Открытый урок
план-конспект урока (10 класс) на тему

Даем определение пирамиды по учебному пособию Погорелова А.В.:

«Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника- основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания- вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания »

На модели показываем элементы пирамиды -боковые ребра, грани, высота, плоские углы при вершине, ребра основания.

Учащиеся на имеющихся моделях показывают вершины, основание, ребра, грани.

Рассматриваем модели n-угольной пирамиды, тетраэдра.

Демонстрируется пирамида, говорится определение, показывается основание и вершина. Учащиеся показывают эти элементы на своих пирамидах

  После такой работы даем историческую справку по термину и определению пирамиды.

Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объём пирамиды, был Демокрит доказал Евдокс Кницкий  . Древнегреческий математик Евклид  систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал»,  а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.

Далее учащимся было дано задание:

1. Изобразите пятиугольную пирамиду. Обратите внимание на невидимые контуры, которые необходимо изображать штриховой линией;

2. Обозначьте вершину пирамиды буквой S ;

3. Обозначьте вершины углов основания буквами А,В,С,Д,F.

4. Назовите боковые грани пирамиды;

5. Назовите боковые ребра;

6. Изобразите высоту пирамиды SО. Обращаем внимание на то, что удобно и естественно изображать пирамиду так, чтобы основание ее располагалось горизонтально. Тогда высота располагается вертикально. Такое изображение соответствует правилам черчения.  

7. Изобразите перпендикуляр, опущенный из точки О на одну из сторон основания ОК. Как располагается прямая SК относительно стороны основания? Вспомним, чем является фигура SКО для двугранного угла, образованного боковой гранью пирамиды и основанием.

8. Как найти угол наклона ребра к плоскости основания?

9. Назовите плоские углы при вершине.

10.Изобразите высоты двух граней.

После проделанной работы у учащихся в тетради должны быть следующие записи:

1. АВСДFS – пирамида
2. ABCDF  -основание пирамиды
3. S – вершина
4. ΔASB, ΔBSC, ΔCSD, ΔDSF, ΔASF – боковые грани
5. AS, BS, CS, DS, FS – боковые  ребра пирамиды
6. АВ, ВС,СД,ДF – ребра основания
7. SО - высота пирамиды
8. SК – высота грани
9. SАО – угол наклона ребра к плоскости α
10.  SК┴DС, ОК┴DС, угол SОК – линейный угол двугранного угла при ребре DС (угол боковой грани DSC к α)

С помощью мультимедийного оборудования рассматриваем различные виды пирамид и главные особенности правильных пирамид, в частности расположение основания высоты в треугольной пирамиде (центр треугольника). Тут же рассматриваем формулы площадей боковых поверхностей и площади полной поверхности произвольной и правильных (треугольной, четырехугольной и шестиугольной ) пирамид.

Виды пирамид:

• правильные
• неправильные
• усеченные

Формула объема пирамиды:
1) , где – площадь основания пирамиды, а -высота пирамиды
2) , где – радиус вписанного шара, а – площадь полной поверхности пирамиды.
3) , где MN – расстояние любыми двумя скрещивающимися ребрами, а – площадь параллелограмма, образованного серединами четырех оставшихся ребер.

Площадь полной поверхности пирамиды:
Полощадью поверности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней .
Площадь боковой поверхностии — сумма площадей всех боковых граней .
Если все апофемы равны (например в правильной пирамиде), то площадь ее боковой поверхности вычисляется по формуле , где p — полупериметр основания, а SK-апофема.

Чтобы учащиеся в дальнейшем, при решении задач легче ориентировались в чертежах, на уроке продолжалась работа над анализом свойств различного вида пирамид. Этому способствуют вопросы классу:

1. Выяснить положение основания высоты пирамиды, если

А) ее боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания

Б) боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания

2. Для каких пирамид справедливы сделанные выводы?

Ответы: 1а) О - центр описанной окружности;

1б)  О – центр вписанной окружности.

2.  Для правильных; для любых

Обратить внимание на тот факт, что. Если ребра одинаково наклонены к плоскости основания, то все ребра равны.

Общий вывод записываем в тетради:

1. Если все боковые ребра пирамиды равны (если наклонены под одним углом к плоскости основания), то основание высоты - центр описанной окружности.

2. Если все боковые грани наклонены под одним и тем же углом (все двугранные углы при основании равны), то основание высоты – центр вписанной окружности.

Затем  решаем задачи  п. 47 № 41,42 .

Итог урока подводится учителем: очень кратко повторяются виды пирамид, элементы пирамиды, формулы, необходимые в решении задач.

Домашнее задание: §5 п.47-51, задачи на карточках  (Д.Гущин «Решу ЕГЭ -2014»)

1. B 10 № 901. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника равна 2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка .

2. B 10 № 902. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника равна 9; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка .

3. B 10 № 903. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника равна 2; объем пирамиды равен 5. Найдите длину отрезка .

4. B 10 № 904. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника равна 2; объем пирамиды равен 4. Найдите длину отрезка .

В качестве необязательного домашнего задания учащимся предлагается сделать модели пирамид.

В дальнейшем при решении некоторых упражнений, эти модели помогают слабым ученикам выполнить чертеж и уяснить условие задачи.

Используемая литература:

А.В.Погорелов «Геометрия 10-11» М.Просвещение, 2009

Д.Д.Гущин «Образовательный портал для подготовки к экзаменам»

А.Л.Семенов, И.В.Ященко «Типовые тестовые задания. ЕГЭ-2014»

Учитель вводит понятие «пирамида и показывает исторический подход ученых в определении многоугольника.

Демонстрирует пирамиду учащимся.

Учащиеся следят за работой учителя, учатся изображать на своих рисунках элементы, о которых идет речь. Повторяется понятие угла между прямой и плоскостью, двугранного угла и его измерения. Даются указания к рациональному (беглому) построению указанных элементов, повторяется. Усваивается параллельное проектирование

В каждом случае говорим обо всех элементах, но фиксируем один элемент из данного семейства.

Повторение: понятие центра правильного многоугольника

1.Свойства параллельного проектирования.

2.Методики построения пирамиды

Ввести понятие боковой поверхности и ее площади.

Цель: правильное построение чертежей к задачам