«Логика в школьном математическом образовании»
статья по алгебре по теме

 «Логика в школьном математическом образовании»

Выполнила: Некрасова Наталья Михайловна

 учитель математики

МБОУ «Самаринская

основная общеобразовательная школа»

Одна из приоритетных ценностей образования — интеллектуальное развитие ребенка, важной составляющей которого является развитие словесно-логического мышления. Посему курс логики почти напрашивается в среднем образовании. Да так оно и было — одно время такой курс преподавался в советской школе, и мне довелось целый год выслушивать его. Было довольно скучно — вникать в понятия, суждения, умозаключения, оторванные от жизни, и, что еще более странно, не связанные с математикой (разве что приводились чисто математические примеры тому или иному положению из логики). Про обратные теоремы, необходимые и достаточные условия, метод доказательства от противного я узнал на уроках математики, а про всякого рода отношения между высказываниями (следование, равносильность) и математическую логику — вообще не в школе.

Когда курс логики убрали из нашего школьного образования, вся сложность проблемы перешла к математике, чему было несколько оснований.

Вот какова была позиция самих математиков. В.Феллер во введении к своему известному учебнику по теории вероятностей  отмечал: «В каждой дисциплине мы должны заботиться о различении трех сторон теории:

а) формального логического содержания;

б) интуитивных представлений;

в) приложений.

Характер дисциплины в целом и ее прелесть нельзя по-настоящему оценить, не рассматривая эти три аспекта в их взаимосвязи».

О важности развития логического мышления школьников писали такие известные математики, как А.Н.Колмогоров, Я.С.Дубнов, А.Я.Хин-чин, Б.В.Гнеденко, Л.А.Калужнин . Особая роль в этом отводилась геометрии, в которой его ценность выдающимися математиками — авторами школьных учебников считалась неотъемлемой  и даже основной .

Развитие логического мышления всегда почиталось как одна из основных ценностей школьного математического образования и в педагогике математики, что нашло отражение, как в работах педагогического характера, так и в нормативных документах.

В связи с возникшей тенденцией — знакомить с логикой в курсе математики — в методической и учебной литературе появились многочисленные пособия по развитию логического мышления школьников. Эта тенденция отразилась и в учебниках математики, и в пособиях для поступающих в вузы. Более того, сегодня в школу возвращается сам курс логики — как элективный. На путях реализации этой тенденции необходимо сделать некоторые оговорки.

Во-первых, в психологии нет термина «логическое мышление», а есть термин «словесно-логическое мышление», и он понимается гораздо шире, чем в математическом образовании. Поэтому я предпочла бы в рамках последней говорить о логической культуре школьника (своеобразной интеллектуальной гигиене) и о возможном вкладе математики в ее формирование. К тому же известно, что словесно-логическое мышление — отнюдь не единственный вид мышления и в определенном смысле не самый главный. Открытия совершаются не за его счет.

Во-вторых, мнение об исключительной роли математики в становлении логической культуры ребенка вряд ли бесспорно. Так, в недавнем интервью главный редактор журнала «Квант» академик Ю.Осипьян посчитал самой логичной из наук физику.

В-третьих, известен опыт психологов, которые в течение года проводили следующий эксперимент. Были отобраны две группы студентов одинакового уровня развития. Одну группу обучали евклидовой геометрии, а другую — нет (в остальном разницы не было). В конце года каждая группа получила для решения один и тот же набор задач с юридическим содержанием, решение которых требовало рассуждений. Так вот, по результатам эксперимента «геометрическая» группа никакого преимущества не показала. Видимо, нужны другие способы проверки того, как школьная математика способствует развитию логической культуры. В целом проблема носит слишком общий характер.

Логику можно воспринимать в трех аспектах.

1. Есть практическая логика, используемая в повседневной жизни. В ней существен так называемый здравый смысл, личный опыт, контекст.
   Даже эмоциональная окраска и интонация имеют значение — они могут изменить смысл сказанного на противоположный. Как, к примеру,
   воспринимать ответ «да» на вопрос «не хочешь ли ты поесть»?
2. Есть формальная логика, в которой изучают только формы мышления, полностью отвлекаясь от содержания. Именно здесь можно рассуждать о «черном снеге», способности верблюда «пролезать через игольное ушко», действиях «глокой куздры» и т.п.
3. Есть математическая логика — серьезная наука, традиционно — раздел математики. В ней достаточно силен момент формализации, но нет места бессодержательным предложениям.

