Рабочие программы по математике
рабочая программа (алгебра, 5 класс) по теме

     Тематическое планирование учебного материала

      Математика 5 класс (5 ч в неделю, всего 170 ч).

      (Учебник « Математика, 5»,  Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов,

      А.С.Чесноков, С.И. Шварцбурд.)

1.Натуральные числа и шкалы (18 ч).

Натуральные числа и их сравнение. Геометрические фигуры: отрезок, прямая, луч, треугольник. Измерение и построение отрезков. Координатный луч.

   Основная цель - систематизировать и обобщить сведения о  натуральных числах, полученные в начальной школе, закрепить навыки построения и измерения отрезков.

Систематизация сведений о натуральных числах позволяет восстановить у учащихся навыки чтения и записи многозначных чисел, сравнения натуральных чисел, а также навыки измерения и построения отрезков.

В ходе изучения темы вводятся понятия координатного луча, единичного отрезка и координаты точки. Здесь начинается формирование таких важных умений, как умения начертить координатный луч и отметить на нем заданные числа, назвать число, соответствующее данному делению на координатном луче.

2.Сложение и вычитание натуральных чисел  (20 ч ).

Сложение  и вычитание натуральных чисел, свойства сложения. Решение текстовых задач. Числовое выражение. Буквенное выражение и его числовое значение. Решение линейных уравнений.

   Основная цель – закрепить и развивать навыки сложения и вычитания натуральных чисел.

Начиная с этой темы, основное внимание уделяется закреплению алгоритмов арифметических действий над многозначными числами, так как они не только имеют самостоятельное значение, но и являются базой для формирования умений проводить вычисления с десятичными дробями.

В этой теме начинается алгебраическая подготовка: составление буквенных выражений по условию задач, решение уравнений на основе зависимости между компонентами действий (сложение и вычитание).

3.Умножение и деление натуральных чисел (21 ч).

Умножение и деление натуральных чисел, свойства умножения. Квадрат и куб числа. Решение задач.

Основная цель- закрепить и развивать навыки арифметических действий с натуральными числами.

В этой теме проводится целенаправленное развитие и закрепление навыков умножения и деления многозначных чисел. Водятся понятия квадрата и куба числа. Продолжается работа по формированию навыков решения уравнений на основе зависимости между компонентами действий.

Развиваются умения решать текстовые задачи, требующие понимания смысла отношений « больше на… (в…)», « меньше на…, ( в …)», а также задачи на известные учащимся зависимости между величинами ( скоростью, временем и расстоянием; ценой, количеством и стоимостью товара ).

Задачи решаются арифметическим способом. При решении с помощью  составления уравнений так называемых задач на части учащиеся впервые встречаются с уравнениями, в левую часть которых неизвестное входит дважды. Решению таких задач предшествуют преобразования соответствующих буквенных выражений.

4. Площади и объёмы (15 ч).

Вычисления по формулам. Прямоугольник. Площадь прямоугольника. Единицы площадей.

Основная цель - расширить представления учащихся об измерении геометрических величин на примере вычисления площадей и объемов и систематизировать известные им сведения о единицах измерения.

При изучении темы учащиеся встречаются  с формулами. Навыки вычисления по формулам отрабатываются при решении геометрических задач. Значительное внимание уделяется формированию знаний основных единиц измерения и умению перейти от единиц к другим в соответствии с условием задачи.

5. Обыкновенные дроби (26 ч ).

Окружность и круг. Обыкновенная дробь. Основные задачи на дроби. Сравнение обыкновенных дробей. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Основная цель – познакомить учащихся с понятием дроби в объёме, достаточном для введения десятичных дробей.

В данной теме изучаются  сведения о дробных числах, необходимые для введения десятичных дробей. Среди формируемых умений основное внимание должно быть привлечено к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями, к выделению целой части числа. С пониманием смысла дроби связаны три основные задачи на дроби, осознанного решения которых важно добиться от учащихся.

6.Десятичные дроби.

Сложение и вычитание десятичных дробей  (13 ч).

Десятичная дробь. Сравнение, округление, сложение и вычитание десятичных дробей. Решение текстовых задач.

Основная цель – выработать умения читать, записывать, сравнивать, округлять десятичные дроби, выполнять сложение и вычитание десятичных дробей.

При изучении десятичных дробей важно добиться у учащихся четкого представления о десятичных разрядах рассматриваемых чисел, умений читать, записывать, сравнивать десятичные дроби.

