Решение олимпиадных задач по математике.
олимпиадные задания по теме

Баранова Лариса Васильевна

Рассмотрен метод раскраски и инвариант. Указанные методы оформлены в виде трёх презентаций, которые можно сразу использовать непосредственно при работе с учащимися, испытывающими интерес к математике и при подготовке к олимпиадам.

Скачать:

ВложениеРазмер
Package icon reshenie_olimpiadnyh_zadach.zip1.69 МБ

Подписи к слайдам:

Решение олимпиадных задач
Инварианты
Учитель математики Баранова Л.В. г. Печора
Что такое инвариант?
Инвариантом некоторого преобразования называется величина или свойство, не изменяющееся при этом преобразовании.
В качестве инварианта:
Четность и нечетность Остаток от деленияПерестановкиРаскраски
« Разная четность »
Х+2 имеет ту же четность, что и число х (или оба четные, или оба нечетные).7+2=9 98+2=100\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\Х+1 – четность меняется.7+1=8 12+1=13
Сформулируем два важных утверждения, на которых основано применение идеи четности и нечетности.
Утверждение 1:
Четность суммы нескольких слагаемых совпадает с четностью количества нечетных слагаемых.
Пример:1+2+…+10 –число нечетное,т.к в сумме 5 нечетных слагаемых.Пример:3+5+7+9+11+13 –число четное, т.к в сумме 6 нечетных слагаемых
Утверждение 2:
Знак произведения нескольких чисел определяется четностью количества отрицательных сомножителей.
Примеры:1)Число (-1)(-2)(-3)(-4)-положительно. 2)(-1) 2 (-3) 4 (-5) –отрицательно, т.к…..
Задача 1:Учитель написал на листке бумаги число 10. 15 учеников передают друг другу лист, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу- как хочет. Может ли в результате получиться число 0?
Решение:
* 10- число четное.*1ход-характер четности меняется10+1=11 или 10-1=9(нечетное)*2ход-снова меняет характер четности(четное) *3ход-нечетное и т.д*Значит, после 15(нечетного) хода будетчисло нечетное. Поэтому нуль в конце получиться не может!
Задача 2.
На доске написано 15 чисел: 8 нулей и 7 единиц. Вам предлагается 14 раз подряд выполнить такую операцию: зачеркиваем любые два числа, и если они одинаковые, то дописываем к оставшимся числам нуль, а если разные, то единицу. Какое число останется на доске?
Решение:
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1)Если вычеркиваем два нуля, то дописываем нуль, тогда «0»-7, «1»-7.Осталось 14 чисел.Сумма -нечетное.2)Если вычеркиваем две единицы, то дописываем нуль, тогда «0»-9, «1»-5. Сумма -нечетное.3)Если нуль и единицу, то дописываем единицу, тогда «0»-7, «1»-7.Сумма-нечетное число.
Таким образом получаем:
---после выполнения данной операции на доске получается на одно число меньше.---сумма оставшихся чисел все время число нечетное.Значит, после 14 раз указанной операции на доске останется одно и нечетное число, а это-1!
Вывод:
Инвариантом в задачах 1 и 2 являлась четность суммы чисел (она нечетная).
Задача 3.
Квадрат 5х5 заполнен числами так, что произведение чисел в каждой строке отрицательно. Доказать, что найдется столбец, в котором произведение чисел также отрицательно.
Решение:
Найдем произведение всех чисел. ОноОтрицательно. Произведение всех чисел равно произведению чисел в столбцах.А так как произведение всех чисел отрицательно, тоОно д.б отрицательно в пяти, трех или хотя бы в одном столбце.Что и требовалось доказать!
Задача 4:
16 корзин расположили по кругу. Можно ли в них разложить 55 арбузов так, чтобы количество арбузов в любых двух соседних корзинах отличалось на 1?
Решение:
Т.к количество арбузов в любых двух соседних корзинах отличается на 1, тоРассмотрим сумму: ч + н + ч +…+ н =55Или н + ч + н +…+ ч = 55.И т.к это будет сумма 16 слагаемых и нечетных слагаемых в ней – 8(четное),то сумма должна быть четным числом!Значит, разложить 55 арбузов нельзя!

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Рабочая программа элективного курса "Решение нестандартных и олимпиадных задач по математике",7 класс

 Программа состоит из ряда независимых разделов и включает вопросы, углубляющие знания учащихся по основным,  наиболее значимым темам школьного курса и расширяющие их математический к...

Рабочая программа элективного курса "Решение нестандартных и олимпиадных задач по математике",5 класс

Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. шк...

Программа "Решение олимпиадных задач по физике. 7 класс".Программа "Решение олимпиадных задач по физике. 8 класс".

С 2013 года участвую в работе инновационной площадки «Центр дополнительного образования – интегрирующая образовательная среда по работе с одарёнными детьми».Решение задач способствует более глубокому ...

Виды и методы решения олимпиадных задач по математике

Данная методическая разработка дает возможность провести дополнительное занятие по подготовке к олимпиаде для учащихся 5-6 класса. В презентации рассмотриваются основыне виды олимпиадных задач. Привод...

Рабочая программа по внеурочной деятельности: «Решение олимпиадных задач по математике»

Программа по внеурочной деятельности: «Решение олимпиадных задач по математике»...

Методы решения олимпиадных задач по математике

Различные методы решения задач по математике...