Дополнительное школьное математическое образование. Практика 2018.
проект на тему

Приведём план-конспект занятия 5 «Вневписанная окружность».

Цель: изучить понятие вневписанной окружности и закрепить лекцию практическими заданиями.

Задачи:

– познакомиться с определением «вневписанная окружность»;

– изучить и доказать пять теорем по данной теме;

– прорешать пять заданий для закрепления материала (3 в классе и 2 для самостоятельного решения);

– сделать общий вывод об изученном материале.

Оборудование: презентация, раздаточный материал.

                                          Ход занятия

1. Организационный момент (5 минут). Приветствие, раздаётся вспомогательный материал, обговариваются цель и задачи занятия.

2. Лекционная часть (25 мин).

Определение 1. Окружность называют окружностью, вневписанной в треугольник, или вневписанной окружностью, если она касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон (рисунок 1).

Рисунок 1

 Замечание 1. У каждого треугольника существуют три вневписанных окружности. На рисунке 2 изображена одна из них.

 Замечание 2. Центр вневписанной окружности, изображенной на рисунке 1, лежит на биссектрисе угла B, а окружность касается стороны b. Для удобства обозначений и терминологии будем называть эту окружность вневписанной окружностью, касающейся стороны b, и обозначать её радиус символом   .

   Теорема 1. Пусть вневписанная окружность касается стороны AC треугольника ABC. Тогда отрезки касательных от вершины B до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.

 Доказательство. Снова рассмотрим рисунок 1 и докажем, что выполнено равенство , где  a, b, c  – стороны треугольника ABC. Действительно, отрезки AG и AF равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки A. Отрезки CG и CH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки C. Отрезки BF и BH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки B. Отсюда получаем:

Буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC. Теорема 1 доказана.

      Теорема 2. Радиус вневписанной окружности, касающейся стороны b, вычисляется по формуле  где буквой S обозначена площадь треугольника ABC, а буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC.

      Доказательство. Снова рассмотрим рисунок 2 и заметим, что выполнены равенства

Следовательно, справедливо равенство   что и требовалось доказать.

Следствие. Радиусы двух других вневписанных в треугольник ABC окружностей вычисляются по формулам:

Теорема 3. Если обозначить буквой r радиус вписанной в треугольник ABC окружности, то будет справедлива формула:

      Доказательство. Поскольку  то   Складывая эти формулы и воспользовавшись формулой для радиуса вписанной окружности  получим   что и требовалось доказать.

Теорема 4. Площадь треугольника можно вычислить по формуле

Доказательство. Перемножим формулы и воспользуемся формулой Герона: что и требовалось доказать.

      Теорема 5. Если обозначить буквой R радиус описанной около треугольника ABC окружности, то будет справедлива формула:

    Доказательство. Воспользовавшись формулами для радиусов вписанной и вневписанных окружностей, а также формулой Герона, получим

      Преобразуем выражение, стоящее в квадратной скобке:  В результате получаем равенство

      Поскольку радиус описанной окружности удовлетворяет равенству  то справедлива формула  что и требовалось доказать.

3. Практическая часть (25 мин).

Задача 1.     В прямоугольный треугольник АВС с углом А, равным 300, вписана окружность радиусом r . Вторая окружность, лежащая вне треугольника, касается стороны ВС и продолжения двух других сторон. Найдите расстояние между центрами этих окружностей (рисунок 2).

Рисунок 2

Решение: Пусть О1 и О2 – центры данных окружностей . По свойству вневписанной окружности, центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внешних углов, поэтому . O1 – лежит  в точке пересечения биссектрис  треугольника АВС => <АСО1 =<О1СВ => треугольник О1СО2 – прямоугольный.

Так как АО1 биссектриса, то <О1АС=150. Из ∆АО1H :   <АО1Н= 900-150= 750. Из ∆О1НС : <НО1С= 900:2=450, <О2О1С=1800–  (450+750)=600.

Следовательно, <О1О2С=750– 450=300. В ∆О2О1С катет О1С лежит против угла в 300, значит О1О2=2О1С=2r.

Ответ: 2r.