Подчеркивая сходство действий над десятичными дробями с действительными числами, отмечается, что сложение десятичных дробей подчиняется переместительному  и сочетательному законам.

Определенное внимание уделяется решению текстовых задач на сложение и вычитание, данные в которых выражены десятичными дробями.

 При изучении операции округления числа вводится новое понятие – «приближенное значение числа», отрабатываются навыки округления десятичных дробей до заданного десятичного разряда.

7. Умножение и деление десятичных дробей ( 25 ч)

Умножение и деление десятичных дробей. Среднее арифметическое нескольких чисел. Решение текстовых задач.

Основная цель – выработать умения умножать и делить десятичные дроби, выполнять задания на все действия с натуральными числами и десятичными дробями.

Основное внимание привлекается к алгоритмической стороне рассматриваемых вопросов. На несложных примерах отрабатывается правило постановки запятой в результате действия. Кроме того, продолжается решение текстовых задач с данными, выраженными десятичными дробями. Вводится понятие среднего арифметического нескольких чисел.

    8. Инструменты для вычислений и измерений (15 ч).

 Начальные сведения о вычислениях на калькуляторе. Проценты.

 Основные задачи на проценты. Примеры таблиц и диаграмм. Угол, треугольник. Величина ( градусная мера) угла. Основные измерения углов. Построение угла заданной величины.

Основные цель – сформировать умения решать простейшие задачи на проценты, выполнять измерение и построение углов.

У учащихся важно выработать содержательное понимание смысла термина «процент». На этой основе они научится решать три вида задач на проценты : находить несколько процентов от какой- либо величины; находить число, если известно несколько процентов; находить, сколько процентов одно число составляет от другого.

Продолжается работа по распознаванию и изображению геометрических фигур. Важно уделить внимание формированию умений проводить измерения и строить углы.

Круговые диаграммы дают представления учащимся о наглядном  изображении распределения отдельных составных частей какой-нибудь величины. В упражнениях следует широко использовать статистический материал, публикуемый в газетах и журналах.

9. Повторение. Решение задач(17 ч).

Тематическое планирование учебного материала

Математика 6 класс.

( Учебник « Математика ,6» Н.Я.Виленкин,  В.И.Жогов, А.С.Чесноков,  С.И.Шварцбурд)

1. Делимость чисел ( 16 ч ).

Делители и кратные числа. Общий делитель и общее кратное. Признаки делимости на 2, 3, 5, 10. простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители.

Основная цель – завершить изучение натуральных чисел, подготовить основу для освоения действий с обыкновенными дробями.

В данной теме завершается изучение вопросов, связанных с натуральными числами. Основное внимание должно быть уделено знакомству с понятиями « делитель» и « кратное», которые находят применение при сокращении обыкновенных дробей и применение при сокращении обыкновенных дробей и при их приведении к общему знаменателю.

Умножения полезно выполнять с опорой на таблицу умножения прямым подбором. Понятия « наибольший общий делитель»  и «наименьшее общее кратное» вместе с алгоритмами их нахождения можно рассматривать.

Определенное внимание уделяется знакомству с признаками делимости, понятиям простого и составного чисел. При их изучении целесообразно формировать умения проводить простейшие умозаключения, обосновывая свои действия ссылками на определение, правило. Учащиеся должны уметь разложить число на множители.  

2.Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями ( 25 ч).

Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Приведение дробей к общему знаменателю. Понятие о наименьшем общем знаменателе нескольких дробей. Сравнение дробей. Сложение и вычитание дробей. Решение текстовых задач.

Основная цель – выработать прочные навыки преобразования дробей, сложения и вычитания дробей.

Одним из основных результатов обучения является усвоение основного свойства дроби, применяемого для преобразования дробей: сокращения, приведения к новому знаменателю. При этом рекомендуется излагать материал без опоры на понятия НОД и НОК. Умение приводить дроби к общему знаменателю используется для сравнения дробей.

 При рассмотрении действий с дробями используются правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, понятие смешанного числа. Важно обратить внимание на случай вычитания дроби из целого числа. Что касается сложения и вычитания смешанных чисел, которые не находят активного применения в следующем изучении курса, то учащиеся должны лишь получить представление о принципиальной возможности выполнения таких действий.

2. Умножение и деление обыкновенных дробей( 33 ч).

