Методическая разработка раздела образовательной программы по алгебре «Тригонометрические уравнения» 10 класс
методическая разработка (10 класс) на тему

МБ ОУ Починковская СОШ

Методическая разработка

раздела образовательной

программы по алгебре «Тригонометрические уравнения»

10 класс

Выполнила учитель математики

    I квалификационной категории

    Данилова Елена Николаевна

Содержание:

1. Пояснительная записка.

2. Цели и задачи раздела.

3. Психолого-педагогическое объяснение специфики воспитания и освоения учебного материала обучающимися в соответствии с возрастными особенностями.

4. Ожидаемые результаты освоения раздела программы.

5. Образовательные технологии, методы, формы организации деятельности обучающихся.

6. Календарно-тематическое планирование по разделу.

7. Система знаний и система деятельности.

8. Разработка урока.

9. Контролирующие материалы.

10. Список литературы и адреса образовательных сайтов, используемых при изучении раздела.

11. Приложения.

1. Пояснительная записка.

В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом <<исчисление хорд>>. Само название «тригонометрия» греческого происхождения, обозначающее «измерение треугольников»: (тригонон) - треугольник, (метрейн) – измерение. Тригонометрия является одним из наиболее молодых отделов элементарной математики, получивших окончательное оформление лишь в XVIII в., хотя отдельные идеи её относятся к глубокой древности, к античному миру и к математическому творчеству индусов (К. Птолемей, II в., Аль Баттани, IX в., и др.).

Образовательный стандарт среднего (полного) общего образования по математике в требованиях к уровню подготовки к выпускнику предусматривает умение решать простейшие тригонометрические уравнения. Но тема «Решение тригонометрических уравнений» входит в материалы итоговой аттестации за курс полной средней школы, в заданиях ЕГЭ.  

Практика показывает, что решение тригонометрических уравнений вызывает у учащихся затруднения.  После школьной жизни  реальной необходимостью в наши дни становится непрерывное образование, что требует полноценной   базовой общеобразовательной подготовки, в том числе  и математической. И наконец, всё больше специальностей, требующих высокого уровня образования, связано с непосредственным применением математики (экономика, физика, химия, техника, информатика и многое другое). Таким образом, расширяется круг школьников, для которых  математика становится профессионально значимым предметом.  

Данная методическая разработка предназначена для повышения эффективности подготовки учащихся 10-11-х классов к ЕГЭ за курс полной средней школы и предусматривает их подготовку к дальнейшему математическому образованию. Анализ сдачи единого государственного экзамена показал, что ученики допускают много ошибок при выполнении заданий именно этого раздела или вообще не берутся за такие задания. Одной из причин этого является недостаточное количество программных часов, отводимое на изучение этого раздела, а так же поверхностное изложение некоторых важных вопросов, связанных с решением тригонометрических уравнений, отбором и исследованием корней, решением тригонометрических неравенств.

При разработке раздела программы я использовала учебник «Алгебра и начала анализа» под редакцией А.Г.Мордковича: в качестве основной содержательно-методической линии при изучении тригонометрических уравнений выбрана функционально-графическая линия. Построение материала осуществляется по схеме: функция – уравнения – преобразования.

Ранее в учебниках под редакцией Алимова в течении многих лет тригонометрические уравнения изучались после того, как изучены основные формулы тригонометрии. Почему удобнее сначала изучать функции? Разумнее сначала изучить «чистые» модели функции, а затем учиться работать с «навороченными» моделями. В тригонометрических уравнениях сначала следует разобраться с простейшими тригонометрическими уравнениями и уравнениями, которые сводятся к простейшим с помощью алгебраических приемов без формул тригонометрии (используется лишь основное тригонометрическое тождество siх+х=1, эта формула следует из уравнения числовой окружности. +=1 и определение синуса и косинуса.) и потом переходить уравнениям, которые необходимо долго и упорно «раскручивать».