Эти три логические ипостаси присутствуют в среднем образовании в том или ином виде, довольно хитро переплетаясь.

Несмотря на декларации важности формирования логической культуры школьников и попытки реализации этих деклараций в обучении математике, можно заметить, что «на выходе» не получается так, как хотелось бы. Логических ляпсусов даже в обычной речи предостаточно. Вот несколько реальных тому примеров, иногда не вполне серьезных - извините.

Пример 1. Недавно в одном из современных российских сериалов услышал следующий обмен репликами между двумя дамами (привожу почти дословно).

Первая дама: «Если мне понравится мужчина, так он обязательно негодяй!»

Вторая дама'. «Уж не хочешь ли ты сказать, что если мужчина тебе не нравится, то он — хороший человек?»

Первая дама: «Вот именно!»

Пример 2. Однажды я прочитал такое: «Согласно последним научным данным, чем выше уровень интеллекта, тем меньше человек смотрит ТВ. По-моему, все наоборот: чем больше смотришь ТВ, тем ниже уровень твоего интеллекта».

Пример 3. Если покопаться в древних источниках, то вот что можно прочитать у Лао Цзы: «Истинные слова неприятны; приятные слова не истинны».

Пример 4. Много изречений такого рода содержится в сборниках законов Мерфи.

«Если у вас есть ручка, то нет бумаги. Если есть бумага, то нет ручки. Если есть и то и другое, нет никакой информации».

«В технике и технологии преобладают лица двух типов: люди, которые разбираются в том, чем они не руководят, и люди, которые руководят тем, в чем они не разбираются».

«Если у вас есть время, то не будет денег. Если у вас есть деньги, то не будет времени».

Мы видим, как смешиваются прямые утверждения и противоположные, обратные и им противоположные и пр. В литературном жанре это, видимо, приемлемо, но в житейской практике иногда хочется большей точности.

Еще один пример из того же источника.

«Негативные ожидания порождают негативные результаты. Позитивные ожидания порождают негативные результаты».

Чуть задержимся. Второе предложение равносильно такому - «Позитивные результаты порождены негативными ожиданиями». Но согласно первому предложению негативные ожидания порождают негативные результаты.

Пример 5. А вот мои аналогичные вариации.

1. Всем детям полезны витамины. Всем взрослым полезны витамины. Второе предложение равносильно следующему: если кому-то не полезны
   витамины, то это не взрослый, т.е. ребенок. А всем детям согласно первому предложению полезны витамины. И получается, что если кому-то
   полезны витамины, то они ему же и не полезны. Что здесь не так?
2. Пример из математики. В выпуклом четырехугольнике сумма углов равна   360°.   В невыпуклом четырехугольнике сумма углов равна   360°.
   Отсюда, следуя той же схеме рассуждений, получим ляпсус.

3) Совсем шуточный пример. Известному изречению «Кто не рискует, тот не пьет шампанское» равносильно такое — «Кто пьет шампанское, тот рискует».

Есть ли смысловая разница в предложениях: «Маша гуляет тогда, когда ей разрешила мама» и «Маша гуляет только тогда, когда ей разрешила мама»? А если разница есть, то в чем она? Если мы видим гуляющую Машу, то, какое из этих предложений соответствует ее гулянию? Мнения разделялись.

В свое время расхождение между провозглашаемой важностью логической культуры и тем, что мы видим «на выходе», было замечено А.А.Столяром. Он высказал мнение о том, что традиционных средств, используемых в школьной математике, недостаточно для обеспечения должной логической культуры учащихся и необходимо внедрение в изучаемый курс элементов математической логики.

Курс информатики только заостряет проблему. Как без использования основ математической логики объяснить ученикам компьютерную идеологию?