Умножение и деление обыкновенных дробей. Основные задачи на дроби.

Основная цель – выработать прочные навыки арифметических действий с обыкновенными дробями и решения основных задач на дроби.

В этой теме завершается работа над формированием навыков арифметических действий с обыкновенными дробями. Навыки должны быть достаточно прочными, чтобы учащиеся не испытывали затруднений в вычислениях с рациональными числами, чтобы алгоритмы действий с обыкновенными дробями могли стать в дальнейшем опорой для формирования умений выполнять действия с алгебраическими дробями.

Расширение аппарата действий с дробями позволяет решать текстовые задачи, в которых требуется найти дробь от числа или число по данному значению его дроби. Выполняя соответственно умножение или деление на дробь.

4.Отношения и пропорции (17 ч).

Пропорция. Основное свойство пропорции. Решение задач с помощью пропорции. Понятия о прямой и обратной пропорциональностях величин. Задачи на пропорции. Масштаб. Формулы длины окружности и площади круга. Шар.

Основная цель – сформировать понятия пропорции, прямой и обратной пропорциональностей величин.

Необходимо. Чтобы учащиеся усвоили основное свойство пропорции. Так как оно находит применение на уроках математики, химии, физики. В частности, достаточное внимание должно быть уделено решению с помощью пропорции задач на проценты.

Понятия о прямой и обратной пропорциональностях величин можно сформировать как обобщение нескольких конкретных примеров, подчеркнув при этом практическую значимость этих понятий, возможность их применения для упрощения решения соответствующих задач.

В данной теме даются представления о длине окружности и площади круга. Соответствующие формулы к обязательному материалу не относятся. Рассмотрение геометрических фигур завершается знакомством с шаром.

5.Положительные и отрицательные числа (13 ч).

Положительные и отрицательные числа. Противоположные числа. Модуль числа и его геометрический смысл. Сравнение чисел. Целые числа. Изображение чисел на прямой. Координата точки.

Основная цель – расширить представления учащихся о числе путем введения отрицательных чисел.

Целесообразность введения отрицательных чисел показывается на содержательных примерах. Учащиеся должны учится изображать положительные и отрицательные числа на координатной прямой, с тем чтобы она могла служить наглядной основой для сравнения чисел, сложения и вычитания чисел, рассматриваемых в следующей теме.

Специальное внимание должно быть уделено усвоению вводимого здесь понятия модуля числа, прочное знание которого необходимо для формирования умения сравнивать отрицательные числа, а в дальнейшем для овладения и алгоритмами арифметических действий с положительными и отрицательными числами.

6.Сложение и вычитание отрицательных чисел( 12 ч ).

Основная цель – выработать прочные навыки сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел.

Действия с отрицательными числами вводятся на основе представлений об изменении величин: сложение и вычитание чисел иллюстрируется соответствующими перемещениями точек числовой оси. При изучении данной темы целенаправленно отрабатываются алгоритмы сложения и вычитания при выполнении действий с целыми и дробными числами.

7.Умножение и деление положительных и отрицательных чисел (9 ч).

Умножение и деление положительных и отрицательных чисел. Понятие о рациональном числе. Десятичное приближение обыкновенной дроби.

Применение законов арифметических действий для рациональности вычислений.

Основная цель – выработать прочные навыки арифметических вычислений с положительными и отрицательными числами.

Навыки умножения и деления положительных и отрицательных чисел отрабатываются сначала при выполнении отдельных действий, а  затем в сочетании с навыками сложения и вычитания при вычислении значений числовых выражений.

 При изучении данной темы учащиеся должны усвоить, что для обращения обыкновенной дроби в десятичную достаточно разделить числитель на знаменатель.

В каждом конкретном случае они должны знать, в какую десятичную дробь обращается данная обыкновенная дробь – конечную или бесконечную. При этом необязательно акцентировать внимание на том, что бесконечная дробь оказывается периодической.

8. Решение уравнений (18 ч).

Простейшие преобразования выражений: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых. Решение линейных уравнений. Примеры решения текстовых задач с помощью линейных уравнений.

Основная цель – подготовить учащихся к выполнению преобразований выражений путем  раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых отрабатываются в той степени, в которой они необходимы для решения несложных уравнений.

Введение арифметических действий над отрицательными числами позволяет ознакомить учащихся с общими приемами решения линейных уравнений с одним неизвестным.

9.Координаты на плоскости (11 ч).