Специфика простейших тригонометрических уравнений состоит: Во-первых, в том, что практически никогда до этого учащиеся не сталкивались с ситуацией, чтобы в уравнении было не конечное, а бесконечное множество корней; нужно дать им время, чтобы это понять, осознать и принять. Во-вторых, никогда до сих пор структура записи корней уравнения не выглядела столь сложно и громоздко. Самое трудное, что было до сих пор,  – формула  корней квадратного уравнения. Теперь же они сталкиваются с записью х= (-1  arcsin m+, где каждый компонент (и пресловутые «арки», и наличие параметра, и странный «хвост» , и «выкрутасы» типа (-1) требует специального осмысления и отработки, для чего нужна соответствующая система упражнений.

Учение о тригонометрических функциях имеет широкое применение в практике, при изучении множества физических процессов, в промышленности, и даже в медицине. Учащиеся, которые в дальнейшем в своей профессиональной деятельности будут пользоваться математикой, необходимо обеспечить высокой математической подготовкой.

2.Цели и задачи раздела.

 Цели:

1. сформировать у учащихся понимание необходимости знаний алгоритмов   решения тригонометрических уравнений  для дальнейшего изучения  тригонометрических неравенств и систем уравнений,  при решении задач по геометрии,  физике, астрономии;
2. способствовать интеллектуальному развитию  учащихся, формированию математического стиля мышления при решении элементарных тригонометрических уравнений, которые необходимы при решении более сложных типов тригонометрических уравнений;
3. формировать представления о решениях тригонометрических уравнений, как составной части решения тригонометрических неравенств, систем уравнений;
4. способствовать повышению уровня самостоятельности учащихся при работе с учебным материалом, развивать точную, информативную речь, формировать умение обосновывать свою точку зрения.

Задачи:

1. акцентировать внимание учащихся на единых требованиях к правилам оформления различных видов заданий, включаемых в ЕГЭ;
2. формировать навыки применения свойств  тригонометрических функций и соотношение между тригонометрическими функциями, при решении тригонометрических уравнений и при решении нестандартных задач;
3. развивать способности учащихся к математической деятельности;
4. способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных программой.

3.Психолого-педагогическое объяснение специфики воспитания и освоения учебного материала обучающимися в соответствии с возрастными особенностями.

В старшем школьном возрасте, учащиеся включаются в новый тип ведущей деятельности – учебно-профессиональной. Учебная деятельность становится средством реализации жизненных планов будущего, а основным внутренним мотивом для большинства учащихся является ориентация на результат. Для этой возрастной группы характерным является заметное повышение интереса к учению. Учение приобретает для них непосредственно жизненный смысл в связи с осознанием знаний и умений как необходимого условия достойного участия в будущей жизни. Учебная деятельность старшеклассников включает элементы анализа, исследования, личностного самоопределения. Избирательность интересов связана с жизненными планами. Старшие школьники могут интересоваться двумя-тремя профилирующими по отношению к будущей профессии предметами при равнодушии и безразличии к остальным. Изменяется мотивация в основных видах деятельности: учения, общения, труда. На месте прежних (детских) мотивов возникают и закрепляются новые (взрослые) мотивы, приводящие к переосмыслению содержания, целей и задач деятельности.

Как и на других уроках на уроке математики старшеклассника отличает активность мышления, направленность на решение мыслительных задач, вкус к логическому упорядочиванию и систематизации, к поиску универсальных закономерностей, к самостоятельному нахождению способов обобщенной ориентировки в материале, с теоретическим обобщением. Самостоятельная деятельность учащихся очень важный фактор формирования познавательного интереса. Но иногда надо дать стимул для самостоятельного изучения какого-либо явления, так как, изучая его, разбираясь в его проблемах и связями с жизнью, у ученика возникнет неподдельный интерес к изучаемому процессу. Эти самостоятельные задания надо предлагать с учетом склонностей учеников, чтобы это не была работа ради галочки у учителя в тетради. Задав однажды какую-либо тему для исследования, надо в дальнейшем задавать, либо тему в развитии данной проблемы, либо тему в смежной области к области приложения исследования, то есть не давать единичных заданий, которые могут разбудить интерес лишь на время. Но и нельзя изучение проблемы полностью возлагать на плечи ученика, так как это может дать обратный эффект (это уже элемент приневоливания). Надо уловить заинтересовала ли заданная тема ученика или он просто сделал очередное задание.