К этому можно добавить дополнительные соображения. Один из важных этапов познания — понимание. Понимание предложения, в том числе и математического, предполагает оценку истинности не только самого предложения, но и его отрицания, его обращения (обратного предложения) и контрапозиции (предложения, противоположного обратному). Без осознания структуры предложения невозможно грамотно построить ни его отрицание, ни обращение, ни контрапозицию. Их формулировки получить не всегда просто: необходимо уметь отличать предложение без переменных (высказывание) от предложения с переменными (предиката), выделять переменные и устанавливать на них ограничения, «развешивать» (где необходимо) кванторы и вычленять логические операции. Еще запутаннее становится ситуация, когда мы используем такие слова, как некоторые, только, не только и т.п. Например, ученики поначалу недоумевают, услышав, что логарифм произведения двух чисел равен сумме логарифмов этих чисел только тогда, когда произведение этих чисел положительно.

Проиллюстрирую возникающие трудности на примере построения отрицания. (В математике оно необходимо, в частности, при доказательстве от противного.) Проблемы перед учениками возникают даже тогда, когда требуется сформулировать отрицание в самых простых ситуациях, далеких от математики. Когда мы с чем-то не согласны, то считаем сказанное предложение неверным. Тогда какое предложение мы считаем верным? Его отрицание. И как его сформулировать?

Главный вопрос — где располагать частицу не и как от нее при необходимости избавиться?

Возьмем такие предложения:

1. Крокодилы живут в Африке;
2. Крокодилы не живут только в Гренландии.
   Каково будет их отрицание?

Еще сложнее, когда предложение имеет форму конъюнкции, дизъюнкции или импликации. Вы увидите на лицах учеников отсвет недоумения, предложив им сформулировать верное отрицание, например, таких предложений.

1. Число 6 делится на 3 и число 5 делится на  3.
2. Число 5 делится на 3 или число 7 делится  на  3.
3. Число 5 делится на 3 либо число 7 делится на  3. (Строгая дизъюнкция. — Прим. авт)
4. Если число   6   делится на   3, то число   5 делится на  3.
5. Данная фигура — квадрат или прямоугольник.
6. Данная фигура - прямоугольник и квадрат.
7. Данная фигура — квадрат либо прямоугольник.

1. Данная фигура — не квадрат и даже не прямоугольник.
2. Данная фигура — не только квадрат или прямоугольник.
3. Данная фигура — только не квадрат или прямоугольник.
4. Диагонали параллелограмма, пересекаясь, делятся точкой пересечения пополам.
5. Медианы треугольника, пересекаясь, делятся точкой пересечения в отношении  2:1,  считая от вершины.

1. Если функция четная или нечетная, то ее график симметричен относительно начала координат и относительно оси ординат.
2. Если в четырехугольнике стороны равны, а диагонали взаимно перпендикулярны, то он является квадратом.

    17)Два равновеликих треугольника равны, если они имеют пару соответственно равных сторон.

Наконец, «житейские» примеры. Как выглядят отрицания следующих двух предложений?

1. Эта кошка пьет только воду.
2. Мои оценки по алгебре и геометрии — четверки и пятерки.
3. Известен анекдотичный случай из американской истории. Некий конгрессмен заявил военному министру, что тот «может украсть все что угодно, исключая раскаленную печку». А когда от конгрессмена потребовали опровержения, оно не задержалось: военный министр «может украсть все что угодно, включая раскаленную печку».

21)        А вот любопытный диалог в суде.
Обвинитель: «Если подсудимый виновен, то у него был сообщник».

Защитник: «Это неверно!»

Ничего хуже защитник сказать не мог. Почему?

Уже простейшие примеры, связанные с построением отрицания предложения, показывают наличие определенных трудностей при освоении математики.

Но есть и более сложные, нежели отрицание, манипуляции с предложениями (обращение, контрапозиция), оценка их истинности, проверка равносильности и т.д. Все это очень непросто, и для формирования логической культуры почти необходима некоторая доля формализации. Естественно считать, что таковая обеспечивается начальными сведениями из формальной и математической логики.