Построение перпендикуляра к прямой и параллельных прямых с помощью угольника и линейки. Прямоугольная система координат на плоскости, абсцисса и ордината точки. Примеры графиков, диаграмм.

Основная цель – познакомить учащихся с прямоугольной системой координат на плоскости.

Учащиеся должны научиться распознавать и изображать перпендикулярные и параллельные прямые. Основное внимание следует уделить отработке навыков их построения с помощью линейки и угольника, не требуя воспроизведения точных определений.

Основным результатом знакомства учащихся с координатной плоскостью должны явиться знания порядка записи координат точек, их названий.

Умения построить координатные оси, отметить точку по заданным ее координатам, определить координаты точки, отмеченной на координатной плоскости.

10. Повторение. Решение задач (16 ч).

Тематическое планирование учебного материала

« Алгебра, 7» А.Г. Мордкович и задачники « Алгебра, 7» А.Г.Мордкович, Е.Е.Тульчинская, Т.Н.Мишутина.

( 1 четверть – 5 ч в неделю, 2. 3, 4 четверти – 3 ч в неделю, всего 120 ч).

1.Математический язык. Математическая модель (9 ч).

Числовые и алгебраические выражения. Первые представления о математическом языке и математической модели. Линейные уравнения как математические модели реальных ситуаций.

Основная цель – систематизируя и обобщая о преобразованиях выражений и решении линейных уравнений с одной переменной, полученные учащимися в курсе математики 5-6 классов, начать знакомить учащихся с особенностями математического языка и математической моделирования.

Тема занимает ключевое положение во всем курсе алгебры 7-11 классов, во многом определяет отношение учащихся к новому предмету – алгебре.

Нельзя начинать  изучение нового предмета, не упомянув его основную идею, на раскрытие которой фактически ориентируется весь курс. Поэтому имеет смысл спланировать изучение темы так, чтобы, повторяя материал курса математики 5-6 классов, постепенно вводить новые термины: математический язык, математическая модель. Школьники знакомятся с оформлением моделирования: 1) составление математической модели; 2) работа с составленной моделью; 3) ответ на вопрос задачи. Эта схема используется в курсе алгебры 7-11 классов постоянно.

2.Степень с натуральным показателем и её свойства ( 9 ч ).

Определение степени с натуральным показателем, таблицы основных степеней, свойства степеней. Степень с нулевым показателем.

Основная цель - выработать умения выполнять действия над степенями с натуральными показателями и познакомить школьников с понятием степени с нулевым показателем.

В теме 1 курса алгебры учащимся объяснили, что математика занимается математическими моделями и что для составления математических моделей нужно владеть математическим языком. Изучение любого языка начинается с изучения простейших символов этого языка – букв. Таковыми буквами в математике являются числа, переменные, степени переменных. Это основная мысль изучения темы.

3.Одночлены. Арифметические операции над одночленами (10 ч).

Понятие одночлена, стандартный вид одночлена. Сложение и вычитание одночленов, возведение одночлена в натуральную степень. Деление одночлена на одночлен.

Основная цель – выработать умение выполнять действия над одночленами.

Основная идея этой темы практически та же, что и в теме 2, где изучались « буквы» математического языка, а здесь будут изучаться « слоги».

В основном материал темы 3 достаточно традиционен, но на два обстоятельства следует обратить внимание.

Во-первых, здесь появляется термин «алгоритм» как синоним понятия «программа действий» или «четко определенный порядок ходов».

Желательно, чтобы учащиеся включили этот термин в свой рабочий словарь. При выработке алгоритмов полезно совместное творчество учителя и учащихся.

Во-вторых, здесь появляются нетрадиционные для школы термины «корректная» и «некорректная» задача.

Учащиеся должны знать, что далеко не всякая задача в математике задача решаема. Иногда она не решаема вообще, иногда она не решаема в данный момент из-за недостатка

знаний у того кто решает эту задачу. Наличие в процессе обучения некорректных заданий приносит несомненную пользу, так как у учащихся воспитывается способность критически анализировать ситуацию.

4.Многочлены. Арифметические операции над многочленами (20 ч).

Понятие многочлена, стандартный вид многочлена. Сложение и вычитание многочленов. Умножение многочлена на многочлен. Формулы сокращенного умножения. Деление многочлена на одночлен.

Основная цель – выработать умение выполнять действия над многочленами.

