презентация "Степенная функция"
презентация к уроку по алгебре (7 класс) по теме

Математика

Класс: 5                                учитель: Романова Надежда Михайловна

Тема: Степень с натуральным показателем и её свойства

Цель: Закрепить определение степени с натуральным показателем, порядок действий в выражениях, содержащих возведение в степень. Вывести свойства степени с натуральным показателем.

Романова Надежда Михайловна,

Лицей №4 г.Саратова

        Тема урока: “Логарифмическая функция”. Решение логарифмических уравнений.

Расскажи – и я забуду                

Покажи – и я запомню                

Дай мне сделать самому –        

- и я научусь                        

Китайская мудрость.                

        Цели:

 - обобщение и систематизация знаний по данной теме;  

 - закрепления методов решения логарифмических уравнений;

 - развитие у учащихся интереса к предмету через решения нестандартных уравнений;

 - развитие зрительной памяти, математически грамотной речи, сознательного восприятия учебного материала.

        План урока:

1. Выполнение тестовых работ.
2. Повторение основного теоретического материала по таблицам.
3. Разбор различных методов решения логарифмических уравнений.
4. Применение логарифмов в природе и технике.
5. Домашнее задание.

Ход урока.

Выполнение тестовых работ.

        Для повторения и обобщения свойств логарифмической функции учащимся предлагается выполнить тест. Ответы записаны учителем на закрытой части доски.

Вариант 1.

1. Найдите значение выражения

А. 1.                Б. 2.                В.                 Г. -5

2. Логарифмическая функция  убывает на  при

А. a<1.                Б. .                В. 00

3. Какая функция является возрастающей?

А.                 Б.

В.                 Г.

4. График функции  проходит через точку..

А.(1;1)                Б. (0;1)                В. (1;0)                Г. (0;0).

5. Область определения логарифмической функции

А.                 Б. R.                В.                 Г.

6. Область значений логарифмической функции

А.                 Б. R.                В.                 Г.

7. Область определения функции

А.                 Б.                 В.                 Г.

8. Функция  на множестве R при

А. Убывает.                Б. Возрастает.                В. Немонотонна.

Г. Затрудняюсь ответить

        9. Какое из следующих чисел входит в область определения функции

А. 11.                        Б. 8                В. 5                Г. 10

        10. Функция  возрастает на множестве

А. (0;1).                Б.                 В.                 Г.

Вариант II

1. Найдите значение выражения

А. .                Б..                В. 2.                Г. 0.

2. Область определения логарифмической функции

А.                 Б. R.                В.                Г.

3. Логарифмическая функция  убывает на  при

А. a>1                Б.                В. 00.

4. Логарифмическая функция  возрастает на  при

А. a>1                Б.                В. 0

5. Область значений логарифмической функции.

А.                 Б. R.                В.                Г.

6. Какая функция является убывающей на ?

А.                Б.                В.                Г.

7. Графики функции проходит через точку

А. (1;1)                Б. (1;0)                В. (0;0)                Г. (0;1)

8. Функция  на множестве R при

А. Убывает.                Б. Возрастает.                В. Немонотонна.                

Г. Затрудняюсь ответить

9. Область определения функции

А.                 Б.                 В.                 Г.

10. Область определения функции

А.                 Б.                 В.                 Г.

Работа с опорным конспектом.

        Учитель. Перед рассмотрением различных методов решений логарифмических уравнений вспомним определение и свойства логарифмов,

определение и свойства логарифмической функции, определение логарифмического уравнения.

        Повторение ведётся с помощью Таблицы №1

Таблица № 2. Графики логарифмической функции.

Один учащийся формулирует определение логарифма и правила логарифмирования  и потенцирования, второй учащийся даёт определение логарифмической функции и перечисляет её основные свойства, третий учащийся рассматривает простейшие логарифмические уравнения , формулирует теорему о корне и указывает единственное решение этого уравнения .

Решение уравнений.

        У каждого учащегося на столе лежит карточка  с заданиями. Сильные учащиеся могут не решать уравнения 1 и 2.(идёт фронтальная работа с классом. Обсуждается метод решения каждого уравнения)

Дополнительный вопрос:

Как решается уравнение ?

[Потенцированием, сведением к уравнению  при условии f(x)>0, g(x)>0, пользуясь монотонностью логарифмической функции]

3. Найдите меньший корень уравнения

Решение.

Учитывая, что , преобразуем исходное уравнение:

x=-30 или x=20

Ответ: -30.

4.

Решение

Область определения:

Обозначим . Тогда исходное уравнение примет вид

, откуда

, , ;,

, , .

Ответ: .

        Дополнительный вопрос.: Какой формулой воспользовались при решении и какой метод применили.

[Использовалась формула перехода к другому основанию и метод введения новой переменной]

        5.

