Открытые задачи по математике, физике и информатике
методическая разработка

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Гимназия №52» Приволжского района г. Казани

Кафедра математических дисциплин

«Использование открытых задач на уроках математики, физики и информатики»

Методическое пособие

Казань – 2025

Название проекта: Использование открытых задач на уроках математики, физики и информатики

Руководители проекта: Степанова Екатерина Михайловна и Степанова Мария Михайловна

Консультанты проекта: учителя кафедры

Учебные дисциплины: математика, физика и информатика

Тип проекта: поисковый

Цели:

• Формирование интереса к занятиям точными науками у учащихся
• Повышения мотивации к получению знаний

Задачи:

• Развивать умения составлять открытые задачи и внедрять в учебный процесс
• В процессе работы над проектом развивать такие личностные качества как умение работать в группе

Глава 1. Открытые задачи в математике

1. Две машины выехали из одного пункта со скоростями 60 км/ч и 90 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?
2. Движутся две машины со скоростями 50 кмч и 70 км/ч Расстояние между ними 480 км . Какие вопросы можно поставить к этой задаче?
3. Собственная скорость  теплохода 18 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч. Сколько времени затратит теплоход на путь между двумя пристанями, расстояние между которыми 80 км? Сколько решений имеет задача?
4. Можно ли подобрать два таких числа, чтобы их сумма равнялась 48, а сумма 24? Если да, то объясните, каким образом.
5. Подберите такие трехзначные числа , которые бы делились на 5, но не делились  на 2.
6. Фабрика сшила 4200 пар сапог. Более половины из них на натуральном меху.  Какая часть всех сапог  может быть на натуральном меху?
7. Один мотор расходует  полный бензобак за 15 часов, а другой за 10 часов. Какие вопросы можно поставить к этой задаче?
8. Дано числовое выражение 42+61+28+39+31+19. Какими способами можно скомбинировать числа для удобного вычисления?
9. № 86(а). Найдите координаты точек на координатной прямой, которые удалены от точки А(13) на 4 единицы.
10. № 76 (е) Сравните, если возможно, числа, в которых некоторые цифры неизвестны:   **111 и *1111
11. №379 (г) Поставьте вместо знака «*» такую цифру, чтоб получившиеся число делилось на 9:   8*1
12. Дима провел три прямые и измерил несколько углов. У него получились углы 20°, 60°, 80° и 140°. Могло ли так быть?
13. Найдите геометрическое место точек (множество всех точек), равноудаленных от данной прямой (рассмотрите два случая: на плоскости и пространстве).
14. Подобны ли равнобедренные треугольник, если они имеют: а) по равному острому углу; б) по равному тупому углу; в) по прямому углу? Ответ обоснуйте.
15. Вычислите углы равнобедренного треугольника, один угол которого равен 53° 
16. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 0 и 2 и делится на 24.
17. Вычеркните в числе 181615121 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12.
18. Две машины выехали из одного пункта со скоростями 60 км/ч и 80км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа? Какие варианты возможны?
19. Сумма двух чисел 96, а разность 18. Найдите эти числа.
20. Подумайте, можно ли подобрать два таких числа, что их сумма равна 96,разность 18? Если да, то объясните каким образом.
21. Подберите такое время, чтоб угол между часовой и минутной стрелкой был прямым. Сколько существует вариантов.
22. Какие два действия можно провести над числом 8, чтоб получить 117? Рассмотрите несколько возможных вариантов.

Глава 2. Открытые задачи в физике

Закрытая задача – «классическая» учебная задача, в которой обязательно оговаривается что дано, что неизвестно, ставится четкий вопрос: что требуется найти; действия и решения производятся в соответствии с алгоритмом, освоенном на уроке, и имеется, чаще всего, единственный ответ.

Открытая задача – характеризуется тем, что у нее нет конкретного условия; отсутствует четко сформулированный вопрос, не ясно, где и что именно требуется искать; не дается алгоритм; чаще всего в ней присутствует противоречие, которое еще больше  «мешает» решать; нет известного заранее алгоритма решения и нет единственно правильного ответа, а есть несколько вариантов, которые надо апробировать и выбрать наилучший. Исследовательской считается задача, в которой необходимо объяснить непонятное явление, выявить его причины. В этом случае ключевыми являются вопросы: как происходит? почему? Обычно условие исследовательской задачи предполагает целый набор ответов-гипотез.

 ЗАДАЧА

         ЗАКРЫТАЯ                                            ОТКРЫТАЯ

                                        УСЛОВИЕ

РАЗНЫЕПУТИ РЕШЕНИЯ

ЕДИНСТВЕННЫЙ      ПУТЬ

Источниками учебных открытых задач могут служить исторические факты, научные и научно-популярные книги, периодика, документальные фильмы и т.д.

Как же лучше решать творческие задачи? Вот небольшой алгоритм.

1. Определите тип задачи

Изобретательская задача – это когда есть цель, которую Решателю требуется достигнуть, или есть проблема, которую нужно преодолеть, причем очевидные решения в данных условиях неприменимы. Перед Решателем возникает вопрос: «Как быть?». Исследовательская задача – это когда происходит некоторое явление, и Решателю необходимо объяснить его, выявить причины или спрогнозировать результат. Перед Решателем стоит вопрос «Почему? Как происходит?».