4.Ожидаемые результаты освоения

раздела программы.

В результате изучения раздела «Тригонометрические уравнения» обучающие должны:

1)        решать уравнения вида: sin x=a,    cos x=a,  tg x=a и  знать решение их  частных случаев;

2)        знать различные приёмы решения линейных, квадратных  уравнений и уравнений, сводящихся к ним;

3)        применять графический метод  для решения уравнений, для  определения принадлежности корней рассматриваемому  промежутку, отбора корней;

4)        владеть системой функциональных понятий, знать тригонометрические функции, предусмотренные минимумом содержания обучения, их свойств и графиков;

5)        применять  обратные тригонометрические функции для проверки полученных решений уравнений.

6)        овладеть стилем мышления, характерным для математика, его доказательностью, строгостью;

7)        уметь логически обосновывать ход преобразований, применять различные способы решения уравнений и уметь выдвигать гипотезы в решении уравнений;

8)        уметь ясно, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи, использовать графический язык математики и свободно переходить от алгебраического метода решения уравнений к графическому методу;

9)        уметь использовать разнообразные информационные источники для подготовки к занятию;

10) уметь  осуществлять алгоритмическую деятельность  и конструировать новые умения для решения более сложных задач.

11)  понимать, что решение тригонометрических уравнений является неотъемлемой частью раздела «Тригонометрия», её знание необходимо для решения тригонометрических неравенств и систем уравнений;

12) понимать, что решение тригонометрических уравнений возникло из потребностей человеческой практики и продолжает развиваться;

13)   понимать, что математическая символика и формулы тригонометрии позволяют описывать общие свойства  решения не только тригонометрических уравнений, но и систем уравнений, неравенств не только в алгебре, но и в геометрии, физике и астрономии.

5.Образовательные технологии, методы, формы организации деятельности обучающихся.

В современном обществе смысл и значение образования меняются. Теперь это не просто усвоение знаний, а импульс к развитию способностей и ценностных установок личности учащегося. Сегодня происходит изменение парадигмы образования – от парадигмы знаний, умений и навыков к парадигме развития личности учащегося. Главной целью образования становиться не передача знаний и социального опыта, а развитие личности ученика. Процесс обучения в современной школе требует от учителя использования в своей работе передовых технологий, способствующих оптимизации учебного процесса, повышения интереса учащихся к изучению предмета.

В своей работе над разделом большую роль я отвожу информационно-коммуникативным технологиям – использование электронно-образовательных ресурсов(ЭОР), что позволяет усовершенствовать традиционные методы обучения.

В работе над данным разделом программы я использую следующие ЭОР: электронные учебные модули (ЭУМ), размещённые на федеральных образовательных порталах.

Электронные учебные модули, используемые при изучении раздела «Тригонометрические уравнения»

Информационные ЭУМ:

• Определение тригонометрических уравнений;
• Определение простейших тригонометрических уравнений;
• Определение однородного тригонометрического уравнения;
• Метод разложения на множители;
• Метод замены переменной;
• Метод введения вспомогательного аргумента;
• Метод рационализации.

Практические ЭУМ:

• Решение простейших тригонометрических уравнений;
• Решение тригонометрических уравнений  методом разложения на множители;
• Решение тригонометрических уравнений  методом замены переменной;

• Решение тригонометрических уравнений методом введения вспомогательного аргумента;

• Решение тригонометрических уравнений  методом рационализации;
• Решение однородных тригонометрических уравнений I – II степени.

Контрольные ЭУМ:

• Решение простейших тригонометрических уравнений. К1
• Решение тригонометрических уравнений различными способами. К2

При работе над данным разделом программы мною используются такие технологии как проблемное обучение, развивающее обучение, дифференцированный подход в обучении.

