Математика
консультация по теме

Первообразная и неопределённый интеграл

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на (a,b), если F/(x)=f(x) на (a,b).

Множество всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается  .

Основные свойства неопределенного интеграла

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. Если  и U=U(x), где U(x)- непрерывно дифференцируемая функция, то
7. Если x=x(t) непрерывно дифференцируемая функция, то .

Таблица простейших часто встречающихся интегралов

1.                 2.

3.                                             4.

5.                                              6.

7.                                           8.

9.                             10.

11.                                      12.  

13.                                14.

15.                              16.

17.                              18.

Таблица основных дифференциалов

1.         где С-константа.
2.                                             9.
3.                                         10.  
4.             11.
5.                                               12.       
6.                                             13.
7.                                                 14.
8.                                             15.

Рассмотрим примеры нахождения неопределенного интеграла методом «подведения под знак дифференциала».

Пример 1

.

Пример 2

.

Пример 3

.

Пример 4

.

Интегрирование путем замены переменной

Один из наиболее распространенных методов, применяемых при вычислении неопределенных интегралов, метод замены переменных или подстановки.

Если известно, что , то

 где f(t), u(x), u/ (x) – непрерывны.

Способ подстановки состоит в том, что сообразно виду подынтегральной функции составляют вспомогательную функцию, подстановка которой в исходный интеграл приводит его к виду более удобному для интегрирования (часто табличному).

Пример 1

.

Пример 2

.

Пример 3

.

Пример 4

.

Используем замену в более сложных примерах.

Пример 5

В этом случае используется форма подстановки, а именно , получим

и  

Пример 6

Использование универсальной тригонометрической подстановки

.

Метод замены переменной является одним из общих методов интегрирования. Умения использовать такие подстановки, которые упрощают подынтегральные выражения, вырабатываются практикой. Общих указаний по выбору выгодной подстановки дать нельзя.

Интегрирование по частям

Пусть  непрерывно дифференцируемые функции, тогда  или

Пример 7

.

Пример 8

.

Рассмотрим получившийся интеграл

Ответ: 

Замечания

Метод интегрирования по частям применяется при интегрировании следующих видов функций.             

1. При интегрировании функций вида   интегрирование по частям применяется 2 раза, что приводит к решению уравнения для получения конечного ответа.

Пример 9

.

Пусть .

Тогда последнее равенство может быть переписано в виде

.

Получим уравнение

Отсюда

.

2. Метод интегрирования по частям может быть использован при интегрировании функций , тогда , .

Пример 10

.

Рассмотрим получившийся интеграл.

.

:     уравнение относительно J.

.

Ответ:

.

Пример 10 может быть решен методом замены.

Пусть , тогда .

.

.

При вычислении одного и того же интеграла разными методами могут получаться отличные  друг от друга ответы. Здесь имеем две функции  и . Однако

Необходимо иметь в виду, что применение метода интегрирования по частям приводит к частичному интегрированию, т.к. правая часть формулы (1) содержит интеграл. Но при правильном применении метода этот интеграл получается табличным или просто приводящимся к табличному.

Если в результате применения метода интегрирования по частям в правой части получается интеграл сложнее исходного, необходимо заново применить этот метод, разбив подынтегральное выражение на другие два множителя U и dV, из которых первый дифференцируется, а второй интегрируется при переходе к интегралу в правой части.

Умения правильного использования этого метода приобретаются только в результате упражнений.

Интегрирование дробно-рациональных выражений

1. .
2. , причем, как предполагалось выше, .

Обозначим: .

Сделаем замену переменных

,   ,,

.

Имеем:

.

3. Пусть  правильная дробь, т.е. m < n. Рассмотрим упрощенный вариант разложения многочлена на множители (полные способы разложения здесь не рассматриваются)

, т.е. n=5;

Тогда

.

Найдя коэффициенты А,В,С и D, мы придем к вычислению трех уже известных интегралов

.

Пример 11

.