Эта тема играет фундаментальную роль в формировании умений выполнять тождественные преобразования алгебраических выражений. Изучают алгоритмы сложения, вычитания и умножения многочленов. Важно, чтобы учащиеся поняли, что при выполнении этих действий над многочленами в результате получаются многочлен, в то время как деление многочлена на одночлен создает проблемную ситуацию. Деление многочлена на одночлен дается в ознакомительном и опережающем плане с целью пропедевтики темы «Алгебраические дробим» и с целью показа учащимся динамики и диалектики развития математического языка. Существенную пропедевтическую роль играют вводимые здесь обозначения типа p(x), p( x, y) – это пригодится позднее, при обработке функциональной символики.

5.Разложение многочленов на множители (22 ч).

Понятие о разложении многочлена на множители. Вынесение общего множителя за скобки. Способ группировки. Разложение м6ногочлена на множители с помощью формул сокращенного умножения. Комбинирование различных приемов. Понятия тождества и тождественного преобразования. Первые представления об алгебраических дробях; сокращение алгебраических дробей.

Основная цель – выработать умение выполнять разложение многочленов на множители различными способами и убедить учащихся в практической пользе этих преобразований.

Первое знакомство с методом вынесения общего множителя за скобки состоялось ранее, при изучении темы «Деление многочлена на одночлен». Поэтому здесь основное внимание следует уделить выработке совместно с учащимися соответствующего алгоритма – алгоритма вынесения общего множителя за скобки.

Что касается метода группировки, то учащиеся должны понимать, что скорее эвристический, нежели алгоритмический метод, т.е. удачную группировку нужно искать методом проб и ошибок.

Здесь впервые встречаются квадратные уравнения, решаемые методом разложения на множители.

Изучение многочленов в 7 классе завершается темой « Сокращение алгебраических дробей». Понятие алгебраической дроби появлялось в связи с проблемой деления многочленов, и, естественно, нужно подвести какой- то итог решения проблемы, причем в разделе о многочленах.

6.Линейная функция ( 15 ч).

Координатная прямая, виды промежутков на ней. Координатная плоскость. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Линейная функция и ее график. Отыскивание наибольших и наименьших значений линейной функции на заданном промежутке. Прямая пропорциональная зависимость и её график. Взаимное расположение графиков линейных функций.

Основная цель – познакомить учащихся с линейным уравнением с двумя переменными и линейной функцией, выработать умение строить их графики, осознать важность использования математической модели нового вида – графической моделью.

Сначала изучается не линейная функция, а линейное уравнение с двумя переменными. Это не случайно, а напрямую связано с идейным стержнем всего курса- с математическим моделированием реальных процессов, поскольку равномерные процессы чаще всего моделируются в неявном виде – в виде уравнения ax + by + c = 0, а не в явном виде – в виде линейной функции y= kx+ m.

Внимание учащихся обращается на то, что график линейного уравнения с двумя переменными проще строить, если уравнение преобразовано к виду y = kx+ m, для которого используется термин « линейная функция». Общее определение функции не дается , оно будет введено только в 9 классе, после того как учащиеся накопят соответствующий опыт и будут в состоянии полноценно воспринимать достаточно сложное математическое понятие.

7.Функция y=x² (8 ч).

Функция y= x², её свойства и график. Отыскивание наибольших и наименьших значений функции и наименьших значений функции на заданных промежутках. Графическое решение уравнений. Функции, заданные различными формулами на различных промежутках (кусочные функции). Понятие о непрерывных и разрывных функциях. Разъяснение смысла записи y= f(x).Функциональная символика.

Основная цель – показать учащимся, что, кроме линейных функций, встречаются и другие функции; сформировать навыки работы с графическими моделями.

Функция y = x² вводится, во-первых, для того, чтобы школьник, целый год изучавший курс алгебры, не закончил этот год с убеждением, что в природе существуют только линейные функции, следует приоткрыть ему окно в дальнейшие разделы математики;

во-вторых, эта функция помогает более глубокому изучению линейной функции, привлекая её для графического решения уравнений, для построения графиков кусочных функций; в-третьих, изучение новых функций позволяет естественным образом подойти к одной из основных математических моделей.

8. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными (15 ч).

Основные понятия, связанные с системами двух линейных уравнений с двумя переменными. Графическое решение систем. Метод подстановки, метод алгебраического сложения. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций (текстовые задачи).

