Проект "Золотое сечение"
проект (8 класс)

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

города Калининграда

гимназия № 40 имени Ю.А. Гагарина

Проектная работа

«Золотое сечение»

Автор

Куртева Татьяна Степановна,

учащаяся 8 Э класса

МАОУ гимназии № 40 им. Ю.А.Гагарина

Руководитель

Малинская Елена Геннадьевна ,

учитель математики

МАОУ гимназии № 40 им. Ю.А.Гагарина

                                                    Содержание

1. Цели и задачи                                                                                                                      стр.3

2.Введение                                                                                                                               стр.4
3. Золотое сечение как гармоническая пропорция                                                             стр.5
4.Второе золотое сечение                                                                                                      стр.6
5.История золотого сечения                                                                                                  стр.8

6.Ряд Фибоначчи                                                                                                                   стр.11

7. Интуитивное золотое сечение                                                                                         стр.12
8.  Золотое сечение в восприятие изображения                                                                 стр.13
9.Золотое сечение в музыке                                                                                                 стр.15
10 .Заключение                                                                                                                      стр.17
11.Список используемой литературы                                                                                 стр.18

ЦЕЛЬ:

1. Изучить понятие «золотое сечение»

2.  Познакомить учащихся с примерами золотого сечения в современном мире

ЗАДАЧИ :

1.Сформировать понятие пропорция, найти определение Золотого сечения, изучить литературу, связанную с Золотым сечением

 2.Развивать чувство гармонии, прекрасного.

 3.Показать практическое применение этого понятия, провести эксперименты с элементами Золотого сечения,

 4.Учить анализировать и делать выводы.

ВВЕДЕНИЕ

А вы знаете, что есть вещи, которые нельзя объяснить?

Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете? Посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, ни то и ни другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная... Садясь на скамейку, вы произвели «золотое сечение».

 Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Неживая природа не знает, что такое «золотое сечение». Но вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое - все подчиняется божественному закону, имя которому - «золотое сечение». 

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ КАК ГОРМОНИЧЕСКАЯ ПРОПОРЦИЯ

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений:

a : b = c : d.

Отрезок прямой AB можно разделить на две части следующими способами:

• на две равные части – AB : AC = AB : BC;
• на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
• таким образом, когда AB : AC = AC : BC.

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему:

a : b = b : c
или
c : b = b : a.

Рис 1. Геометрическое изображение золотой пропорции

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Рис. 2. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC

Из точки B восставляется перпендикуляр, равный половине AB. Полученная точка C соединяется линией с точкой A. На полученной линии откладывается отрезок BC, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую AB. Полученная при этом точка E делит отрезок AB в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если AB принять за единицу, BE = 0,382... Для практических целей часто используют приближённые значения 0,62 и 0,38. Если отрезок ABпринять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Свойства золотого сечения описываются уравнением:

x2 – x – 1 = 0.

Решение этого уравнения:

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.

ВТОРОЕ ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и даёт другое отношение 44 : 56.

Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлинённого горизонтального формата.

Рис. 3. Построение второго золотого сечения

Деление осуществляется следующим образом. Отрезок AB делится в пропорции золотого сечения. Из точки C восставляется перпендикуляр CD. Радиусом AB находится точка D, которая соединяется линией с точкой A. Прямой угол ACD делится пополам. Из точки C проводится линия до пересечения с линией AD. Точка E делит отрезок AD в отношении 56 : 44.

Рис. 4. Деление прямоугольника линией второго золотого сечения

На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.

ИСТОРИЯ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

Принято считать, что понятие о золотом делении ввёл в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор своё знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании

Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящён математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» даётся геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвящённым.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди учёных и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи.  Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Его считают творцом начертательной геометрии.

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

Великий астроном XVI в. Иоганн Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив её универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».

Рис. 10. Золотые пропорции в частях тела человека

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришёл к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорождённого пропорция составляет отношение 1 : 1. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга.  В конце XIX – начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.

РЯД ФИБОНАЧЧИ

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г. вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счётной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый её член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих:

2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д.,

а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение – 0,618 : 0,382 – даёт непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

• ИНТУИТИВНОЕ ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ
•  А вы знаете, что есть вещи, которые нельзя объяснить?
• Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете? Посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, ни то и ни другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная... Садясь на скамейку, вы произвели «золотое сечение».
• Я провела эксперимент в ходе которого выяснила , что золотое сечение заложено в нашей голове изначально и интуитивно люди садятся на точку С(точка золотого сечения )

   ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И ВОСПРИЯТИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ

   О способности зрительного анализатора человека выделять объекты, построенные по алгоритму золотого сечения, как красивые, привлекательные и гармоничные, известно давно. Золотое сечение дает ощущение наиболее совершенного единого целого. Формат многих книг соответствует золотому сечению. Оно выбирается для окон, живописных полотен и конвертов, марок, визиток. Человек может ничего не знать о числе Ф, но в строении предметов, а также в последовательности событий он подсознательно находит элементы золотой пропорции.

