагонали KM и LN равны, то KLMN — прямоугольник. Стороны прямоугольника KLMN параллельны диагоналям AC и BD четырёхугольника

ABCD , поэтому диагонали четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны. Следовательно,

S(ABCD) = AC· BD = · 8· 12 = 48.

Ответ: 48.

Задача 3.Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, взаимно перпендикулярны и равны 2 и 7. Найдите площадь четырёхугольника.

Решение

Пусть K , L , M и N — середины сторон соответственно AD , BА , CВ и СD данного выпуклого четырёхугольника ABCD . Значит, KLMN — параллелограмм (параллелограмм Вариньона), а т.к. его диагонали KM и LN перпендикулярны, то это ромб.LN=2 , KM=7 . Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей,

т.е. SKLMN= · 2· 7 = 7 .

Т.к. KLMN — параллелограмм Вариньона, то его площадь вдвое меньше площади четырехугольника ABCD.

SABCD=2SKLMN= 2· 7=14.

Ответ: 14.

Задача 4. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Докажите, что средняя линия трапеции равна высоте.

Решение

Пусть M и N — середины оснований BC и AD равнобедренной трапеции ABCD , K и L — середины боковых сторон AB и CD. Тогда KMLN – параллелограмм.

Т.к. диагонали AC и BD перпендикулярны, то KMLN — прямоугольник. Значит, KL = MN, но KL — средняя линия трапеции, а MN — высота.

Что и требовалось доказать.