Чтобы легче решить исследовательскую задачу, сформулируйте ее как изобретательскую. Задайте себе вопрос: «Как сделать, чтобы происходило именно это явление?

 Пример: Исследовательская задача: Отправляясь на охоту, медведица оставляет своих малышей одних. А при ее возвращении медвежата ведут себя очень странно: едва завидев приближающуюся маму, они залезают на тонкие деревца. Почему? Изобретательская задача: Медвежата плохо видят и не сразу узнают маму, возвращающуюся с охоты. Дожидаться, пока она приблизится - опасно, а вдруг это чужой взрослый медведь. Он ведь и обидеть может. Как быть медвежатам? Ответ: Медвежата плохо видят и не сразу узнают маму. А дожидаться, пока чужой медведь приблизится, опасно. Поэтому они залезают на тонкие деревца, куда взрослому медведю влезть не под силу.

2. Сформулируйте к задаче Противоречие, Идеальный конечный результат (ИКР) Противоречие и ИКР «обостряют» проблему, выявляют самую ее суть и подталкивают Вас к сильным решениям. Формулировать ИКР и Противоречие можно и в нескольких вариантах - это позволяет найти несколько решений.

3. Выявите Ресурсы

Ресурсами является всё, что может быть полезно при решении Вашей задачи. Причем желательно использовать те ресурсы, которые уже присутствуют в проблемной ситуации, а также «дешевые» ресурсы, затраты на получение и использование которых низки. Решателям-новичкам, работая над задачей, полезно выписывать ресурсы на лист. Глядя на них, легче искать решение.

4. Примените приемы и принципы решения задач Вы составили противоречие и ИКР и выписали ресурсы, но решение пока не нашлось? Тогда примените приемы разрешения противоречий и принципы решения задач.

5. Проанализируйте решения Найденные решения желательно оценить с позиций идеальности. При этом можно задавать себе вопросы: Насколько сложно и дорого осуществить решение? Задействованы ли ресурсы системы? Появились ли нежелательные эффекты при внедрении полученного решения?

 Приведу примеры открытых задач по физике.

«Звон колокола по дороге»

Задача 1

Весной 1834 года для Смоленского собора в Петербурге понадобилось доставить из города Валдая 12 колоколов, самый крупный из них весил 10 тонн. Как же они были доставлены по бездорожью? Подсказка/ИКР: колокола сами доставятся. Подсказка/прием: использование подсистемного ресурса формы и дешевых материалов, принцип сфероидальности. Решение: Колокола положили на бок, обшили досками и … покатили, используя силу всего лишь 15 лошадей. Получили еще дополнительный сверхэффект - утрамбовали дорогу

Задача 2

Какой груз может удержать своими присосками осьминог?
Оцените размеры присоски, способной удержать человека.

Решение:Для того, чтобы присоска удержала груз массы m необходимо, чтобы сила атмосферного давления, действующая на присоску вертикально вверх (по закону Паскаля) уравновешивала вес груза

Отсюда можем найти площадь присоски ( массу человека примем равной 70 кг):

Присосок такого размера у осьминога, скорее всего, не бывает.
Но осьминогу не запрещено пользоваться не одной, а несколькими присосками.

Справка из Википедии: На всех восьми щупальцах взрослого осьминога их около 2000, каждая из которых обладает держащей силой около 100 г.

Так что осьминог может удержать груз весом 200 кг.

Задача 3

В Калифорнии в Долине Смерти есть высохшее озеро, окруженное скалистыми горами. Дно озера сложено из глины и идеально гладкое. Здесь часто проводят тренировки и соревнования автогонщики. Дожди в Долине Смерти большая редкость, поэтому поверхность дна почти всегда твердая и специальные трассы для гонок не требуются. Казалось бы, гони в любую сторону и ни о чем не думай. Но вот беда, на гладкой поверхности озера, даже вблизи его середины, встречаются одиночные камни, массой до 300 кг. Эти камни смертельно опасны для гонщиков, несущихся на огромных скоростях. Долгие годы исследователи не могли понять, откуда взялись эти камни. Для объяснения этого явления привлекались даже сверхъестественные силы.
Объясните это явление естественными причинами. Предложите варианты проверки вашего объяснения.