Проблемное обучение – организация учебного процесса, который предполагает создание проблемных ситуаций и активной деятельности учащихся по их разрешению под руководством учителя. Тригонометрия предоставляет огромный материал для создания проблемных ситуаций – это классификация задач, способы решения и отбора корней. В качестве примера мы возьмем решение простейших тригонометрических уравнений. Перед классом ставится проблема: «Любое ли тригонометрическое уравнение можно решить с помощью числовой окружности или графически?». Предлагается учащимся решить уравнения: а) cost=0,4

б) sint=-0,3

в) tgt=2

Развивающее обучение - осуществляется в форме вовлечение детей в общий труд обучения, вызывая чувство успеха, развития. Я использую такие виды деятельности: дискуссии, методы обучения, направленные на развитие мышления, памяти, математически грамотной речи. Суть развивающего обучения состоит в том, что ученик не только усваивает знания, умения и навыки, но овладевает способами действий. Для этого я использую такой вид работы, как решение задач по тестам. Мной составлены презентации к урокам, в которых задачи подобраны по принципу «от простого к сложному». В ходе дискуссии ученики выделяют необходимые для решения задач элементы, выстраивая при этом логически обоснованные решения. Для усиления познавательного интереса к решению тригонометрических задач и поощрения учащихся, применяю кубик – «экзаменатор», лист учета знаний.

                                          Развертка кубика-«экзаменатора»

Принципы развивающего обучения используются в ЭУМ практического типа.

Дифференцированный подход осуществляется мною на основании учёта уровня обученности, развития учащихся. Этот подход проявляется в подборе заданий разной степени сложности для разных категорий учащихся. Для домашних, самостоятельных и контрольных работ задания разбиты на две группы по уровням сложности:

I уровень – задачи, для решения которых достаточно уметь применять основные тригонометрические формулы и использовать простейшие алгоритмы, делать простые обобщения;

II уровень – задачи предназначены для наиболее подготовленных учащихся. При решении этих задач требуется иметь достаточно высокий уровень развития вычислительных навыков и навыков проведения алгебраических преобразований

6.Календарно-тематическое планирование по разделу.

Тригонометрические уравнения – 30 часов.

6.Календарно-тематическое планирование по разделу.

Тригонометрические уравнения – 30 часов.

7.Система знаний и система деятельности.

Тема «Простейшие тригонометрические уравнения»

На первом уроке разбираются решения тригонометрических уравнений вида: cost=a, sint=a, tgt=a, ctgt=a - где а – действительное число, используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости. Объяснение ведется с помощью готовых чертежей. Повторяются формулы изученные в главе 3 (А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра и начала анализа, 10. Учебник). Отрабатываются навыки решения простейших тригонометрических уравнений. (Презентация «Тригонометрические уравнения»)

На втором уроке проверяется домашняя работа, выводятся общие формулы решения тригонометрических уравнений, обращается внимание детей на отбор корней в тригонометрических уравнениях, отрабатываются навыки решений уравнений типа: sinx=- , cos2x=0,5, 2tgx=4, ctg(2x+)=0,5. Специфика простейших тригонометрических уравнений состоит в том, что в уравнениях бесконечное множество корней.

Проводится самостоятельная работа.

Тема «Уравнения, сводящиеся к квадратным»

На уроке повторяются формулы выражения тригонометрических функций одного и того же аргумента, формулы двойных углов, решаются уравнения сводящиеся к квадратным, отрабатываются навыки.

Проводится первичная диагностика знаний.

Тема «Уравнения, решаемые разложением левой части на множители»

Повторяются основные формулы тригонометрии, при решении уравнений обращается внимание на отбор корней (возможна потеря корней), а так же на уравнения, при решении которых одна серия решений содержится в другой. Например:

Cos3x∙cosx=cos2x

0,5(cos4x+cos2x)-cos2x=0

0,5cos4x-0,5cos2x=0

Cos4x-cos2x=0

-2sin3x∙sinx=0

Sin3x=0             sinx=0

3x=πk, kZ       x=πk, kZ

x=**              x=πk*, kZ

Серия решений (*) содержится в серии решений (**)

Отрабатываются и проверяются знания, умения и навыки решения тригонометрических уравнений.