   Проводились исследования, в которых испытуемым предлагалось выбирать и копировать прямоугольники различных пропорций. На выбор предлагалось три прямоугольника: квадрат (40:40 мм), прямоугольник "золотого сечения" с отношением сторон 1:1,62 (31:50 мм) и прямоугольник с удлиненными пропорциями 1:2,31 (26:60 мм).

   При выборе прямоугольников в обычном состоянии в 1/2 случаев предпочтение отдается квадрату. Правое полушарие предпочитает золотое сечение и отвергает вытянутый прямоугольник. Наоборот, левое полушарие тяготеет к удлиненным пропорциям и отвергает золотое сечение.

   При копировании этих прямоугольников наблюдалось следующее. Когда активно правое полушарие, пропорции в копиях выдерживались наиболее точно. При активности левого полушария пропорции всех прямоугольников искажались, прямоугольники вытягивались (квадрат срисовывался как прямоугольник с отношением сторон 1:1,2; пропорции вытянутого прямоугольника резко увеличивались и достигали 1:2,8). Наиболее сильно искажались пропорции "золотого" прямоугольника; его пропорции в копиях становились пропорциями прямоугольника 1:2,08.

   При рисовании собственных рисунков преобладают пропорции, близкие к золотому сечению, и вытянутые. В среднем пропорции составляют 1:2, при этом правое полушарие отдает предпочтение пропорциям золотого сечения, левое полушарие отходит от пропорций золотого сечения и вытягивает рисунок.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В МУЗЫКЕ

  Любое музыкальное произведение имеет временное протяжение и делится некоторыми "эстетическими вехами" на отдельные части, которые обращают на себя внимание и облегчают восприятие в целом. Этими вехами могут быть динамические и интонационные кульминационные пункты музыкального произведения. Отдельные временные интервалы музыкального произведения, соединяемые "кульминационным событием", как правило, находятся в соотношении Золотого сечения. Еще в 1925 году искусствовед Л.Л.Сабанеев, проанализировав 1770 музыкальных произведений 42 авторов, показал, что подавляющее большинство выдающихся сочинений можно легко разделить на части или по теме, или по интонационному строю, или по ладовому строю, которые находятся между собой в отношении золотого сечения. Причем, чем талантливее композитор, тем в большем количестве его произведений найдено золотых сечений. По мнению Сабанеева, золотое сечение приводит к впечатлению особой стройности музыкального сочинения. Этот результат Сабанеев проверил на всех 27 этюдах Шопена. Он обнаружил в них 178 золотых сечений. При этом оказалось, что не только большие части этюдов делятся по длительности в отношении золотого сечения, но и части этюдов внутри зачастую делятся в таком же отношении.

Композитор и ученый М.А.Марутаев подсчитал количество тактов в знаменитой сонате "Аппассионата" и нашел ряд интересных числовых соотношений. В частности, в разработке - центральной структурной единице сонаты, где интенсивно развиваются темы и сменяют друг друга тональности, - два основных раздела. В первом 43,25 такта, во втором - 26,75. Отношение 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 дает золотое сечение.

Наибольшее количество произведений, в которых имеется Золоте сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Шопена (92%), Шуберта (91%)Если музыка - гармоническое упорядочение звуков, то поэзия - гармоническое упорядочение речи. Четкий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают поэзию родной сестрой музыкальных произведений. Золотое сечение в поэзии в первую очередь проявляется как наличие определенного момента стихотворения (кульминации, смыслового перелома, главной мысли произведения) в строке, приходящейся на точку деления общего числа строк стихотворения в золотой пропорции. Так, если стихотворение содержит 100 строк, то первая точка Золотого сечения приходится на 62-ю строку (62%), вторая - на 38-ю (38%) и т.д. Произведения Александра Сергеевича Пушкина, и в том числе "Евгений Онегин" - тончайшее соответствие золотой пропорции! Произведения Шота Руставели и М.Ю. Лермонтова также построены по принципу Золотого сечения.

Страдивари писал, что с помощью золотого сечения он определял места для f-образных вырезов на корпусах своих знаменитых скрипок

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Законам «Золотого сечения», то есть абсолютной гармонии,подчиняются не только плоды человеческой деятельности, но и сам человек — его внутренние органы и системы, его душа, его мысли. С рождения человеку предписано находиться в гармонии с собой и с внешним миром.В конце своей работы хочу сказать, что окружающий нас мир -это прежде всего мир гармонии, в которой действует "закон золотого сечения".Анализируя все вышеизложенное можно еще раз подивиться грандиозности процесса познания мира, открытием все новых его закономерностей и сделать вывод: принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Проведенные исследования привели нас к выводу, что выдвинутая нами гипотеза о том, что человек постоянно сталкивается с предметами, содержащими в основе «золотое сечение» верна.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: гуманитарно-математический курс. - М.: Школа-пресс, 1998.

Волошинов А.В. Математика и искусство. М., 1992.

Мурадова Р. Обобщающий урок по теме «Золотое сечение». // Математика (Приложение к газете «Первое сентября»). - 1999. № 1.

Пидоу Д. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1989.

Самохвалова В.И. Красота против энтропии. М., 1990.

Энциклопедический словарь юного математика. М., 1989.