Урок - семинар "В мире иррациональности"
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Урок - семинар: «В мире иррациональности».

Цели:

• Обобщить знания учащихся по данной теме;
• Формирование навыков самообразования, самоорганизации  работы в группах;
• Воспитание навыков общения, умения выслушивать и общаться в группе.

Оборудование и наглядность к уроку:

Компьютер, мультимедийный проектор, презентация, таблица, раздаточный материал: «Справочные сведения», план решения заданий.

Подготовительная работа к уроку – семинару:

1. За несколько дней до семинара сообщить план и основные вопросы, выносимые на семинар;

• Историческая справка о развитии числа;  Философское учение Пифагора о числе.  Выступление учащихся с сообщениями.
• Свойства радикалов; Справочные сведения.

  Задание:  При каком целом положительном х значение выражения 

        ближе  всего к числу 0,7?

• Справочные сведения об иррациональных уравнениях и способах их решения; Справочные сведения об иррациональных неравенствах и способах их решения.

2. Обсудить с учащимися план их выступления на семинаре.
3. В оказании помощи в подготовке к семинару проводить индивидуальные  консультации для учащихся и групп учащихся.

План проведения занятия.

1.Вводное слово преподавателя.

Когда мы задумываемся о происхождении того или иного понятия, то для разрешения этого вопроса чаще всего обращаемся к толковому словарю.

В большом толковом словаре русского языка найдем определение иррациональности:

С философской точки иррациональность – недоступность рассудку, то, что не может быть постигнуто разумом, что явно не подчиняется законам законом логики и не может быть выражено в логических понятиях, что оценивается как «сверхразумное».

С математической точки иррациональность – несоизмеримость с единицей; не является ни целой, ни дробной величиной.

Действительно ли понятие иррациональность – это что-то « уму непостижимое, несоизмеримое, немыслимое».

На этот вопрос мы и постараемся сегодня найти ответ в первой  на уроке.

Выступление учащихся на семинаре сопровождается презентацией.

1. Первое выступление учащихся с сообщениями историческая справка.

Обратимся к истории математики. Когда речь идет о чем-то очень простом и понятном, мы говорим: «Дело ясно. Как дважды два  - четыре!» А прежде чем додуматься до того что дважды два четыре, людям пришлось много учится, много тысяч лет. Конечно, это учение шло не за партой. Человек постоянно учился жить: строить жилища, обрабатывать землю, находить дорогу в дальних походах. Везде нужны знания математики.

Наглядным пособием для изучения математики были окружающие предметы. Всякий отдельный предмет: солнце на безоблачном небе, луна в ясную ночь, сам человек – вызывали представление о числе «один». Так глаза, уши, руки человека, крылья птицы служили представлением  о числе «два». Постепенно, пользуясь сначала пальцами рук. А потом и пальцами ног, люди удлинили  счет. Так в сознании людей возникло представление о натуральных числах  

Дополнив натуральные числа нулем и отрицательными числами, расширили множество натуральных чисел, до множества целых чисел  

Прошли годы, столетия и в уме человека зарождается идея о действиях над числами. Так возникла одна из древнейших наук  - арифметика.

Греческий математик Евклид в 3 веке до н.э. создал первую математическую школу.

Л.Ф. Магницкий (1703 году) – создал первый учебник арифметики в России.

В 18 веке Ньютон определил понятие числа как отношение одной величины к другой, того же рода. С этого времени в математике определилось понятие дробного числа.

2000 лет назад знаменитый римский оратор Цицерон говорил:

 « Без знания дробей никто не может признаваться сведущим в арифметике».

R:

Прошло много времени после открытия дробей, пока человеческий ум обнаружил в процессе измерения величин существования иных чисел, кроме целых и дробных.

2 Понятие о иррациональном числе.

 История иррациональных чисел восходит к удивительному открытию пифагорейцев еще в VI в. до н.э. А началось все с простого, казалось бы, вопроса: каким числом выражается длина квадрата со стороной 1?

 Диагональ разбивает квадрат на два одинаковых прямоугольных треугольника, в каждом она является  гипотенузой. Поэтому, как следует из теоремы Пифагора, длина диагонали квадрата равна √2 . Сразу же возникает соблазн достать микрокалькулятор и нажать клавишу извлечения квадратного корня. На табло мы увидим 1,4142135. Более совершенный калькулятор, выполняющий вычисления с высокой точностью, покажет 1,414213562373. А с помощью мощного современного компьютера  можно вычислить с точностью до сотен, тысяч, миллионов знаков после запятой. Но даже самый высокопроизводительный компьютер, сколь бы долго он ни работал, никогда не сможет ни рассчитать все десятичные цифры числа, ни обнаружить в них какой-либо период.

Для пифагорейцев, положивших в основу своей философии число как результат измерения и соотношения между величинами, реальный прямолинейный отрезок – диагональ квадрата со стороной равной единице – лишен числового образа, т. е. такого отрезка не существует. Открыв новый математический объект, пифагорейцы пришли в полное замешательство. В основе всеобщей гармонии мира, считали они, должны лежать целые числа и их отношения. Никаких других чисел они не знали.

 И вдруг эта гармония рушится – существуют величины, которые отношением целых чисел в принципе не являются! Это  и есть что-то « уму непостижимое, несоизмеримое, немыслимое» для пифагорейцев, но не для нас с вами.

3. По следам открытия  пифагорейцев.