Тема «Однородные уравнения и уравнения сводящиеся к ним»

Даются определения уравнений I, II, III, …. порядка. Разъясняется ученикам, что при решении однородных уравнений при делении на sinx(cosx) или sin²x(cos²x) обеих частей уравнения не происходит потеря корней. Рассматриваются два примера (I, II порядка), затем записываются уравнения asin²x+bsinx∙cosx+ccos²x=d и показывается каким образом оно сводится к однородному. Отрабатываются навыки решения уравнений данного типа.

Проводится самостоятельная работа.

Тема «Уравнения, решаемые способом универсальной тригонометрической подстановки»

Учащимся показывается, что при применении формул рационализации sinx=, cosx=  сужается область определения, так как левая часть формул существует при всех х, а правая нет. Формулы рационализации могут привести к потере корней, поэтому уравнения 2cos2x+sin2x=-2 (1) и +=-2 (2) не равносильны, так как 1+tg²x>0 для всех х из области определения, tgx не существует при х=+πk. Проверяется является ли х=+πk, kZ

решением (1). 2cos(π+2πk) +sin(π+2πk)=2cosπ+sinπ=-2+0=-2, т.е. +πk, kZ

 решение (1). Отрабатываются навыки решения уравнений данного типа.

Проводится самостоятельная работа.

Тема «Уравнения, решаемые способом введения вспомогательного аргумента»

Повторяются тригонометрические формулы (теоремы сложения), показываются способы решения уравнений вида asinx+bcosx=c. Отрабатываются, закрепляются навыки решения уравнений.

Проводится самостоятельная работа.

Тема «Уравнения, решаемые решение уравнений способом понижения степени»

Повторяются формулы понижения степени. Знакомство детей с «негласными» законами в тригонометрии, которые помогают при решении достаточно сложного примера осуществить удачный выбор той или иной формулы:

Закон №1. «Увидел сумму – делай произведение».

Закон №2. «Увидел произведение – делай сумму».

Закон №3. «Увидел квадрат – понижай степень».

В качестве примера разбирается уравнение cos²x+sin²3x=1. Сначала применяется закон №3:

+=1

cos2x-cos6x=0,

 а затем закон №1

-2sin4x∙sin2x=0

Sin4x=0; sin2x=0

x=;       х=, nZ

 и учитывается, что серия решений x= содержит в себе серию решений х= ответ записывается в виде x=, nZ

Отрабатываются и проверяются знания, умения и навыки решения тригонометрических уравнений.

8.Разработка урока.

1.Место данного урока в разделе курса.

Данный урок является заключительным в теме “Методы решения тригонометрических уравнений”.

2. Связь с предыдущими уроками, темами, на что в них опирается.

На данном уроке используются знания учащихся по всем темам тригонометрии.

3. Влияние этого урока на последующие уроки, темы.

Урок является основополагающим в данной теме: на нем демонстрируются различные способы решения тригонометрических уравнений, ведется подготовка к контрольной работе и сдаче ЕГЭ.

4. Учет реальных возможностей учащихся класса, уровня его воспитанности, развития, интересов, склонностей.

Состав класса разнороден: 38% учащихся имеют высокий уровень развития интеллектуальных способностей и учебной мотивации; 39% хорошо усваивают учебный материал. Однако некоторые ученики имеют пробелы в знаниях за курс основной школы, поэтому испытывают затруднения в усвоении отдельных тем.

5. Специфика урока, его тип.

Урок систематизации знаний, отработки умений и навыков учащихся.

6. Какие задачи будут решаться на уроке?

1) Отработка навыков решения тригонометрических уравнений различными способами посредством включения учащихся в самостоятельную познавательную деятельность.
2) Воспитание самостоятельности и ответственности за качество своих знаний.
3) Развитие умений анализировать, составлять план или алгоритм учебных действий, развитие навыков самоконтроля.

7. Структура урока, его рациональность.

Урок состоит из следующих этапов:

• постановка цели, мотивация учащихся;
• обобщение и систематизация знаний, отработка навыков решения тригонометрических уравнений различными способами;
• подведение итогов урока, задание на дом.