Основная цель – научить школьников решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными различными способами и применять системы при решении текстовых задач.

Изучение систем уравнений распределяется между курсами 7 и 9 классов. Здесь вводится понятие системы линейных уравнений и её решения, изучаются графический метод решения систем линейных уравнений, метод подстановки, метод алгебраического сложения. Следует обратить внимание на равноправие трех методов решения систем.

9. повторение. Решение задач (12 ч).

Тематическое планирование учебного материала

«Алгебра, 8»  А.Г. Мордкович и задачник «Алгебра, 8»  А.Г. Мордкович.

( 3 ч в неделю, всего 102 ч)

1.Алгебраические дроби.

 Арифметические операции над алгебраическими дробями(18 ч).

Понятие алгебраической дроби, основное свойство алгебраической дроби. Сложение, вычитание, умножение и деление алгебраической дробей. Возведение  алгебраической дроби в степень. Преобразования алгебраических выражений. Первые представления о решении рациональных уравнений.

Основная цель – выработать умение выполнять тождественные преобразования рациональных выражений.

Первая тема 8 класса дает возможность организовать повторение большого раздела 7 класса ( от одночленов до сокращения алгебраических дробей) с одновременным вхождением в новый материал.

2.Квадратичная функция. Функция y=k/x (18 ч).

Функция y= ax², её свойства и график. Функция  y= k/x, её свойства и график. Построение графиков функций   y= f (x+t) + m  y= - f(x)  по известному графику функции y= f(x). График квадратичной функции  y= ax² + bx+ c (a  ≠ 0). Понятие ограниченности  функции. Отыскание наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции на заданном промежутке. Графическое решение квадратичных уравнений. Построение и чтение кусочных функций, составленных из функций y=C, y= kx, y = kx + m, y= k/ x,

y = ax²+ bx+ c

Основная цель – расширить класс функций, свойства и графики которых известны учащимся; продолжить формирование представлений о таких фундаментальных понятиях математики, какими являются понятия функции, её область определения, ограниченности, непрерывности, наибольшего и наименьшего значений на заданном промежутке.

В реализуемой в учебнике концепции школьного курса алгебры приоритет среди основных содержательно- методических линий отдается фундаментально- графической линии. Изучение любого класса функций, преобразований, уравнений выстраивается по жесткой схеме: функция – уравнения- преобразования.

Полезно деятельность учащихся по изучению той или иной функции организовать так, чтобы рассмотреть новый объект ( конкретную модель – функцию) системно, с разных сторон, в разных ситуациях. В тоже время эта системность не должна носить характер набора случайных сюжетов, различных для разных классов функций, - это создает ситуацию дискомфорта в обучении. Возникает методическая проблема выделения в системе упражнений по изучению того  или иного класса функций инвариантного ядра, универсального для любого класса функций. Инвариантное ядро состоит из шести направлений: графическое решение уравнений; отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке; преобразование графиков; функциональная символика; кусочные функции; чтение графика.

3.Функция y= √x. Свойства квадратного корня (11 ч).

Понятие квадратного корня из неотрицательного числа. Функция y =√x , её свойства и график. Графическое решение уравнений вида √x = f(x) = kx + m, f(x) = k/x,

f(x) = ax² + bx + c .Построение графика функции .Понятие о выпуклости функции. Свойства квадратных корней. Преобразование выражений, содержащих  квадратные корни. Понятие кубического корня.

Основная цель – выработать умение выполнять несложные преобразования выражений, содержащих квадратный корень; изучить новую функцию y =√x.

Понятие квадратного корня вводится при помощи графических изображений: графически решаются уравнения x² = 4, x² = 9, x² = 5. А затем обсуждается проблемная ситуация, возникшая в связи с решением последнего уравнения. Изучение функции предшествует изучению свойств квадратных корней.

Здесь действует договоренность: все переменные принимают только неотрицительные значения.

4.Действительные числа (14 ч).

Рациональные числа, иррациональные числа. Множество действительных чисел. Числовая прямая. Модуль действительного числа, его свойства, график функции y =|x|. Геометрическая интерпретация выражения | x - a| = r. √а² = |а|. Приближенное значение числа. Погрешность.

Степень с отрицательным целым показателем. Стандартный вид числа.

Основная цель – навести определенный порядок в представлениях школьников о действительных (рациональных и иррациональных) числах перед тем ,как начнется систематическое изучение квадратных уравнений; выработать умения выполнять действия над степенями с любыми целыми показателями.