Задача 2.  Доказать что, если радиус вневписанной окружности равен полупериметру треугольника, то треугольник будет прямоугольным(рисунок 3). Дано:    .  Доказать: треугольник прямоугольный.

Рисунок 3

Доказательство: Пусть вневписанная окружность (с центром О)  треугольника АВС касается стороны АВ в точке К, а продолжений сторон СА и СВ – в точках L и M соответственно. Обозначим через р полупериметр треугольника. Тогда P=АВ+ВС+АС=(АК+КВ)+ВС+АС = (АL+ВM)+ВС+АС =(АL+АС)+(ВM+ВС)=СL+СM.

 Итак, СL+СМ=Р  и  ОL+ОМ= Р , то есть четырёхугольник ОLСМ – ромб, а так как ОL = СL, то это квадрат. Следовательно,<АСВ=900. Что и требовалось доказать.

Задача 3. Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания АС. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС. Дано: Равнобедренный треугольник АВС, АС=12, Вневписанная окружность  радиусом 8. Вписанная в треугольник  окружность (рисунок 4).

Рисунок 4

Решение: Пусть О центр, ОМ радиус вневписанной окружности.О2 – центр, О2Н– радиус вписанной окружности. ОМ=8.

По свойству вневписанной окружности, центр окружности лежит на пересечении биссектрис внешних углов, поэтому <МАО=<ОАС. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения  биссектрис внутренних углов треугольника АВС => <ВАО2=<О2АС => треугольник ОАО2 – прямоугольный. ВТ –перпендикуляр к  АС, т.к. биссектриса в равнобедренном треугольнике является высотой => АТ – высота прямоугольного треугольника ОАО2.

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой => АТ2=ТО2∙ТО, ТО2==> Т О2 = 4,5.

Ответ: 4,5.

4. Рефлексия и домашнее задание (5 минут). Ребята рассказывают о том, что нового узнали и получают карточки с домашним заданием.

Задача 4. Обратная. Доказать, что полупериметр прямоугольного треугольника равен радиусу вневписанной окружности (рисунок 3). Дано: треугольник прямоугольный.   Доказать:    

Доказательство: Пусть вневписанная окружность (с центром О) треугольника АВС касается стороны АВ в точке К, а продолжений сторон СА и СВ – в точках L и M соответственно. Обозначим через р полупериметр треугольника. СМОL – квадрат, так как 0  по условию (∆АВС – прямоугольный), 0 (OL┴CL). Тогда  по свойству вневписанной окружности : CL+CM=Р и OM ┴CM),ОL=ОM – радиус вневписанной окружности, то есть ОL +CM=Р,  СМ=ОL=r= Что и требовалось доказать.

Задача 5. Точка О – центр вписанной окружности треугольника АВС, а точка О1 – центр окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС. Найдите расстояние между точками О и О1, если радиус описанной окружности треугольника АВС=6, а sin< ВОС = (рисунок 5).

Рисунок 5

Решение: 1) Так как О – центр вписанной окружности ∆АВС, то АО, ВО, СО –биссектрисы углов этого треугольника. Прежде чем приступить к решению задачи, докажем следующее вспомогательное утверждение <ВОС=900+<А.

 В самом деле, <ВОС= <ВОL+<СОL, <ВОL=<ВАО+<АВО= <А+ <В( как внешний угол ∆АВО при вершине О), <СОL=<САО+<АСО=<А+<В (как внешний угол ∆АСО при вершине О) Отсюда  получаем: <ВОС=(<А+<В)+(<А+<В)=(<А+<В+<С)+<А=900+<А, что и требовалось доказать. По условию, sin, следовательно sin(900+<А)=cos(<А)= sin(<А)=.

2) (Рисунок 6)Так как точка О1 равноудалена от лучей АВ и АС, то она лежит на биссектрисе угла ВАС, а поскольку О1 равноудалена от стороны ВС и продолжения стороны АВ за точку В, то О1 лежит на биссектрисе внешнего угла ∆АВС при вершине В. Опишем вокруг треугольника АВС окружность, и пусть К – точка пересечения биссектрисы угла ВАС с этой окружностью.