Школьная математика — школа точного мышления, ее постижение начинается в 6—7 лет и длится непрерывно более десяти лет. Для точности мышления и понимания необходима точность языка. Точность естественного языка не всегда достаточна, слова и фразы не всегда толкуются однозначно, огромную роль играет контекст.

Напомню хрестоматийный пример, демонстрирующий значение контекста. Приказ «Казнить нельзя помиловать», написанный без запятой, привел в недоумение его исполнителя. Но стоило тому чуть подумать, и он понял бы, что запятая после первого слова неуместна, ибо не добавляет новой информации (в приказах не объясняют причин). А запятая после второго слова как раз существенна, поскольку указывает, что делать дальше.

Прежде чем говорить о толковании математических предложений, напомню, что предложение с переменной превращается в предложение без переменной в результате «навешивания» на последнюю квантора (всеобщности или существования), после чего уже можно говорить о его истинности или ложности.

Приведу примеры. Сначала «житейские» (с их помощью я фиксирую внимание учеников на этом обстоятельстве).

Пример 1. Пусть сказано: «Маша любит кашу». Спрашиваю учеников: это верно или нет? Они пытаются отвечать, но отвечать на такой вопрос бессмысленно, ибо перед нами — предложение с двумя переменными: «Маша» и «каша».

Сначала надо превратить его в предложение без переменных, «навесив» кванторы на «Машу» и на «кашу». Например, можно сформулировать такое предложение: «Любая Маша любит любую кашу». Видимо, это неверно. Другой вариант: «Есть такая Маша и такая каша, что эта Маша любит эту кашу», что, должно быть, верно. (Любопытно, что учителя-гуманитарии заявили мне: ответ на данный вопрос зависит не от каких-то там логических штучек, а от того, кто это говорит.)

В математике существует договоренность: если квантора нет, то подразумевается квантор всеобщности. Если эту договоренность перенести на «житейские» примеры, то ответ на поставленный вопрос — «нет». Но надо ли переносить?

Пример 2. Известное выражение «Цель оправдывает средства», как правило, имеет негативный оттенок. Однако если на переменные «цель» и «средства» «навесить» кванторы, то в зависимости от их расстановки возможны четыре варианта толкования. И каждый имеет смысл. А выбор i верного варианта — уже вне логики.

Сложилось так, что в формулировках математических предложений кванторы часто «не звучат» в явном виде. Вместо квантора существования употребляются такие слова, как найдется (в круге найдется хорда, которая делит его площадь пополам) или есть (в остроугольном треугольнике есть такая точка, из которой все его стороны ; видны под равными углами).

Еще хуже обстоят дела с квантором всеобщности, который, как уже отмечалось, опускают. Например, его нет в теореме о площади треугольника (площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту; а сколько таких оснований?) или в формуле квадрата суммы (о каких числах в ней говорится — о любых?).

«Навешивание» кванторов порой необходимо для понимания условия задачи. Вот задача на построение: «Вписать квадрат в треугольник». Как это понимать? Кванторы опущены, значит, на каждую переменную полагается квантор всеобщности. Получается чепуха, а не задача! Любой квадрат не может быть вписан в любой треугольник. Тогда о чем идет речь?

Техника работы с кванторами позволяет упростить формулирование отрицания: можно уже не напрягать умственные способности, а работать чуть ли не механически. Вспомним определение последовательности, не имеющей предела, или функции, не являющейся периодической.

В работе с кванторами требуется соблюдать осторожность. Квантор всеобщности и квантор существования в предложении с двумя переменными нельзя произвольно менять местами (ученики довольно часто допускают такую ошибку).

Например, утверждать, что существует квадрат, который можно вписать в любой треугольник, — глупость. А сказать, что какой бы ни был треугольник, существует квадрат, который в него можно вписать, — значит фактически сформулировать задачу на построение.

Союзы и, или, если, если — то употребляются как в обычной, так и в математической речи. В естественном языке они придают множество смысловых оттенков отдельным словам или целым предложениям. В математике — трактуются необходимо однозначно. Отсюда — трудности в преподавании.

Так, союз «и» в обыденной речи понимается двояко. Надпись «Места для детей и инвалидов» не означает, что на данное место может претендовать только больной ребенок. А фраза «К доске пойдут Вася и Федя» означает, что у доски окажутся два ученика.