В первую очередь нужно несколько упорядочить знания учащихся об известных им числах – рациональных, что и делается  в начале изучения темы. Вводятся новые символы математического языка: N, Z, Q знаки принадлежности, включения и отрицания.

Основной результат: рациональные числа и бесконечные периодические дроби.

Разговор о свойствах арифметических операций, об отношениях порядка ( <, >) – не повторение старого , ведь до сих пор все это применялось лишь по отношению к рациональным числам; теперь же осуществлен переход в более широкую числовую область – в область действительных чисел.

Достаточно внимания следует уделить важному понятию модуля действительного числа: определение, свойства, геометрический смысл модуля действительного числа, уравнения типа | x-a| = b, решение которых основано на геометрическом смысле выражения |x- a|, график функции y= |x|.

Дается представление об округлении действительных чисел, о приближениях по недостатку и по избытку, об оценке точности приближения, об абсолютной погрешности.

5.Квадратные уравнения ( 21ч).

Основные понятия , связанные с квадратными уравнениями. Обзор известных способов решения квадратных уравнений : метод разложения на множители, метод выделения полного квадрата, графические методы. Формулы корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Рациональные уравнения. Задачи на составление уравнений. Иррациональные уравнения. Равносильность уравнений и равносильные преобразования уравнений( первые представления).

Основная цель – Выработать умения решать квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным, и применять  их при решении задач.

Квадратные уравнения в курсе уже встречались. В данной теме выведена формула корней, т.е. оформлен алгоритм решения любого квадратного уравнения.

Первое упоминание о рациональных уравнениях было сделано в теме 1, теперь же есть возможность выработать общий алгоритм решения таких уравнений, осмыслить три основных метода их решения: графический, преобразование уравнений к виду

p(x) / q(x) = 0, введение новых переменных.

 Введение в теорию равносильности уравнений следует выполнить в самом конце темы, при решении иррациональных уравнений, после того как школьники встретятся с двумя случаями возможного появления посторонних корней: когда в уравнении содержатся алгебраические дроби или когда используется метод возведения в квадрат обеих частей уравнения.

6. Неравенства ( 12ч).

Числовые неравенства и их свойства. Решение линейных и квадратных неравенств. Равносильность неравенств ( первые представления).

Возрастающие и убывающие функции. Исследование функций на монотонность ( с использование м свойств числовых неравенств).

Основная цель – выработать умения решать линейные и квадратные неравенства с одной переменной; познакомиться со свойством монотонности функции.

Одним из важных принципов структурирования программного материала является принцип логической завершенности изучаемого материала в пределах конкретного учебного года. Именно такую завершенность и придает тема «Неравенства» всему материалу, который был пройден в 7 классе. Здесь завершается разговор о действительных числах. Развивается заложенная в теме 5 идея равносильности и равносильных преобразований – на этот раз на материале линейных неравенств. Квадратные неравенства синтезируют в себе две главные темы всего курса алгебры8 класса: решение квадратных уравнений и построение графика квадратного трехчлена. Наконец, введенное понятие монотонности функции дает возможность повторить весь связанный с функциями материал 8 класса, включить в процедуру чтения графика новое свойство функции.

7. Повторение. Решение задач (8 ч).  

Тематическое планирование учебного материала 

«Алгебра , 9» А.Г.Мордкович и задачник « Алгебра, 9» А.Г.Мордкович

 ( 3 часа в неделю, всего 120 ч)

1.Рациональные неравенства и их системы ( 12 ч).

Решение рациональных неравенств методом интервалов. Решение систем рациональных неравенств.

Основная цель- научить школьников решать рациональные неравенства и их системы.

Дается представление о методе интервалов, применяющемся при решении рациональных неравенств. Однако для решения рациональных неравенств предпочтительнее использование эскиза параболы, как это делалось в курсе алгебры 8 класса.

2.Системы уравнений (13 ч).

Уравнение с двумя переменными, его решение и график. Системы рациональных уравнений, основные методы их решения: графический, подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Понятие о равносильности систем  уравнений. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций ( текстовые задачи).

Основная цель – выработать умения решать несложные системы двух рациональных уравнений не выше второй степени с двумя переменными и соответствующие текстовые задачи.