                                              Рисунок 6

Покажем, что <ОВО1=900: <СВО1=<СВМ, <ОВО1 = <СВО+<СВО1  =<АВС+<СВМ =∙1800=900.

Следовательно, ОО1 является гипотенузой прямоугольного треугольника ОВО1.  Заметим, что поскольку <СВК= (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу), то <ОВК=<СВК+<СВО=<А+<В. А поскольку <ВОК=<А+<В (см. пункт 1 решения), то <ОВК=<ВОК, и, значит, ∆ВОК равнобедренный, ВК=ОК. Из равенства <ОВК=<ВОК следует, что <О1ВК=<ВО1К (<О1ВК=900-<ОВК,  <ВО1К=900-<ВО1К). Поэтому ∆ВО1К также равнобедренный, ВК=О1К.

3)Из равенств ВК=ОК и  ВК=О1К получаем, что ОО1= 2ВК. Длину отрезка ВК найдём из треугольника АВК по теореме синусов: ВК=2R∙sin <ВAК. Так как sin <ВAК=sin(<А)= (см. пункт 1 решения), а R=6 (по условию), то ВК= 2∙6∙=8, ОО1=2ВК=16.

Ответ:16.

Занятие было проведено с 10(2) классом. Лекционный материал был воспринят достаточно легко, при доказательстве ученики сами помогали доказывать теоремы. Задания у доски решали одарённые учащиеся, с последующим объяснением всему классу. В целом занятие прошло успешно, тема была понятна и доступна, ученикам так же был предоставлен вспомогательный материал и карточки с домашним заданием.

Презентации, лекционный материал и практические задачи так же взял наставник практики (учитель) для дальнейшего повторения и разбора темы. Тема показалась ученикам очень интересной, и они были заинтересованы при разборе практического материала.

План-конспект занятия 2: «Критерии вписанных четырехугольников. Задачи на доказательство, что около четырехугольника можно описать окружность» [2].

Цель: Создание условий для успешного усвоения понятия вписанного четырёхугольника, его критериев и овладения умениями применять их на практике и при решении заданий повышенной сложности в ЕГЭ.

Задачи:

1. Ввести понятия вписанного четырехугольника, изучить критерии вписанного четырехугольника (прямая и обратная теоремы).
2. Дать опыт практического применения рассмотренных критериев при решении задач.
3. Развивать самостоятельность, активность, логическое мышление, навыки построения и вычисления.

                                         Ход занятия

1. Организационный момент (5 минут). Вступительная беседа. Изменения в ЕГЭ 2015 года по математике, относящиеся к задаче С4 (сейчас это задание 16), уже не актуальны. Вместо многовариантных задач, которые предлагались ранее, теперь предлагаются задачи на доказательство и вычисление, то есть решение состоит из двух частей.

В рамках нашего занятия нас интересуют задачи, связанные с вписанным четырехугольником. В первой части решения такого рода задач необходимо проанализировать предложенную конфигурацию и доказать, что четыре точки лежат на окружности или что около четырехугольника можно описать окружность; во второй – используя свойства вписанного четырехугольника вычислить какую-либо величину, зная, что четырехугольник вписанный. Заметим, что для доказательства первого пункта необходимо использовать признаки вписанного четырехугольника, а при вычислениях во втором пункте – его свойства. Признаки характеризуют достаточное условие описания окружности около четырехугольника, свойства – необходимое. Теорема, характеризующая необходимое и достаточное условия, называется критерием. Напомним предварительно некоторые важные для дальнейшего изложения теоремы, известные из школьного курса геометрии.

2. Практическая часть (25 мин). Основные теоремы и критерии геометрии окружности.

 Теорема 1 (об измерении углов, связанных с окружностью). 

а) вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается;

б) угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.

Теорема 2. Если треугольники АВС и АОС лежат по одну сторону от прямой АС и точка О – центр окружности, описанной около треугольника АВС, то ∠AOC = 2∠ABC (рисунок 1).

Рисунок 1

Теорема 3. Если треугольники АВС и АОС лежат по одну сторону от прямой АС, OA =OC и ∠AOC = 2∠ABC , то точка О – центр окружности, описанной около треугольника АВС (рисунок 1) [5].