Откуда могут на глинистой равнине появиться камни?
Во-первых, в некоторых местах (например, северо-запад России), камни каждую весну появляются из-под земли – такие места называются тектоническими щитами.
Во-вторых, камни могут во время обвала скатиться с гор, окружающих озеро, и по инерции достичь середины озера.
В-третьих, камень может скатиться с горы на край озера, а на середину озера «доставлен» порывами ветра. Известно, что самые сильные ветры дуют как раз в пустынной зоне.
Проверим эту точку зрения оценочным расчетом.
Рассчитаем, какой должна быть скорость ветра, чтобы заставить скользить по земле камень данного размера.
Поток воздуха, имеющий скорость v, действует на тело с площадью лобового сечения S с силой

F = ρвSv2   (1)

(Эта сила называется аэродинамической, именно она приводит в движение парусники). Для того, чтобы сдвинуть камень массы m с места, необходимо, чтобы аэродинамическая сила превысила силу трения (рис.1)

ρвSv2 ≥ μmg   (2)

(μ – коэффициент трения скольжения). Поэтому для того, чтобы сдвинуть камень с места, необходима скорость

(3)

От размера камня b в формуле (3) зависит и площадь сечения S, и масса m. Подставляя формулы для этих величин:

m = ρkb3   (4а)

S = b2   (4б)

в формулу (3) (считая камень кубом с ребром b), получаем, что наименьшая скорость ветра, достаточная, чтобы сдвинуть камень, равна

(5)

Найдем, чему равно ребро каменного куба массой m = 300кг. Считая плотность камня равной ρ = 2500 кг/м3, из формулы (4а) получаем b ≈ 0,5 м. Коэффициент трения камня по глине μ=0,3. Из формулы (5) получаем, что v = 53 м/с. Это скорость урагана. Однако, «не заметить урагана» нельзя.
Может ли более слабый ветер двигать камни такого размера? Ответ на этот вопрос ясен из формулы (5): для этого надо уменьшить коэффициент трения. Вспомним: «дожди в Долине Смерти большая редкость» – значит, они все-таки есть. Коэффициент трения камня по мокрой глине можно взять из справочника, он примерно равен μ=0,05. Из формулы (5) получаем, что для этого случая v = 22 м/с – это скорость штормового ветра. Дожди в пустынной зоне всегда сопровождаются штормовыми ветрами, то есть наше предположение представляется вполне правдоподобным.
Итак, камни на середине озера появились потому, что их принесло туда штормовым ветром по влажной глине во время дождя.
Доказательство, что это так, получили с помощью спутниковых фотосъемок местности. Камни после каждой грозы немного перемещались, и это смещение заметили на фотографиях.

Задача 4

На снимке вы видите редкое явление природы –астероид Евгения со спутником. Спутник диаметром 13 км вращается вокруг астероида диаметром 215 км по почти круговой орбите радиусом 1190 км и совершает полный оборот за 4,7 суток.
Это как раз те данные, которые получены с помощью наблюдений. Можете ли вы с помощью этих данных определить, из какого вещества может состоять астероид?

Напоминаем на всякий случай, что объем шара радиуса R

вычисляется по формуле

Спутник обращается по орбите радиусом r = 1190км с периодом T = 4,7сут под действием гравитационной силы. Запишем второй закон Ньютона для спутника:

Средняя плотность планеты радиуса R:

Из  формул (1), (2) получаем

Подставив данные, получим ρ=1160кг/м3.
Эта плотность ненамного больше плотности воды. Это означает, что астероид может иметь пористое строение, либо состоять из водяного льда с небольшой примесью камней.

Задача 5

В двух одинаковых, плотно закрытых пробирках, находится спирт и вода. Надо определить, в какой пробирке находится спирт, а в какой – вода. Помните, пробирки открывать нельзя. Как быть?

Задача 6

В холодную влажную погоду стёкла автомобиля часто запотевают и видимость дороги уменьшается из-за рассеяния света мелкими капельками воды на стекле.  Как быть?

Задача 7

Ваня решил, пользуясь ванной с водой, в которой купается определить плотность своего тела. Как он это сделал?

Глава 3. Открытые задачи в информатике

Раздел. Программирование:

1). а) Напишите программу вычисления площади треугольника.

     б) Напишите программу вычисления площади четырехугольника

     в) Напишите программу вычисления периметра треугольника

     г) Напишите программу вычисления площади четырехугольника

2). а) Напишите программу вычисления корня из суммы чисел.

     б) Напишите программу вычисления частное чисел

Вопросы, возникающие при выполнении этих заданий:

1). а) Какой треугольник (прямоугольный, равнобедренный, равносторонний, остроугольный и т.д.), четырехугольник (квадрат, прямоугольник, ромб, и т.д.)?

     б) Что известно в этих фигурах (стороны, углы)?

2). а) Сколько чисел дано?

     б) Есть среди них отрицательные?

     в) Есть равные нулю?

Раздел. Электронные таблицы:

1). Построить с помощью Excel график функции

2). Решить с помощью Excel уравнение

Вопросы, возникающие при выполнении этих заданий:

1). На каком промежутке брать значения функции. С каким интервалом? Для всех ли функций можно построить график, пользуясь средствами  Excel?

2). Всякое ли уравнение имеет корни?

Литература

1. Ширяева В.А. К вопросу о том, как мы учим: «закрытая» задача сегодня – «открытая» задача завтра // Школьные технологии. - 2002. - № 6. – С.. 174-188.
2. Гин А. Задачки – сказки от кота Потряскина. – М.: Вита-Пресс, 2002
3. Гин А.А. Приемы педагогической техники. - М.: Вита-Пресс, 1999
4. Гин А. А. Требования к условию открытой учебной задачи. - Школьные технологии. – 2000. -  № 6, -с. 192 — 195.