То же касается союза «или». Фраза «Сегодня в шесть часов вечера я буду в кино или на стадионе» подразумевает только одну из двух указанных возможностей, в то время как фраза «Сегодня в шесть часов вечера я буду смотреть кино по телевизору или лежать на диване» не исключает совмещения обоих занятий.

Суть проблемы в том, что математический текст излагается детям на естественном языке, и требуемая точность понимания математического текста «зависает» из-за неоднозначности толкования фраз естественного языка. Поэтому необходимы четкие договоренности. Где же их взять? Разве что позаимствовать у формальной или математической логики.

В математическом тексте союз «и» между двумя предложениями трактуется как их конъюнкция, а посему предполагает совместное рассмотрение двух условий, например: если для параллелограмма существует описанная и вписанная окружность, то он является квадратом.

В свою очередь союз «или» между двумя предложениями трактуется как их дизъюнкция:

1. нестрогая, если допускается одновременное выполнение двух условий. Употребляем «или», например: около треугольника или правильного многоугольника можно описать окружность;
2. строгая, если выполняется только одно из условий. Говорим «либо», например: данные прямые параллельны либо скрещиваются.

Замечу, что в математическом языке нет надобности в повторяющихся союзах естественного языка: и — и («И Вася, и Федя — оба подойдите ко мне!»), а также либо — либо (кто-то один: либо Вася, либо Федя). Когда такие союзы встречаются в математическом тексте, приходится уточнять их значение.

Толкование союза «если» в живом языке и в математике опять-таки различно. В обычном языке за ним может скрываться как достаточность («Родители отпустят меня на футбольный матч, если я получу за контрольную пятерку»), так и равносильность (Футбольная команда выиграла матч, если забила больше мячей в ворота сопер ника), а в математике — только достаточность.

Равносильности в математике соответствует союз «если и только если» (но он не прижился в русском языке, обычно говорят «тогда и только тогда, когда»), который в определениях частенько опускают, предпочитая употреблять «если». И что получается? Типичный пример — «прямая параллельна плоскости, если она не имеет с этой плоскостью общих точек». Приходится объяснять ученикам, что за этим «если» скрываются два утверждения — прямое и обратное

 Другой пример. Высказывание «прямоугольник — квадрат, если у него соседние стороны равны» предполагает истинность не одного утверждения, а двух. Итак, благодаря формальной логике можно добиться точности в употреблении союзов, правда, на практике это делается не всегда. Более того, внедрение формальной логики может внести (и вносит) некую сумятицу в молодые умы.

Я поведу сейчас речь о союзе если — то, о следовании предложений, об импликации, будь она неладна. Начну с последней.

Напомню, что импликация двух суждений имеет вид «если р, то р истинно, a q ложно, и истинна в остальных случаях.

Ученикам всегда приходится специально пояснять истинность импликации при ложной посылке (условии, антецеденте). История с импликацией давняя. Еще Филон Мегарский (III в. до н.э.) «определил условное предложение как такое предложение, которое ложно тогда и только тогда, когда его антецедент (условие) истинен, а консеквент (заключение) ложен, и которое истинно в трех остальных случаях. Это определение положило начало спорам о смысле импликации... Должно быть, споры по этому вопросу были очень оживленными, коль скоро Калли-мах, библиотекарь в Александрии, во втором веке до н.э. увековечил их в эпиграмме "Уже вороны на крыше каркают, какая же импликация правильная"».

Со времен древних греков не счесть работ по логике, в которых так или иначе не обсуждался бы этот феномен. Но и по сей день истинность импликации при ложной посылке подвергается сомнению. Даже предлагается в этом случае считать ее неопределенной  или вовсе бессмысленной.

В парадоксальной форме это толкование импликации подается в виде известной фразы «Если 2x2=5, то существуют ведьмы». Такое «странное» соглашение об импликации требуется как-то пояснить ученикам. Раньше рассуждали, например, так. Суждение «если А, то В» означает, что «если нет А, то нет и В». Но если А вообще нет, то В тем более нет. Мне это объяснение не нравится.