Следствие из теоремы 1. Вписанные углы, стороны которых проходят через точки А и В окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой АВ, равны (рисунок 2).

Рисунок 2

В случае, когда вписанные углы равны по 90˚, то используют характеристическое свойство окружности: отрезок АВ виден из вершин углов под прямым углом тогда и только тогда, когда эти вершины лежит на окружности с диаметром АВ и отличны от точек А и В.

Теорема 4. В любой треугольник можно вписать окружность.

Теорема 5. Около любого треугольника можно описать окружность.

Теорема 6. Если из точки Р к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AP∙BP=CP∙DP (рисунок 3).

Рисунок 3

Теорема 7. Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны (рисунок 4).

Рисунок 4

Теорема 8. Из точки А, взятой вне окружности, проведены к ней касательная АВ и две секущие, пересекающие окружность в точках С и D, M и N соответственно (рисунок 5). Тогда AB2 = AC ∙AD.

Рисунок 5

Напомним, что четырехугольник вписан в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Заметим, что если около четырехугольника можно описать окружность, то центр её равноудален от вершин, то есть принадлежит серединным перпендикулярaм к сторонам четырехугольника, а так же серединным перпендикулярaм и к диагоналям.

И так, рассмотрим критерии [6].

Критерий 1: для того чтобы выпуклый четырехугольник ABCD был вписанным необходимо и достаточно выполнения условия ∠ABD = ∠ACD ( рисунок 6).

Рисунок 6

Если мы будем рассматривать прямую теорему, то получим свойство 1: Если четырехугольник ABCD вписанный, то ∠ ABD =∠ ACD; а если обратную – то признак 1: Если ∠ ABD =∠ ACD, то четырехугольник ABCD вписан в окружность.

Критерий 2: для того чтобы выпуклый четырехугольник был вписанным, необходимо и достаточно чтобы сумма двух противоположных углов четырехугольника была равна 180° (рисунок 7).

Рисунок 7

Следствие: Если ∠АМВ = ∠АКВ = 90°, то точки А, В, М и К расположены на окружности с диаметром АВ.

Критерий 3: для того, чтобы точки A, B, C, D принадлежали окружности, необходимо и достаточно, чтобы AC пересекала BD в точке P и AP∙PC= DP∙PB (рисунок 8).

Рисунок 8

В дополнение к основным признакам вписанного четырехугольника можно рассмотреть еще два «именных» – теорему Симсона и теорему Птолемея.

Критерий 4: Для того чтобы четыре точки принадлежали одной окружности, необходимо и достаточно, чтобы проекции одной из них на три прямые, определяемые тремя остальными точками, лежали на одной прямой.

Критерий 5: Для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений его противоположных сторон равнялась произведению диагоналей. АВ⋅CD+BC ⋅ AD=CA⋅ BD [7].

3. Практическая работа (25 минут).

Задача 1. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. ∠ABC = 111˚, ∠OBC = 49˚, ∠ACD = 62˚.

Доказать, что точки A, B, C, D принадлежат одной окружности.

Решение: ∠ABO = 111 ˚ - 49˚= 62 ˚. Таким образом, B и C лежат по одну сторону от AD и углы ABO и ACD равны, значит точки A, B, C, D лежат на одной окружности (рисунок 9).

Рисунок 9

Задача 2. Точка O – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I – центр вписанной в него окружности, H – точка пересечения высот. Известно, что ∠BAC =∠OBC + ∠OCB .

а) Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.

б) Найдите угол OIH, если  ∠ABC = 55˚ .

Решение:

a) Очевидно, треугольник BOC равнобедренный (BO, OC равны как радиусы). Пусть ∠OBC = ∠OCB =α˚ . Согласно условию ∠A = 2α˚ . Но углы BOC, BAC – соответствующие друг другу центральный и вписанный углы, поэтому ∠BOC = 4α˚ . Из треугольника BOC:  6α˚ = 180˚ , откуда α˚ = 30˚ (рисунок 10).