-> m < n  дробь правильная.

 –> разложили как сумму кубов

.

.

Так как  имеет действительный корень х=-1  (х+1=0), то применим метод частных значений: подставим х=-1 в левую и правую часть разложения

.

−>A=2.

Других удобных значений X у нас нет. Применим метод сравнения коэффициентов при одинаковых степенях X в левой и правой частях.

.

.

Имеем

.        

.

Множество рациональных чисел.

Представления о числах у человечества складывались постепенно под влиянием требований практики.

Натуральные числа 1, 2, 3, … появились в связи с необходимостью подсчета предметов, то есть с необходимостью ответить на вопрос: «Сколько элементов содержит данное множество?». Например, пересчитав книги, стоящие на полках книжного шкафа, мы говорим, что на первой полке 5 книг, на второй полке 8 книг и т.д.

Если же одна из полок книжного шкафа свободна от книг (на ней могут находиться тетради или другие  предметы), то мы говорим, что на этой полке 0 (нуль) книг.

Если к множеству всех натуральных чисел  присоединить число 0, то получим множество неотрицательных  целых чисел  .

Одних только неотрицательных целых чисел для решения задач, поставленных практикой, а значит, и математических задач, отражающих данную реальную ситуацию,  оказалось недостаточно. Например, температуру воздуха в шесть градусов тепла и шесть градусов мороза характеризуют соответственно  и . Числа  и  называются противоположными числами.

Натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и нуль составляют множество  целых чисел.

 Во множестве целых чисел определены операции сложения, вычитания и умножения, в результате этих операций всегда  получится целое число. Операция деления во множестве целых чисел определена не для любых двух  целых чисел. Например, число 2 нельзя разделить на число 3 так, чтобы в результате получилось целое число.

Решение практических задач, связанных с делением и измерением величин, привело к необходимости расширения множества целых чисел, введения дробных чисел.

Целые и дробные числа составляют множество  рациональных чисел.

Дадим более полное описание множества рациональных чисел.

Положительными рациональными числами называются числа вида , где  и  –  натуральные числа. Такие числа называются еще положительными обыкновенными дробями. Число  называется числителем дроби, а число  – знаменателем дроби.

Числа вида , где  и  –  натуральные числа, называются отрицательными рациональными числами. Их еще называют отрицательными обыкновенными дробями.

Любое отрицательное и положительное целое число можно представить в виде обыкновенной дроби, у которой знаменатель равен 1. Например,

,  .

Число 0 можно представить в виде обыкновенной дроби, у которой числитель равен нулю:

Две обыкновенные дроби считаются равными, если одна из них получается из другой  умножением числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число. Например,

, .

Для любых двух обыкновенных дробей определены операции сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на нуль).

Множество всех обыкновенных дробей (положительных,  отрицательных и равных нулю) образует множество  рациональных чисел.

Действия с обыкновенными дробями

 ПРИВЕСТИ ПРИМЕРЫ!!!

1. Приведение дробей к общему знаменателю.

2. Сложение, вычитание дробей с одинаковыми и разными знаменателями.

3. Сложение и вычитание смешанных чисел.

4. Умножение и деление обыкновенных дробей.

Представление рациональных чисел десятичными дробями.

Если знаменатель обыкновенной дроби равен натуральной степени числа 10, то эту дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби. Например,

;   ; ;

; .

Очевидно, любую конечную десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной дроби, причем после сокращения ее знаменатель не имеет  других простых делителей, кроме 2 и 5.

ПРИМЕР 1: Записать в виде несократимых обыкновенных дробей следующие десятичные дроби:

Решение:    

Если знаменатель дроби не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5, то эту дробь можно представить конечной десятичной дробью. Для этого нужно числитель и знаменатель дроби умножить на соответствующие степени чисел 2 и 5.