Решение.

Область определения: x+1>0, x>-1.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10

Обозначим . Тогда уравнение примет вид

Его решение , , т.е.

, ,

, , x=99/

Ответ: -0,9; 99.

6.

Решение.

Область определения:

Применив основное логарифмическое тождество, получим:

По определению логарифма

, ,

 или

x=0                x=3 – посторонний корень.

Ответ: 0.

        7. Решите уравнение

Ответ: -3;3.

        Дополнительный вопрос: Какой метод применялся при решении уравнения

        [Применили метод разложения на множители]

        8.

Область определения: x>0.

Умножим обе части уравнения на , , получим равносильное данному уравнение.

Ответ:

Дополнительный вопрос: Какие методы решения логарифмических уравнений мы ещё не рассмотрели?

[Функционально-графический метод. Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функции]

Применение логарифмов в природе и технике.

Учитель. Мы повторили свойства логарифмической функции, методы решения логарифмических уравнений. Но надо заметить, что эта тема применяется при решении прикладных задач в астрономии и технике. Таблица логарифмов, созданная к 1620 г. сэкономила немало сил и времени учёным и инженерам. Из свойств логарифмов следует, что вместо трудоёмкого умножения многозначных чисел достаточно найти (по таблицам) и сложить их логарифмы, а затем оп тем же таблицам выполнить потенцирование, т.е. найти значение результата по его логарифму.

Далее заслуживаются небольшие сообщения учащихся, в которых они приводят примеры зависимостей, в которых встречаются логарифмы.

1-й ученик.

Формула Циолковского.

Эта формула, связывающая скорость ракеты v с её массой m, такова:

v = vгln m0/m, где vг – скорость вылетающих газов, m0 – стартовая масса ракеты. Скорость истечения газа при сгорании топлива vг невелика (в настоящее время она меньше или равна 2 км/с). Логарифм растёт очень медленно, и, для того, чтобы достичь космической скорости, необходимо сделать большим отношением m0/m, т.е. почти всю стартовую массу отдать под топливо.

2-й ученик.

Коэффициент звукоизоляции стен измеряется по формуле D = Alg p0/p, где p0 давление звука до поглощения, p – давление звука, прошедшего через стену, A – некоторая константа, которая в расчётах принимается равной 20 дБ. Если коэффициент звукоизоляции D равен 20 дБ, то это означает, что lg p0/p = 1 и

p0 = 10p, т.е. стена снижает давление звука в 10 раз (такую звукоизоляцию имеет деревянная дверь).

3-й ученик.

Логарифмическая функция возникает в связи с самыми разными природными  формами. По логарифмическим спиралям выстраиваются цветки в соцветиях подсолнечника, закручиваются раковины моллюсков Nautilus, рога горного барана и клювы попугаев.

Все эти природные формы могут служить примерами кривой, известной под названием логарифмической спирали, потому что в полярной системе координат её уравнение имеет вид , или. Такую кривую описывает движущаяся точка, расстояние от полюса который растёт в геометрической прогрессии, а угол, описываемый её радиусом векторам – в арифметической. Повсеместность такой кривой, а следовательно и логарифмической функции, хорошо иллюстрируется тем, что она возникает в столь далёких и совершенно различных областях, как контур кулачка-эксцентрика и траектория некоторых насекомых, летящих на свет.

Итог урока.

Урок закончим словами древнегреческого учёного Фамеса:

Что быстрее всего? - Ум.

Что мудрее всего? – Время.

Что приятнее всего? – Достичь желаемого.

Думаю, что мы с вами достигли желаемого: повторили и обобщили методы решения логарифмических уравнений на основе свойств логарифмической функции. Сейчас наши знания  в этой области далеки от современных, но у вас есть время для того, чтобы их пополнить и углубить.

Задание на дом:

Учащимся выдаются карточки с заданиями и предлагается выполнить ряд номеров из учебного пособия.

Вариант 1

Найдите меньший корень уравнения,

а)

б)

в)

Вариант 2

найдите меньший корень уравнения

а)

б)

в)

Использованная литература.

Учебники:   1) «Алгебра и начала анализа» Под ред. А.Н. Колмогорова М. «Просвещение»

                2) «Алгебра и начала анализа» М. «Просвещение», М.И Башмаков.

Учебные пособия:

Математика – 100 баллов

Ю.А.Глазов, И.К.Варшавский, М.Я. Гаишвили, М., «Экзамен», 2009 г.

Математика

Подготовка к ЕГЭ -2010

Л.Д. Лапко, М.А. Попов

М. «Экзамен», 2010

Сборник конкурсных задач по математике

В.М. Говоров, П.Т. Дыбов

Н.В. Мирошин, С.Ф. Смирнова,

М., «Оникс 21 век», 2003.