Рисунок 10

Итак,  ∠A = 60 ˚,∠BOC =120˚ . На сумму углов B, C из треугольника ABC остается 120˚. А сумма половин углов B, C (то есть ∠IBC +∠ICB ) равна 60˚. Тогда в треугольнике BIC угол I равен 120˚. Итак, ∠BOC = ∠BIC , а это означает, что точка I принадлежит окружности, описанной около треугольника BOC (по признаку 1). Что и требовалось доказать.

б) Из треугольника ABC: ∠C =180 ˚− 60˚ −55˚ = 65˚ .

Пусть Q – основание перпендикуляра, проведенного из B к AC, T – основание перпендикуляра, проведенного из C к AB, L – основание перпендикуляра, проведенного из A к BC.

Из треугольника BQC: ∠CBQ = 90˚ − 65˚ = 25˚ .

Из треугольника BCT: ∠BCT = 90˚ − 55˚ = 35˚ .

Итак, точка H, так же как и точка I, принадлежит окружности, описанной около треугольника BOC (по признаку 1) (рисунок 11). В треугольнике BHC: ∠H =180˚ − 25˚ − 35˚ =120˚ .

Рисунок 11

Выясним, в каком порядке располагаются точки O, I, H на окружности. Заметим, что ∠AOB = 2˚, ∠C =130˚ . Тогда ∠BAO = ∠OBA = 25˚ , откуда ∠OAC = 35˚ . Очевидно, ∠IAC = 30˚ .

Наконец, из треугольника ALC ∠HAQ = 90˚ − 65˚ = 25˚ .

Итак, точки расположены именно в том порядке, что указан на рисунке 11 (точка I - между O и H).

Найдем градусную меру дуги OIH.

∠OBH = ∠ABQ −∠ABO = 30˚ − 25˚ = 5˚ . Тогда дуга OIH = 10˚ , так как ∠OBH – вписанный угол, опирающийся на дугу OIH [8].

Стало быть, большая дуга OH равна 350˚, а именно на нее опирается вписанный угол OIH, что мы ищем. Потому  ∠OIH =175˚ .

Ответ: б) 175˚.

4. Рефлексия и домашнее задание (5 минут). Ребята рассказывают о том, что нового узнали и получают задачу для самостоятельного разбора.

Задача 3. Биссектрисы углов выпуклого четырехугольника ABCD образуют выпуклый четырехугольник KLMN. Доказать, что около четырехугольника KLMN можно описать окружность.

Решение: В четырехугольнике ABCD имеем ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360˚. В четырехугольнике KLMN: ∠L = 180˚ - 0,5(∠B + ∠C), ∠N = 180˚ - 0,5(∠A + ∠D) ∠L + ∠N = 180˚ Значит, по признаку 2 около четырехугольника KLMN можно описать окружность (рисунок 12) [6].

Рисунок 12

Задача 4.  Две окружности имеют общую хорду CD. Через точку M этой хорды проведены хорды AB и EF, принадлежащие различным окружностям и не лежащие на одной прямой. Доказать, что концы этих двух хорд лежат на одной окружности.

Решение: По свойству 3: AM ∙ MB= CM ∙ MD; EM ∙ MF= CM ∙ MD.

Из этого следует, что AM ∙ MB=  EM ∙ MF. Откуда можно сделать вывод, что точки A, B, E, F принадлежат одной окружности (по признаку 3) (рисунок 13) [7].

Рисунок 13

Занятие было проведено с двумя 10 классами. Тема была уже знакома ученикам, но поверхностно, и воспринималась довольно таки сложно. В решение первого задания затруднений не возникло, а вот второе заняло длительное время, чтобы разобрать его от и до. В его решение помогали одарённые учащиеся. В целом занятие прошло успешно, тема была понятна и доступна, в конце была проведена рефлексия, так же обсуждены вопросы по домашнему заданию. Все материалы данного занятия размещены на сайтах учителя математики.

ЛОКАЦИЯ ПЕЩЕРА

Действующие лица: Бен Ганн, Джим, Анна-Мария.

Тёмное место, полное ужасов и скелетов погибших пиратов. По пещере разбросаны вещи и скелеты, в глубине сидят Бен, его товарищ и Джим.

Краткое описание персонажей:

1. Бен Ганн в повествовании предстает пиратом, которого бросили на острове сокровищ. Он, как и его соратники, – представитель глупого пьяного сброда, не приученный к организованному труду. Этот образ вымышленный, но Бен Ганн имеет много общего с реально существовавшими пиратами.

Бывший пират и член команды судна под названием «Морж», после гибели капитана Флинта Ганн ходил под флагом другого пиратского судна, но не был принят командой. Соратники оставили его в одиночестве на необитаемом острове, где пират провел три года, вспоминая свою биографию и проступки. Он не тратил время даром. За время одиночного заключения Бен Ганн нашел сокровища, спрятанные Флинтом, и скрыл в пещере, где обрел приют.

2. Джим. Молодой парень, первый узнавший о сокровищах от старого пирата. Он отправляется за сокровищами на корабле в качестве юнги. Честный и правильный, немного горяч, но смел и умён. Он всегда оказывается в центре событий. Предусмотрительный, добрый, воспитанный мальчик. Оказавшись на острове, Джим умудряется увести корабль в безопасное место, понимая неизбежность “войны”. Попав в руки Сильвера, становится причиной ссоры между ним и пиратами. Сильверу вручают черную метку. Благодаря знакомству Джима и Бена Ганна, их путешествие заканчивается удачно.

Описание: Пираты с помощью карты нашли место, где спрятаны сокровища, но вырыв яму - ничего не обнаружили. Бен Ганн перепрятал сокровища в пещеру и только он знает где она находится!

ВХОД в пещеру загромождает паутина, внутри темно, лежат скелеты и разбросаны вещи давно умерших пиратов. В середине пещеры сидит Бил, Джим и Анна-Мария – известная злодейка и хранительница сокровищ . Около них стоит несколько свечей (под вопросом).

Диалог:

Анна-Мария: Ё-хо-хо, разрази меня шторм, а кто это к нам пожаловал?

Бен: Назовите свои имена, юные путешественники.

Джим: Что ж, моё чутьё мне подсказывает, что вы пришли не просто так!

Анна-Мария: Карта сокровищ привела вас к нужному месту, но, к счастью, хитрый Бен Ганн перепрятал их в пещере, и только он может вам помочь.

Бен: Я дам вам столько дублонов, сколько вы сможете заработать, они помогут вам в поиске сокровищ, но для начала вы должны сказать волшебное слово, зашифрованное с помощью математических примеров.

Анна-Мария: Ответом на каждый пример является цифра, которая соответствует номеру буквы в алфавите (пример 3-В) (отдаёт листок с алфавитом).

Джим: Решив пример, вы получаете букву. Но всё не так просто, чтобы решить пример – нужно найти листок с заданием в пещере. В этом вам помогут вот эти загадки (отдаёт листок с загадками). Вы должны отгадать предмет, под которым спрятана задача.

Бен: В зависимости от вашей работы и правильно разгаданного слова, вам будут выдаваться дублоны. Максимум -5 дублонов, минимум – 1 дублон.

(Слово, которое должна собрать команда «КЛАД». По пещере будут разбросаны предметы, под которыми спрятаны загадки.)

Загадки:

1. Этот предмет является неотъемлемой частью поиска клада. Антонимом этого слова в современности является навигатор. (КАРТА)

2. В данном предмете пираты прячут самое ценное, что у них есть. (СУНДУК)

3. У каждого языка своя азбука. Какая азбука фигурирует у пиратов? (АЗБУКА МОРЗА)

4. Неотъемлемая часть капитана, не очень тёплый, но изысканный головной убор. (ШЛЯПА)

Задачи, которые спрятаны:

Участникам так же выдаётся листок для заполнения, который они отдают в конце задания взамен на дублоны. Они также называют слово, которое получилось.

После того, как слово разгадано.

Бен: Вы славно потрудились, ребята! И теперь я отдам вам то, что вы заслужили (отдаёт дублоны). Желаем вам удачи в ваших дальнейших приключениях и поисках сокровищ!!