ПРИМЕР 2: Записать в виде десятичных дробей следующие обыкновенные дроби:

Решение:

;

;

Если знаменатель несократимой обыкновенной дроби имеет простой делитель, отличный от 2 и 5, то эта дробь не может быть записана в виде конечной десятичной дроби. Применив к ней способ «деления уголком», мы не получим конечную десятичную дробь.

Например,

где  точки означают, что цифра 3 периодически повторяется бесконечно много раз. Аналогично,

    .

Выражения вида     называются бесконечными десятичными дробями.

Бесконечные периодические дроби.

Бесконечная десятичная дробь называется периодической, если у нее, начиная с некоторого места, все десятичные знаки периодически повторяются.

Например,

     .

Для записи бесконечных периодических десятичных дробей имеется специальное обозначение. Например, вместо  пишут .

Аналогично,

.

Число, записанное  в скобках, называется периодом рассматриваемой дроби.

Поэтому дроби , ,  читаются  соответственно так: «нуль целых и три в периоде», «минус нуль целых и три в периоде», «три целых, сто двадцать пять тысячных и семьдесят восемь в периоде».

Каждое рациональное число представимо в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Например, рациональное число  представляется в виде десятичной периодической дроби , причем для получения такого представления достаточно разделить число 5 на 11:

     5     11

                                                            44   0,45

                                                              60

                                                              55

                                                                5

Получив остаток, равный 5, мы можем дальше не вести вычислений, так как остатки и цифры в частном будут повторяться. Поэтому , то есть имеем «нуль целых и сорок пять в периоде».

Каждое рациональное число представимо в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Например,  

;

;

.

Правило перевода бесконечной периодической дроби в обыкновенную дробь.

Чтобы обратить периодическую дробь в обыкновенную, надо из числа стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и записать эту разность числителем, а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, и после девяток дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом. 

Например, обратить периодическую дробь в обыкновенную:
а) 0,(3);  б) 0,2(1);  в) 0,2(19);  г) 3,(73)  д) 2,2(41).

Решение:

а)  ;  б) ; в) ;

г) ;   д) .

СПОСОБ 2:

Основные понятия комбинаторики

Из глубокой древности до современного человечества дошли сведения о том, что уже тогда люди занимались выбором объектов и расположения их в том или ином порядке и увлекались составлением различных комбинаций. Так, например, в Древнем Китае увлекались составлением квадратов, в которых заданные числа располагали так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же (современная игра – задача «Судоку»). Такие задачи вы могли встречать в журналах и газетах. В Древней Греции подобные задачи возникали в связи c такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты и т.д.

Комбинаторика становится самостоятельным разделом математики, по сути – самостоятельной наукой лишь во второй половине XVII века,  – в период, когда возникла теория вероятностей.

Таким образом, комбинаторика – это самостоятельный раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или условиям, можно составить из заданных объектов.

Термин «КОМБИНАТОРИКА» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».

Мы будем рассматривать перестановки, размещения, сочетания, как соединения, как комбинаторные конфигурации.

Рассмотрим известное из детства сказание о том, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до развилки трех дорог, читает на камне: «Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься». А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора. Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Эти пути и варианты складываются в самые разнообразные комбинации. И целый раздел математики, именуемый КОМБИНАТОРИКОЙ, занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую.

Задачей комбинаторики можно считать задачу размещения объектов по специальным правилам и нахождение числа способов таких размещений.

1. Перестановки – соединения, которые можно составить из n предметов, меняя всеми возможными способами их порядок; число их

Количество всех перестановок из n элементов обозначают  Число n при этом называется порядком перестановки.

Произведение всех натуральных чисел от n до единицы, обозначают символом n! (Читается «эн – факториал»). Используя знак факториала, можно, например, записать:

Необходимо знать, что 0!=1.

Пример: Сколькими способами 7 книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение: .

Значит, существует 5040 способов осуществить расстановку книг.

Ответ: 5040 способов.

2. Размещения – соединения, содержащие по m предметов из числа n данных, различающихся либо порядком предметов, либо самими предметами; число их: .

В комбинаторике размещением называется расположение «предметов» на некоторых «местах» при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны.

В отличие от сочетаний размещения учитывают порядок следования предметов. 

Так, например, наборы < 2,1,3 > и < 3,2,1 > являются различными, хотя состоят из одних и тех же элементов {1,2,3} (то есть, совпадают как сочетания).

Пример: Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны? Это пример задачи на размещение без повторений.

Размещаются здесь десять цифр по 6. Значит, ответ на выше поставленную задачу будет:

.

Ответ:151200 способов.

Сочетания – соединения, содержащие по m предметов из n, различающиеся друг от друга, по крайней мере, одним предметом.

.

Таким образом, количество вариантов при сочетании будет меньше количества размещений. В комбинаторике сочетанием из n по m называется набор m элементов, выбранных из данных n элементов.

Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.

Пример:  Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 3 человек, можно образовать из 10 преподавателей?

Решение: По формуле находим:

 комиссий.  

Ответ: 120 комиссий.

Общее у всех этих задач то, что их решением занимается отдельная область математики, называемая комбинаторикой. «Особая примета» комбинаторных задач – вопрос, который всегда можно сформулировать так, чтобы он начинался словами: «Сколькими способами…?».

Пример: Сократите дробь: 1) ; 2)

Решение:

1. 
2. .

Числовые последовательности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцию вида ,  называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают  или , , , …, , … . Иногда для обозначения последовательности используется запись .

Способы задания числовой последовательности

1. Словесный способ 

Правило задания последовательности описано словами, без указания каких-то формул. Так, словесно задается последовательность простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

2. Аналитический способ

Последовательность задана аналитически, если указана формула ее n-го члена.

Пример 1: . Это аналитическое задание последовательности

1, 4, 9, 16, 25, …, , …

Указав конкретное значение  , нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером. Если, например, , то . Напротив, если взят определенный член последовательности, можно указать его номер. Например, если , то из уравнения  находим, что . Это значит, что 25-й член заданной последовательности  равен 625.

Пример 2: . Здесь речь идет о последовательности

Такую последовательность называют постоянной (или стационарной).

3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывают правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Например, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность , заданная рекуррентно соотношениями:

,

( и – заданные числа,  – разность арифметической прогрессии).

Задание 1. Приведите примеры последовательностей, заданных:

1) с помощью формулы n-го члена;

2) словесно;

3) рекуррентным способом.

Задание 2. Задайте последовательность аналитически и найдите первые пять членов этой последовательности:

а) каждому натуральному числу ставится в соответствие противоположное ему число;

б) каждому натуральному числу ставится в соответствие квадратный корень из этого числа;

в) каждому натуральному числу ставится в соответствие половина его квадрата.

Задание 3. По заданной формуле n-го члена вычислите первые пять членов последовательности :

1) ;       2) ;   3) ;   4) .

Задание 4. Выпишите первые пять членов последовательности, заданной рекуррентно:

1) , ;   2) , ;   3) , .

Свойства числовых последовательностей

1. Последовательность  называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа.

Иными словами, последовательность  ограничена сверху, если существует число М такое, что для любого n выполняется неравенство . Число  называют верхней границей последовательности.

Например, последовательность  ограничена сверху. В качестве верхней границы можно взять число  или любое число, которое больше, чем , например 0.

2. Последовательность  называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа.

Иными словами, последовательность  ограничена снизу, если существует число  такое, что для любого n выполняется неравенство . Число  называют нижней границей последовательности.

Например, последовательность  ограничена снизу. В качестве нижней границы можно взять число  или любое число, которое меньше .

Если последовательность ограничена и сверху, и снизу, то ее называют ограниченной.

Например,  Эта последовательность ограничена и сверху, и снизу. В качестве верхней границы можно взять число 1, в качестве нижней границы – число 0.

Если построить график последовательности , то есть график функции ,  в прямоугольной системе координат, то окажется, что весь он расположен в полосе между некоторыми горизонтальными прямыми, например,  и , а в этом и состоит, геометрический признак ограниченности функции.

Особенно наглядным становится свойство ограниченности  последовательности, если члены последовательности отметить точками на числовой прямой. Ограниченность последовательности означает, что все члены последовательности (соответствующие им точки прямой) принадлежат некоторому отрезку.

Так, изобразив члены последовательности  точками на числовой прямой, замечаем, что все они принадлежат отрезку .

3. Последовательность  называют возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего:

Например, 1, 3, 5, 7, …, , … – возрастающая последовательность.

4. Последовательность  называют убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего:

Например, 1, , , , …, , … – убывающая последовательность.

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Задание 5. Определите, является ли последовательность  убывающей или возрастающей:

1) ;   2) ;   3) ;  4) .

Задание 6. Какие из заданных последовательностей ограничены сверху?

1)     2)    3)

Задание 7. Какие из заданных последовательностей ограничены снизу?

1)     2)    3)

Задание 8. Выясните, какие из приведенных последовательностей являются монотонными. Укажите характер монотонности:

1) ;   2) ;   3) .

Задание 9. Изобразите точками на числовой прямой члены последовательности. Найдите, если возможно, отрезок, которому принадлежат все члены последовательности:

1) ;   2) ;   3) , .

Предел числовой последовательности

Рассмотрим две числовые последовательности  и .

: 1, 3, 5, 7, …, , …

: 1, , , , …, , …

Изобразим члены этих последовательностей точками на координатной прямой

Заметим, что члены второй последовательности  как бы «сгущаются» около точки 0, а у первой последовательности  такой «точки сгущения» нет. В подобных случаях говорят:  последовательность  сходится, а последовательность  расходится.

КАК УЗНАТЬ, ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ КОНКРЕТНАЯ ТОЧКА, ВЗЯТАЯ НА ПРЯМОЙ, «ТОЧКОЙ СГУЩЕНИЯ» ДЛЯ ЧЛЕНОВ ЗАДАННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ?

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть точка прямой, а положительное число. Интервал  называют окрестностью точки , число  радиусом окрестности.

Например,  окрестность точки 6, причем радиус этой окрестности равен 0,02.

Уточним: математики не любят термин «точка сгущения», они предпочитают использовать термин «предел последовательности».

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число  называют пределом последовательности , если в любой заранее выбранной окрестности точки  содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

ОБОЗНАЧЕНИЕ:  (предел последовательности  при стремлении  к бесконечности равен ).

Замечание: Если число  – предел последовательности , то, образно выражаясь, окрестность  точки  – это «ловушка» для последовательности: начиная с некоторого номера  эта ловушка «заглатывает»  и все последующие члены последовательности. Чем тоньше «ловушка», т.е. чем меньшая выбирается окрестность, тем дольше «сопротивляется» последовательность, но потом все равно «подписывает акт о капитуляции» – попадает в выбранную окрестность.

Для рассмотренной выше последовательности  можно записать соотношение .

Так же обстоит дело с последовательностью  . Имеет место соотношение . Вообще, если , то . Если , то последовательность  расходится.

Свойства сходящихся последовательностей

1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Обратное утверждение неверно: например, 1,2,3,1,2,3, …, 1,2,3, …  –  ограниченная последовательность, но она не сходится.

3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

4. Предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности.

.

Если , , то

5.  Предел суммы равен сумме пределов:

;

6. Предел произведения  равен произведению пределов:

;

7. Предел частного равен частному пределов:

, ;

8. Постоянный множитель можно вынести за знак пределов:

.

Пример 1: Найти пределы последовательностей:

1)

Имеем . Применив правило «предел произведения», получим:

2)

Вообще, для любого натурального показателя  и любого коэффициента  справедливо соотношение:

.

3)

.

4) .

Разделим числитель и знаменатель дроби почленно на .