8. Методы осуществления задач урока.

Методы самостоятельной познавательной деятельности являются ведущими в осуществлении задач урока. В ходе урока планируется проведение различных видов самостоятельных работ: проверочной, тренировочной по отработке и совершенствованию навыков.

9. Формы работы: Коллективные, групповые , индивидуальные, разноуровневые.

10. Средства, которые будут использованы на уроке.

• Ноутбук,
• проектор,
• экран.

План-конспект урока

Цели:

• обобщить знания и отработать навыки решения тригонометрических уравнений различными способами посредством включения учащихся в самостоятельную познавательную деятельность, подготовить учащихся к выполнению контрольной работы по данной теме;
• способствовать воспитанию самостоятельности и ответственности обучающихся за качество своих знаний;
• создать условия для развития навыков самоконтроля, умений анализировать, составлять план или алгоритм учебных действий.

ХОД УРОКА

Мотивационная беседа

Сегодня у нас заключительный урок по теме “Решение простейших тригонометрических уравнений”. Повторяем, обобщаем, приводим в систему приемы решения простейших тригонометрических уравнений, составляя план или алгоритм учебных действий.

Перед вами стоит задача – показать свои знания и умения по решению данных уравнений.

Проверка домашнего задания. Ребята, дома вы должны были решить тригонометрические уравнения. (Cамопроверка)

Подведение итогов: Большинство справились с домашним заданием.

Для закрепления темы, по решению простейших тригонометрических уравнений предлагаю самостоятельную работу на два варианта с взаимопроверкой.

Ответ:

I вариант – 1-б; 2-а; 3-г.

II вариант – 1-г; 2-в; 3-а.

Актуализация опорных знаний

Вспомните, какие методы решения тригонометрических уравнений вы знаете. Назовите их.

Ответ: приведение к квадратному, однородные, понижение порядка, замена суммы произведением, с помощью универсальной подстановки.

Устно: среди уравнений

1. 2sin2x - 5cos2x = 3sinxcosx
2. sin2x + cos22x = 3/2.
3. cosx·sin7x = cos3x·sin5x,
4. sin2x - 2sinx – 3 = 0,
5. 2 cosx – sinx = 0,
6. sinx + sin3x = sin5x – sinx,
7. sinx – sin2x + sin3x – sin4x = 0,
8. 3sin2x + 2cos2x +2 cosx = 0,

а) заменой переменной; (4;8)

б) приведением к квадратному; (4; 8)

в) делением на старшую степень синуса или косинуса, т. е. как однородные; ((1; 5)

г) понижением степени; (2)

д) с помощью формул суммы или разности; (6; 7)

Древнегреческий поэт Нивей утверждал, что математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед. Поэтому сегодня будем не наблюдать, а большую часть урока работать самостоятельно.

2. Фронтальная письменная работа с классом решения уравнений по алгоритму.

1-й ряд (средний уровень) решают первый пример по разобранному алгоритму.

2-й и 3-й ряды (высокий) составляют алгоритм решения самостоятельно и сверяют с доской.

3 Дифференцированная самостоятельная работа в группах по решению уравнения разными способами.

     I группа:

      II группа:

1. 
2. решить уравнение с отбором корней.

?Лишнее, но!

Тригонометрические выражения во многих случаях подчиняются трем «законам»

• Первый закон. «Увидел сумму – делай произведение»
• Второй закон. «Увидел произведение – делай сумму»
• Третий закон. «Увидел квадрат – понижай степень»

Предложить метод решения уравнения

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. = 0

IV. Подведение итогов урока.

А.Энштейн говорил так: “Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, важнее. Политика только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно”.

Вывод: 

• обобщили знания и отработали навыки решения тригонометрических уравнений различными способами, подготовились к выполнению контрольной работы по данной теме;
• развили чувство самостоятельности и ответственности за качество своих знаний;
• развили навыки самоконтроля, умений анализировать, составлять план или алгоритм учебных действий;

Оценивание:

За работу у доски:

За активное участие на уроке:

V. Задание на дом.

Мы замечательно поработали. Те навыки, которые вы получили на уроке, помогут нам в дальнейшей работе. А чтобы вы их не потеряли, но продолжили развивать, выполните дома следующие задания.

