Олимпиадные задания 9-10 классы
методическая разработка (9, 10 класс)

10 класс

1.(3) В место a, b, c   вставьте такие числа, чтобы равенство (x + a x +2)(x +3)= (x + b )(x + c x + 6 ) стало тождеством.

2. (4) Известно, что каждое из уравнений x2 + 2bx + c = 0 и x2 + 2cx + b = 0, где b > 0 и с > 0, имеет хотя бы один корень. Произведение всех корней этих уравнений равно 1. Найдите b и c.

3. (5) Решить в натуральных числах уравнение  2х2 + 3xy+y2 = 32010.

4. (5) На новом сайте зарегистрировалось 2000 человек. Каждый пригласил к себе в друзья по 1000 человек. Два человека объявляются друзьями тогда и только тогда, когда каждый из них пригласил другого в друзья. Какое наименьшее количество пар друзей могло образоваться?

5. (4) Доказать, что в равнобедренном треугольнике с углом 20° при вершине боковая сторона больше удвоенного основания.

Решения

1. Преобразуем левую и правую части равенства

( x + a x +2)(x +3)= x + (a + 3) x + (3а +2)x + 6

 (x + b)(x + c x + 6  )= x + (b + c) x + (bc +6)x + 6b.

Данное равенство будет являться тождеством тогда и только тогда, когда одновременно выполняется равенство a + 3= b + c, 3а +2= bc +6, 6=6b. Решая соответствующую систему уравнений, получим b = 1; a = 3; c = 5.

Ответ: (x + 3 x +2)( x +3)= (x + 1  )(x + 5 x + 6  ).

2. Ответ: b = c = 1.

     Так как каждое уравнение имеет хотя бы один корень, то b2 – c ≥ 0 ⇔ b2 ≥ c и c2 – b ≥ 0 ⇔ c2 ≥ b. Кроме того, по теореме Виета, произведение корней первого уравнения равно с, а произведение корней второго уравнения равно b. Из условия следует, что bc = 1. Подставим  в каждое из полученных неравенств. Учитывая, что b > 0 и с > 0, получим, что c ≤ 1 и с ≥ 1 соответственно, то есть, c = 1, значит, и b = 1.

 3.  поэтому   и  Но тогда 2х + y делится на х + y без остатка, а следовательно х делится на х + y без остатка, что на множестве натуральных чисел невозможно.

Ответ: уравнение решений не имеет.

4. Ответ. 1000.

Всего было отправлено 2000000 приглашений, а пар на сайте 2000⋅1999/2 = 1999000. Приглашений на 1000 больше, чем пар, поэтому внутри хотя бы 1000 пар было отправлено два приглашения. Значит, образовалось хотя бы 1000 пар друзей. Ровно 1000 возможна: расставим всех людей на сайте по кругу, и пусть каждый пригласит 1000 следующих за ним по часовой стрелке. Тогда друзьями окажутся только то, кто расположен строго напротив друг друга.

5.

, поэтому . Отложим на ВА отрезок ВЕ = ВС. ΔВЕС – равнобедренный, поэтому  и ЕС>ВС. Следовательно, . В ΔАСЕ , поэтому . 

Олимпиада по математике

9 класс

1. (4) Известно,  что  а = 32010 + 2. Верно ли, что а2 + 2 – простое число? Ответ обоснуйте.

2. (4) Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых  встречается хотя бы одна тройка?

3. (3) Найдите, какую цифру обозначает каждая буква в следующем равенстве: АХА=БАХ.

4. (5) Буратино зарыл на Поле Чудес золотую монету. Из нее выросло дерево, а на нем – две монеты: серебряная и золотая. Серебряную монету Буратино спрятал в карман, а золотую зарыл, и опять выросло дерево ... . Каждый раз на дереве вырастали две монеты: либо две золотые, либо золотая и серебряная, либо две серебряные. Серебряные монеты Буратино складывал в карман, а золотые закапывал. Когда закапывать стало нечего, в кармане у Буратино было 2010 серебряные монеты. Сколько монет закопал Буратино?  

5. (5) Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, d, что a3 + b3 + c3 + d3 = 100100?

______________________________________________________________________________

Олимпиада по математике

9 класс

1. (4) Известно,  что  а = 32010 + 2. Верно ли, что а2 + 2 – простое число? Ответ обоснуйте.

2. (4) Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых  встречается хотя бы одна тройка?

3. (3) Найдите, какую цифру обозначает каждая буква в следующем равенстве: АХА=БАХ.

4. (5) Буратино зарыл на Поле Чудес золотую монету. Из нее выросло дерево, а на нем – две монеты: серебряная и золотая. Серебряную монету Буратино спрятал в карман, а золотую зарыл, и опять выросло дерево ... . Каждый раз на дереве вырастали две монеты: либо две золотые, либо золотая и серебряная, либо две серебряные. Серебряные монеты Буратино складывал в карман, а золотые закапывал. Когда закапывать стало нечего, в кармане у Буратино было 2010 серебряные монеты. Сколько монет закопал Буратино?  

5. (5) Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, d, что a3 + b3 + c3 + d3 = 100100?

__________________________________________________________________________