Сначала вводится понятие уравнения с двумя переменными и его решения (первые представления об этих понятиях у учащихся имеются  - 7 классе они изучали линейное уравнение с двумя переменными).

В качестве первого метода решения используется графический метод, что является непосредственным олицетворением ведущей линии курса – функционально – графической линии. Далее изучаются метод введения новой переменной. Далее изучаются метод подстановки, метод алгебраического сложения, метод введения новых переменных. Обсуждение вопросов, связанных с равносильностью систем уравнений, рекомендуется проводить не в начале знакомства с методами решения систем уравнений , а в начале.

3.Числовые функции (21 ч).

Определение функции, способы задания функции. Область определения, область значений функции. Свойства функций: монотонность, ограниченность, наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке. Четные и нечетные функции, особенности их графиков. Наглядно – геометрические представления о непрерывности и выпуклости функций. Обзор свойств и графиков известных функций.

Функции y = xⁿ, y = x‾ ⁿ ( n- натуральное число), их свойства и графики. Построение графика функции y = mf(x) по известному графику функции y = f(x).

Основная цель – обобщив накопленный за два года изучение курса алгебры опыт, ввести понятия функции и основных её свойств; применить новые знания к новому классу функций – классу степенных функций с целым показателем.

В отличие от традиционных школьных подходов, акцент сделан на заданную, а не на естественную область определения функции. Эта линия проводится с 7 класса (особенно в кусочные функциях). Вводится понятие области значений функции, причем на первый план выдвигается графический прием отыскания области значений функции.

Разумеется, это не основной путь в математике, но на первых порах уместна опора на наглядность. Используется следующий порядок перечисления свойств функции при чтении её графика: область определения, четность, монотонность, ограниченность снизу, сверху, наименьшее и наибольшее значение функции, непрерывность, область значений, выпуклость. Для первых пяти свойств есть формальные определения, и в принципе любое из этих пяти свойств можно обосновать. Говоря же о непрерывности, области значений и выпуклости, приходится нарушать традиционный для математики путь « от свойств функции к её графику» и идти в обратном направлении « от графика функции к её свойствам». Рассматриваются степенные функции с целым показателем.

3.Прогрессии (16 ч).

Определение числовой последовательности и способы её задания: аналитический, словесный, рекуррентный. Монотонные последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии: определения, формулы n – го члена, формулы суммы n членов, характеристические свойства.

Основная цель – познакомить учащихся с понятием числовой последовательности и с прогрессиями как частными случаями числовых последовательностей.

Эту тему следует построить так, чтобы она была органично связана с предыдущими разделами курса. Поскольку в курсе приоритет отдается функциональной линии, то и последовательности подаются в том же ключе.

Вводятся три способа задания последовательности ( аналитический, словесный и рекуррентный) и свойство монотонности применительно к последовательностям.

При изучении арифметической и геометрической прогрессии специальное внимание уделяется их характеристическим свойствам.

5.Элементы теории тригонометрических функций ( 16 ч).

Числовая окружность. Числовая окружность в координатной плоскости. Определение синуса и косинуса, их основные значения, знаки по четвертям. Решение простейших уравнений с помощью числовой окружности. Свойства синуса и косинуса, выводимые с помощью числовой окружности. Определение тангенса и котангенса, их основные значения, знаки по четвертям.

 Тригонометрические функции числового аргумента. Функции y= sint  y= cost, их свойства и графики. Тригонометрические функции углового аргумента. Градусное и радиальное измерение углов. Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Основные тригонометрические тождества, связывающие функции одного и того же аргумента и их применение для вычисления значений тригонометрических функций некоторого аргумента по известному значению одной из тригонометрических функций того же аргумента.

Основная цель – дать учащимся  первичные представления о тригонометрических функциях числового аргумента.

С методической точки зрения нужно развести две модели: числовая окружность, числовая окружность на координатной плоскости.

Надо выделить несколько уроков для работы с этими двумя моделями по следующим направлениям:

- отыскание на числовой окружности точек соответствующих заданным числам, выраженным в долях числа ñ;

- отыскания на числовой окружности точек, соответствующих заданным числам, не выраженным в долях числа ñ;

- отыскание координат точек числовой окружности;

- отыскание на числовой окружности точек по заданным координатам.

На первых уроках простейшие тригонометрические уравнения используются не как цель обучения, а только как средство для усвоения главного – определение синуса и косинуса угла.

6. Повторение и закрепление изученного материала ( 7 ч).