Домашнее задание.

“Алгебра и начала анализа” ч. 2 Задачник под ред. А.Г.Мордковича. Стр.53 № 356 (а, б) 3 363бв

9.Контролирующие материалы.

Самостоятельная работа №1

1)Решите уравнение cos 2x=1
1.; 2) ; 3) 4)

2)Решите уравнение

1) ; 2) ; 3) ; 4)

3.Решите уравнение 2cos x=-1

  1) ; 2) ; 3) ; 4)

4.Укажите наименьший положительный корень уравнения 

1)30; 2) 45; 3) 15; 4) 150.

5.Решите уравнение

1) ; 2);  3) ; 4)

Тест

1. cos x=1      а) 0;    б)2πn;  nZ   в)π+2πn;   nZ      г)πn;   nZ
2. cos( - x)= - 1       а) π+2πn;   nZ    б)2πn;   nZ    в) 0     г)+π;   nZ
3. sin x =1

а) (-1)n    б) πn; в)  (-1)n + 2  г)± +2πn;  

4. 2 tg x=3

а) нет решений;    б) +πт; nZ    в) г) arctg

5. cos5x= -1

а)+б) -    в)  ;   nZ    г)±; nZ

6. cos( - 2x)= -

      а) ±+πn;    nZ  б) π+2πn;    nZ  в)±  г)±

7. tg4x=

а) -     б)πn;   nZ    в)  ;  nZ    г)  нет решения

8.  cos(x - а) ±  +2πn, nZ ;          б) ( -1)n   + в) ( -1)n+1   +2 г)( - 1)n  . 

Самостоятельная работа №2

 Вариант I                                                                      Вариант II

sin x + cos x = 0                                                          sin 4x = cos 4x

2sin2 x + 3 sin x cos x + cos2 x = 0                            4 sin2 x – 5 sin x cos x – 6 cos2 x = 0

sin2 x + 2 sin x cos x – 3cos2 x + 2 = 0                     4sin2 x – 8 sin x cos x + 10 cos2 x = 3

Контрольная работа №1 на тему: «Простейшие тригонометрические уравнения».

Решить уравнение cos2x+sinxcosx=1

Решить уравнение:  sin x + cos x = 1 .

Решить уравнение:  cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Решить уравнение:  cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1. 

Самостоятельная работа №3:

sin 2x + tg x = 2:

6 + 6 cos x + 5 sin x cos x = 0:

Самостоятельная работа №4

sinx + cosx = 1

Сколько корней уравнения:

5sinx – 12cosx + 13sin3x = 0

Содержатся в отрезке [, 7]

Контрольная работа №2:

                     Вариант I                                                      Вариант II

Решить уравнения.

10.Список литературы и адреса образовательных сайтов, используемых при изучении раздела.

1. Бородуля И.Т. «Тригонометрические уравнения и неравенства», Москва- Просвещение, 1989г.
2. А.Г. Мордкович, П. В. Семенов «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс»,  Мнемозина, 2009г.
3. Шахмейстер А., «Тригонометрия», С-Петербург -Москва, 2009г.
4. Аджиева А. Тригонометрические уравнения // Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 33, 2001г.
5. Адрова И.А., Ромашко И.В. Модульный урок в X классе по теме «Решение тригонометрических уравнений» //Математика в школе. 2001.№4
6. Звавич В.И., Пигарев Б.П. Тригонометрические уравнения //Математика в школе. 1995. № 2.
7. Звавич В.И., Пигарев Б.П. Тригонометрические уравнения (решение уравнений + варианты самостоятельных работ) //Математика в школе. № 3.
8. Мордкович А.Г. Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе // Математика в школе. 2002. №6.
9. Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра 10 класс. Составитель: Т. А. Бурмистрова.
10. http://fcior.edu.ru – Федеральный центр информационных образовательных ресурсов
11. http://school-collection.edu.ru – Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов