Открытое занятие по ТОНКМ "Структура теоремы. Виды теорем" с презентацией
план-конспект занятия по теме

Тема: «Структура теорем. Виды теорем, связанных с данной теоремой»

Методическая цель: повышение качества образовательного процесса посредством применения современных образовательных  технологий.

Задачи занятия:

Образовательные:

• изучить понятие теоремы, её структуру, виды теорем, связанных с данной;
• создать условия для формирования общих и профессиональных компетенций по теме занятия.

Развивающие:

• формировать умения работать в группах и по индивидуальной траектории;
• способствовать развитию навыков самоконтроля, взаимоконтроля, самооценки.

Воспитательные:

• воспитывать культуру общения при работе в группах, уважительное отношение друг к другу;
• воспитывать у студентов настойчивость к достижению конечных результатов.

Формируемые компетенции:

Учебно-познавательные компетенции:

• умение ставить познавательные задачи;
• умение проводить анализ полученных результатов, делать выводы;
• умение планировать учебную деятельность.

Коммуникативные компетенции:

• навыки работы в группе;
• умение выступать перед аудиторией;
• умение формулировать вопросы и корректно вести учебный диалог.

Профессиональные компетенции:

• умение работать в группе, выполнять ролевые функции, строить отношения в команде;
• умение представлять результаты своей работы;
• умение организовывать собственную деятельность.

Тип учебного занятия: урок ознакомления с новым материалом.

Методы и приемы обучения: работа в малых группах, проблемный метод обучения, частично поисковый, тестирование.

Междисциплинарные связи: методика математики, математика.

Материально-техническое обеспечение занятия: интерактивная доска, персональный компьютер, видеокамера, электронная презентация, учебники математики для начальной школы для 1, 2, 3, 4 классов по различным программам обучения, дидактические материалы: карточки «Блиц-опрос» задания для практической работы по подгруппам, схема логического анализа теоремы, карточки для записи опорного конспекта «Запиши и запомни», карточки с примерами теорем, памятки с формируемыми общими и профессиональными компетенциями.

Ход занятия

1. Организация начала занятия (Слайд 1)

Наше занятие я хочу начать с отрывка из шуточного стихотворения С.Я Маршака «Сказка о старушке» Подумайте, как связано содержание этого стихотворения с изученной на прошлом занятии темой:

«…Пойду-ка домой, если я – это я,

Меня не укусит собака моя!

Она меня встретит, визжа, у ворот,

А если не я – на куски разорвет!»

В окно постучалась старушка чуть свет,

Залаяла громко собака в ответ.

Старушка присела, сама не своя,

И тихо сказала: «Ну, значит, не я!»

Правильно ли рассуждала старушка? Почему ее заключение абсурдно?

К этому стихотворению мы вернёмся в конце урока. Вам надо будет ответить на вопрос – Как это стихотворение связано с изученным на этом уроке материалом?

2. Актуализация усвоения изученного материала. (Слайды  2 и 3)

Блиц – опрос.

1. Определите значение истинности высказываний:

а) Если  произведение двух натуральных чисел делится на 3, то хотя бы один из        множителей делится на 3.

б) Для того, чтобы число делилось на 2, необходимо, чтобы оно оканчивалось нулем.

в) Сумма двух нечетных чисел есть нечетное число.

                  2. Вместо многоточия вставьте либо «необходимо», либо «достаточно», либо «необходимо и достаточно», чтобы предложения были истинными:

а) для того чтобы число делилось на 3, …, чтобы оно делилось на 6.

б) для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, …, чтобы его диагонали были равны.

в) для того чтобы квадраты имели одну и ту же площадь, …, чтобы их стороны были равны.

        Самопроверка и самооценка результатов своей работы. Итог.

3. Постановка темы и задач занятия. (Слайды 4,  5 и 6)

Тема нашего занятия «Структура теоремы. Виды теорем, связанных с данной».

Исходя из  темы и плана, давайте попробуем определить задачи нашего занятия.

1. Обобщить знания о понятии «теорема» и её структуре.
2. Познакомиться с видами теорем, связанных с данной теоремой.
3. Научиться определять структуру теорем и строить другие теоремы, связанные с данной.
4. Выяснить, как связана изучаемая тема  с преподаванием математики в начальной школе.

4. Изучение нового материала.

Моими помощниками будут 2 модератора: Ивлева Валентина и Ивашура Екатерина. Перед вами на столах лежат опорные конспекты «Запиши и запомни!». Ваша задача самостоятельно заполнить их и сдать для проверки.

Итак, я предоставляю слово Ивлевой Валентине.

Ивлева Валентина

- Понятие «теорема» вам известно из школы. Давайте вспомним, что оно означает?

(Высказывания обучающихся.)

Слайд 7

Теорема – это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (доказательства).

- У вас на столах есть карточки № 1 с формулировками различных теорем. Что общего в этих формулировках? ( В каждой теореме есть то, что дано и то, что надо доказать)

Слайд 8

Структура теоремы:

1. Разъяснительная часть ( описание множества, о котором идет речь в теореме);

2. Условие теоремы (то, что дано);

3. Заключение теоремы (то, что надо доказать).

Краткая логическая запись:

А В

А – условие

В – заключение

Слайд 9

- Теорема может быть сформулирована в категорической форме и в условной форме.

        В чем плюсы и минусы этих формулировок теоремы?

Категорическая формулировка – лаконична. Однако если теорема сформулирована в условной форме, то легче отделить условие от заключения.

Продолжит  Ивашура Екатерина

Виды теорем  Слайд 10

Итак, мы выяснили, что теорема имеет структуру:

А ⇒В – это данная (прямая) теорема

Если в этом предложении поменять условие и заключение местами, то получим

В ⇒А – обратное  утверждение (теорема)

Предложение, обратное истинному, может быть как истинным, так и ложным. Обратное предложение, истинность которого доказана, называется обратной теоремой.

Для любой теоремы вида  А⇒ В (если А, то В) можно сформулировать предложение  ⇒ (если не А, то не В), которое называют противоположным данному. 

А ⇒В – противоположное   утверждение (теорема)

Предложение противоположное истинному может быть как истинным, так и ложным. В том случае, если предложение, противоположное данному, будет истинно, его называют теоремой, противоположной данной.

Для всякой теоремы вида А⇒ В  (если А, то В)  можно сформулировать предложение  (если не В, то не  А), которое называют обратным противоположному.

• В ⇒А – утверждение (теорема),  обратное противоположному.

Это, как известно, предложение истинное, и, следовательно, является теоремой, обратно противоположной данной.

Вообще, для какой бы теоремы мы ни формулировали предложение, обратное противоположному, оно всегда будет теоремой, потому что имеется следующая равносильность: 

( АВ) ().

Эту равносильность называют законом контрапозиции.

Из закона контрапозиции следует, что обратное (В⇒А) и противоположное              (⇒ )  утверждения всегда имеют равное  значение истинности.

(В ⇒ А) ⇔(⇒ )

5. Закрепление изученного материала (Практическая работа).

Закреплять изученный материал мы будем по группам. Каждой группе дается схема логического анализа теоремы с примерами выполнения данного задания. С её помощью группа должна выполнить данный анализ предложенных теорем и сформулировать утверждения изученных видов. Задание дается на 7-8 минут. После выполнения задания от каждой группы два представителя продемонстрируют выполнение задания своей группой.

Подведение итогов работы третьей группы.

«Мы выяснили, используя учебники  математики для начальной школы, что … Но мы заметили, что в учебнике ..»

В учебниках математики для начальных классов не встречаются теоремы, но много предложений, называемых правилами и формулами. Их получают, упрощая теоремы, опуская все условия, указанные в теореме. Это позволяет быстрее запоминать правила и формулы.

Например, правило деления суммы на число «для того, чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое из слагаемых и полученные результаты сложить». К этой формулировке дана формула: (a + b):c = a:c + b:c.

Т.к. материал изучают в начальной школе, то надо понимать, что числа a, b и c могут быть только целыми неотрицательными, причем с≠ 0. Кроме того правой частью можно воспользоваться при условии, что а кратно с и b кратно с.

Т.о. в основе правила деления суммы на число лежит теорема, которую можно сформулировать так: «Если a,b и c – целые неотрицательные числа (с≠ 0) и а кратно с и b кратно с, то разделить сумму a + b на число с можно, разделив на это число каждое из слагаемых».

6. Подведение итогов занятия. Рефлексия.

– Вернёмся к стихотворению: Как связана новая тема с изученным на прошлом занятии материалом  и стихотворением?

    - Посмотрите  на памятки, лежащие на ваших столах,  над формированием каких компетенций мы работали в ходе нашего занятия?

  - Проведем рефлексию учебного занятия. Обратите внимание на экран и закончите написанные там предложения

 Слайд 11.

Сегодня я узнал…

Было интересно…

Было трудно…

Я научился…

У меня получилось …

Я попробую…

Занятие  дало мне для жизни…

С занятия я ухожу  с чувством …

7. Домашнее задание.  Слайд 12

1. П. 23 учебного пособия
2. Доказать закон контрапозиции и что обратное и противоположное утверждения всегда имеют одинаковое значение истинности, составив таблицы истинности утверждений:

Приложение 1

Карточка «Блиц-опрос»     (студента ___________________________)

1. Определите значение истинности высказываний:

а) Если  произведение двух натуральных чисел делится на 3, то хотя бы один из   множителей делится на 3.

б) Для того, чтобы число делилось на 2, необходимо, чтобы оно оканчивалось нулем.

в) Сумма двух нечетных чисел есть нечетное число.

                  2. Вместо многоточия вставьте либо «необходимо», либо «достаточно», либо «необходимо и достаточно», чтобы предложения были истинными:

а) для того чтобы число делилось на 3, …, чтобы оно делилось на 6.

б) для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, …, чтобы его диагонали были равны.

в) для того чтобы квадраты имели одну и ту же площадь, …, чтобы их стороны были равны.

Приложение 2

Приложение 3

Теоремы.

1) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

2) Сумма углов треугольника равна 1800.

3) Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

4) Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены  от  другой прямой.

5) Если f(x) = kx + b, то производная этой функции равна f′(x) = k.

6) Равные многоугольники имеют равные площади.

7) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

8) Если число оканчивается на 0 или на 5, то оно делится на 5.

Приложение 4

Запиши и запомни!

Тема:________________________________________________

Выполнил студент (ФИ)_________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Приложение 5

Задание для практической работы

1 группа

Выполните логический анализ теорем и сформулируйте утверждения  обратное, противоположное и обратное противоположному. Какие из этих предложений  являются теоремами?

1.  Если углы смежные, то их сумма равна 1800.
2.  Диагонали ромба взаимно - перпендикулярны.

__________________________________________

Задание для практической работы

2  группа

Выполните логический анализ теорем и сформулируйте утверждения  обратное, противоположное и обратное противоположному. Какие из этих предложений являются теоремами?

1.  Если каждое слагаемое является четным числом, то и сумма – чётное число.

2.  Прямые плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.

Задание для практической работы

3 группа

Выполните логический анализ теорем и сформулируйте утверждения  обратное, противоположное и обратное противоположному. Какие из этих предложений являются теоремами?

1.  Если углы вертикальные, то они равны.

2.  Равные треугольники имеют равную площадь.

Приложение 6

Схема логического  анализа теоремы

и составление других видов утверждений, связанных с данной теоремой.

1. Формулировка теоремы.
2. Структура теоремы:

• Разъяснительная часть
• Условие
• Заключение

3. Форма формулировки теоремы.
4. Формулирование  теоремы в условной форме.
5. Составление других видов утверждений, связанных с данной теоремой.

Пример 1. 

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. Структура теоремы:

• Разъяснительная часть – любые два треугольника
• Условие – два треугольника соответственно равны двум углам другого
• Заключение – два треугольника подобны

3. Форма формулировки теоремы – условная.
5. Составление других видов утверждений, связанных с данной теоремой.

• Обратное утверждение:  Если два треугольника подобны, то два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника. (Истина, значит утверждение является теоремой, обратной данной)
• Противоположное утверждение: Если два угла одного треугольника не равны двум углам другого треугольника, то треугольники не подобны. (Истина, значит утверждение является теоремой, противоположной данной)
• Обратное противоположному утверждение: Если треугольники не подобны, то два угла одного треугольника не равны двум углам другого треугольника. (Истина)

Пример 2.

1. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
2. Структура теоремы:

• Разъяснительная часть – любые параллелограммы
• Условие – четырехугольник  является параллелограммом
• Заключение – его диагонали точкой пересечения делятся пополам

3. Форма формулировки теоремы – категорическая.
4. Теорема в условной форме: Если четырехугольник является параллелограммом, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам.
5. Составление других видов утверждений, связанных с данной теоремой.

• Обратное утверждение: Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм. (Ложь, значит утверждение не является теоремой)
• Противоположное утверждение: Если четырехугольник не является параллелограммом, то его диагонали точкой пересечения не делятся пополам. (Ложь, значит утверждение не является теоремой)
• Обратное противоположному утверждение: Если диагонали четырехугольника точкой пересечения не делятся пополам, то этот четырехугольник не является параллелограммом. (Истина)