Ученикам я иллюстрирую истинность импликации при ложной посылке на примерах. Говорю разу: «Если у меня есть свободное время, то я гуляю». А затем спрашиваю: «В каком случае я вас обманул?» Ответ ясен: когда свободное время было, а гулять я не пошел. Во всех прочих случаях я не обманывал, т.е. говорил правду. Любопытен и такой пример. Скажем: «Если сегодня среда, то завтра четверг» и зададимся вопросом — в какой день недели это высказывание верно? Ясно, что в любой. Не только в среду, а, к примеру, во вторник, т.е. тогда, когда условие ложно.

Импликация — это полбеды. Беда поджидает нас дальше, когда мы начинаем разговор об отношении следования и произносим «из А следует В» или «еще хуже» — «если А, то В», приплетая сюда терминологию импликации.

В обычной речи следование подразумевает наличие причинно-следственной связи (из того, что идет дождь, следует, что улицы мокрые), логической связи (из того, что Сократ — человек, следует, что он смертен, ибо все люди смертны), содержательной связи (следствия из формул). Тем самым на практике из ложного условия не может следовать верное предложение.

Но если отношение следования имеет форму импликации, что происходит при использовании союза «если — то», то в математике ситуация запутывается. А когда еще говорят нечто эпатирующее, вроде «изо лжи следует все что угодно», в головах учеников наступает окончательное помутнение.

В формальной логике ситуация такова. На множестве высказываний отношение следования («из А следует В», «А влечет В») означает, что импликация «если А, то В» верна при условии истинности А. При ложности А сказать «из А следует В» просто невозможно — не тот случай. Иначе говоря, изо лжи ничего не следует. Можно сказать: «Если 2x2 = 5, то существуют ведьмы», но я бы не сказал: «Из того, что 2x2 = 5, следует, что существуют ведьмы». Я могу сказать: «Если 0=1, то 1=2», но мой язык не повернется сказать: «Из того, что 0=1, следует, что 1 = 2». (У некоторых моих весьма компетентных знакомых — повернется.)

Мне хочется привести одно замечание. В нем приводится следующее определение импликации из французского учебника для математиков: «Пусть А и В — два любых утверждения, Если они оба верны, то говорят, что из А вытекает В». Далее автор книги (В.И.Арнольд) пишет: «После таких «импликаций» учитьтов каким бы то ни было естественным наукам бессмысленно: они думают, что из того, что дважды два четыре, «вытекает», что Земля вращается вокруг Солнца».

Чтобы различать импликацию и следование, в формальной логике для импликации часто употребляется не союз «если — то», не глагол «следует», а глагол «имплицирует». Скажем так: «Равенство 2x2 = 5 имплицирует существование ведьм». Будь такой оборот принят повсеместно, вряд ли кто-то стал бы удивляться, и вороны в Древней Греции не каркали бы. Но ни в обыденной речи, ни в школьной математике термина «имплицирует» нет, да и вряд ли он привьется - по иррациональным соображениям.

И с обозначениями можно напутать. Знаки импликации (чаще всего ->) и следования (чаще всего =>) не равноправны, а потому их употребление требует точности. Здесь имеется несколько заморочек. Одна из них такова: знак => у некоторых авторов означает импликацию, а для следования используется знак  или |=. Хорошо бы четко определить, каково употребление в школьной математике не только слов «если..., то...», «следует», но и знаков —>, =>. Однако этого, увы, нет.

Приведу примеры того, как путаница в терминологии и обозначениях сказывается на решении уравнений, неравенств, систем (дальше я для краткости буду говорить только об уравнениях. — Прим. авт.), если трактовать их как предикаты.

При решении уравнений авторы многих пособий при переходе от имеющегося уравнения к следующему как выводному (неравносильному) говорят, что второе уравнение есть следствие первого, и ставят знак =>.

По существу происходит отказ от импликации предикатов, речь идет об их следовании, по сути — об отношении включения между двумя множествами. Однако при решении уравнения не исключен случай отсутствия корней. Я вижу здесь некое противоречие: из ложной посылки не бывает следствий, однако пустое множество включено в любое множество. Так что, в этом случае возвращаться к толкованию процесса решения уравнения как к импликации предикатов?

Есть два выхода из положения. Первый — формальный: трактовать уравнение как предикат и ставить между уравнениями знак импликации (—>). Второй вариант — не рассматривать уравнение как предикат, считать, что оно предполагает некий императив. (Само по себе равенство х = х + 1 можно полагать бессодержательным. Мало ли что можно написать, если не сказано, что делать дальше. Поэтому, рассматривая уравнение, говорят: «решить», «найти л:».) При этом надо оговорить, что термин «следует» («следствие») при решении уравнений означает не то же самое, что в логике из-за возможного случая отсутствия решения исходного уравнения. Мне больше нравится второй вариант. (Этот разговор с соответствующими поправками переносится на равносильность и использование знака <=>).

Одно замечание о записи ответа в уравнении. Ответ в уравнении, я полагаю, естественно записывать в «том же стиле», в каком было дано оно само. Например, ответ в уравнении 2х = 4 я предпочту записать так:

х = 2, нежели в виде {2} или х  {2}. Запись ответа в виде множества, разумеется, возможна. Однако она менее естественна и чревата сложностями, особенно когда речь идет об ответе тригонометрического уравнения.

Тут же  уместно сказать об употреблении логической символики; это стало достаточно привычным, но, увы, иногда делается неряшливо.

Ученикам надо объяснить, что знаки символической логики - это не знаки стенографии и в серьезной работе как таковые недопустимы (учащиеся особенно любят использовать в таком качестве кванторы).

Второй момент, когда приходится обсуждать с учениками расхождение формального и содержательного, возникает при встрече с задачей, условие которой противоречиво.

Сталкиваться с противоречиями приходится и в жизни. На основе противоречивых данных порой принимаются важные решения (юристами, медиками, разведчиками), но никто не скажет, что такие решения следуют (логически) из этих данных.

В школьном курсе математики задач с противоречивыми данными по традиции нет, условие всегда достоверно. Полезно, однако, научить школьника видеть противоречие в полученной информации и осмыслять его (по утверждениям психологов, чувствительность к противоречию — один из параметров интеллекта). При этом я полагаю, что ответ типа

 «2,3 землекопа» говорит о том, что поставленная задача не имеет решения (при корректности рассуждений).

Но если задачу трактовать как импликацию (а это вполне реально, ведь она часто выражается в форме «если..., то...») и ее условие противоречиво, то, стоя на формальной точке зрения, ответом можно считать любой полученный результат.

Приведу несколько примеров.

Пример 1. задача из учебника геометрии А.В.Погорелова: «Найти радиус описанной около правильного многоугольника окружности, сторона которого равна 3, а радиус вписанной окружности равен 2». Но правильного многоугольника с указанными параметрами не существует и формально вычисленный ответ 5/2 таковым на самом деле не является.

Пример 2 задача  «Площадь осевого сечения цилиндра равна 80. Отрезок с длиной, равной 16, соединяет точки верхнего и нижнего оснований и образует с основанием угол 30°. Чему равен периметр осевого сечения?» Периметр легко вычисляется, однако условие задачи противоречиво. Чтобы в этом убедиться, достаточно найти проекцию данного отрезка на плоскость основания цилиндра. И оказывается, что она больше диаметра окружности основания! Причина противоречия ясна. Цилиндр определяется двумя независимыми параметрами, а в условии предложенной задачи их три. В этом случае к противоречию привел избыток данных.

 И что же должен делать учитель, предложивший ученикам задачу с противоречивым условием? Считать полученный ответ верным (согласно толкованию задачи как импликации в формальной логике) или зафиксировать ошибку, коль скоро ученик не обнаружил противоречия, и считать его ответ неверным?

Полагаю, что важно приучать школьников к анализу условия на непротиворечивость, и, если противоречие будет обнаружено, пусть ученик в ответе напишет примерно так: поскольку условие задачи противоречиво, ответить на поставленный вопрос невозможно. Задача не всегда имеет чисто формальный характер.

В теореме, в каждом математическом предложении есть содержание и форма. Суть теоремы, задачи заключается в ее содержании.