 Как доказать, что число  иррационально?   Предположим, существует рациональное число  , такое, что   . Дробь  будем считать несократимой (ведь сократимую дробь всегда можно привести к несократимому виду). Возведя обе части равенства в квадрат, получим  Отсюда заключаем, что m – число чётное, т.е.

 m = 2k. Поэтому и, следовательно, , или  . Но тогда получается, что и n также число чётное, а этого быть не может, поскольку дробь  несократима. Возникает противоречие. Остаётся сделать вывод, что наше предположение неверно и рационального числа , равного не существует.

 История развития теории иррациональности знает много ученых – исследователей. Назовем некоторые из них: это Декарт – французский ученый, английский физик Ньютон, открывший основные законы природы, Лейбниц, Колмогоров, Понтрягин.

4.  Человеку часто приходиться сталкиваться с иррациональными числами.

• Решая задачи на вычисления длины окружности, площади круга, приходиться пользоваться формулами  , в которых содержится число

 = 3,14…..

Классическая задача на геометрическую вероятность:

• Пусть дан квадрат, в который вписана окружность. В квадрат бросают точку; вероятность того, что она попадет в круг, равна отношению площадей круга и квадрата.              

• В физике при нахождении время t поднятия тела, брошенного вертикально вверх на высоту h

• Диаметр трансмиссионного вала  

Где N -   мощность станка в лошадиных силах, n -число оборотов вала в минуту.

В данном случае  речь идет о передачи при помощи ремня вращения от электромотора к шкиву, наглухо посаженному на ведомый вал.

• При вычислении периода колебания математического маятника

5.Выступление:  в математике есть понятие иррациональное выражение – математическое выражение, содержащее буквы, символы, числа под знаком арифметического корня.

В тождественных преобразованиях радикалов в курсе математики мы используем основных  5 теорем и некоторые специальные приемы уничтожение иррациональности в знаменателе дроби.

Справочные сведения:  (раздаточный материал №1 на каждом столе)

Т-1

Если показатель корня – натуральное четное число, т.е. , то по определению

Для любого неотрицательного действительного числа а и произвольного натурального числа К существует единственное действительное число в такое, что .

Т-2

Если показатель корня  - натуральное нечетное число, т.е. , то определению

Для любого действительного числа а  и произвольного натурального к существует единственное действительное  число в такое, что .

Неотрицательное значение корня из неотрицательного числа называют арифметическим значением корня. Или просто арифметическим корнем.

Справедливы следующие свойства:

     формула сложного радикала.    

Учащимся было предложено найти решение для задания 1 и представить на семинаре его решение:

Задание1.  При каком целом положительном х значение выражения ближе  всего к числу 0,7?

решить его и представить  решение на семинаре.

Решение (подробное решение у каждого учащегося на парте).

На доске заранее записан план решения.

Данное выражение определено при выполнении следующих условий:

Из решения  неравенства 1-3 получаем .

Выполнив преобразования выражения 4 получаем:

 при х=7  

при

следовательно, значения х удовлетворяют условию .

Преобразуем данное выражение с учетом условия :

Решая уравнение

 получаем

Рассмотрим функцию , т.к.

Тогда

сравним два числа   .

Так как

Ответ 26.

Вступительное слово преподавателя: Умение преобразовывать радикалы полезно и необходимо при решении иррациональных уравнений.  

Вопросы разрешимости уравнений в радикалах были окончательно решены только в первой половине 19 века в работах знаменитых математиков – итальянца Паоло Руффини,  француза Галуа и норвежца Абеля. Переходим к решению различных задач иррациональных уравнений.  Решение иррациональных уравнений требует от вас хороших теоретических знаний, внимания, трудолюбия, сообразительности.

Справочные сведения (раздаточный материал №2  для учащихся подготовлен выступающими уч-ся).

Определение1

Простейшими иррациональными уравнениями от одной переменной будем называть уравнения вида:

Все корни четной степени, входящие в иррациональное уравнение, являются арифметическими.

Все корни нечетной степени определены при любом действительном значении подкоренного выражения, при этом корень имеет тот же знак, что и подкоренное выражение.

 Алгоритм решения каждого из типов простейших уравнений:

1.  
2. Функция

Поэтому

Задание 2. Решить уравнение  

План решения:

Уравнение решаем методом замены переменной.

получаем уравнение , решая, получаем

1. Найти нули функции:   
2. Найти сумму корней уравнения:

План решения

Данное уравнение равносильно совокупности

Решая, получаем:  х=-3,6

Х=4; х—4

х

учитывая данные условия, имеем   -3,6+4=0,4. Ответ:0,4

3. Решить уравнение

План решения:

Т.к. функция возрастающая,

  убывающая.

Уравнение имеет не более одного корня х=-2.Подставив в данное уравнение  х=-2. Получим верное числовое равенство.

Выступление 7. Решение иррациональных неравенств.

Справочные сведения.  Раздаточный материал 3.Решение простейших иррациональных неравенств.

Решение неравенств , содержащихся под знаком радикала ,основано на теоремах:

Т - 1:

T – 2:

T – 3

Задание: решить неравенство и указать число целых отрицательных решений неравенства

План решения:

Решая совокупность двух систем получаем    

Неравенству удовлетворяет одно отрицательное целое значение х=-1.

Итоги урока:

«Числа управляют миром», – говорили пифагорейцы. Мы не можем согласиться с данным утверждением, мы знаем, что не число есть основа вещей, хотя, несомненно, число играет исключительную роль  в  науке и технике, в деле подчинения ее сил человеку. Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе.