Разработка методических рекомендаций решения линейных уравнений с параметрами.
методическая разработка по алгебре по теме

Разработка методических рекомендаций

решения линейных уравнений с параметрами.

Содержание.  

     Вступление

 1. Алгоритм решение линейных уравнений с параметрами.

 2. Решение простейших уравнений с параметрами.

 3. Частные случаи решения линейных уравнений.

 4. Аналитический и графический способы решения линейных  уравнений

 5. Уравнения, приводимые к линейным.

 6. Заключение.

 7. Список литературы.

Разработка методических рекомендаций решения линейных уравнений и неравенств с параметрами.

Математику затем учить следует,

 что она ум в порядок приводит.

М.В.Ломоносов.

 Всё возрастающая популярность задач с параметрами далеко не случайна. Теоретическое изучение и математическое моделирование многообразных процессов из различных областей науки и практической деятельности человека часто приводят к достаточно сложным уравнениям и неравенствам или их системам содержащим параметры. Задачи с параметрами, предлагающиеся на конкурсных экзаменах, являются прообразом важных научно-исследовательских задач, которые предстоит решать будущему поколению. Такие задачи требуют глубокого понимания сути процесса, свободного владения различными математическими  методами и скрупулёзного анализа.

Программа по математике средней общеобразовательной школы не уделяет большого внимания решению задач с параметрами. Следовательно, каждый учитель должен сам  найти  время на уроке для решения таких задач. Эти задачи представляют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков.

Все рассмотренные  задания в данной работе имеют цель – помочь учащимся составить представление о параметре, о том, что значит решить уравнение с ним. В самом начале знакомства с параметрами у учеников возникает психологический барьер, который обусловлен его противоречивыми характеристиками. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой, конкретное значение параметра не дано. С одной стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой может принимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении – это «неизвестная величина», «переменная постоянная». Эти противоречивые высказывания точно отражают суть тех сложностей, которые нужно преодолеть ученикам.

Цель проекта:  Разработать методические рекомендации использования современных технологий при обучении решению линейных уравнений с параметрами.

Задачи проекта:

1. Провести обзор методической литературы, методических пособий, учебников, методических разработок по данной теме.

2. Выявить наиболее общие подходы к решению линейных уравнений с параметрами.

3.Сформировать понимание основных методов решения линейных уравнений с параметрами.

4. Раскрыть значение заданий с параметрами в системе школьного образования.

 Долгий путь начинается с первого шага.

(восточная мудрость)

1. Алгоритм решения линейных уравнений с параметрами.

Исследовать и решить уравнение с параметром – это значит:

1. Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, т.е. для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

На экзаменах встречаются, в основном, два типа задач с параметрами.

1. Для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения и неравенства.
2. Найти все значения параметра, при каждом из которых для данного уравнения и неравенства выполняются некоторые условия.  

Определение:  Уравнение вида , где - некоторые аналитические выражение, называется линейным относительно переменной х с параметром а. Если поставлена задача решить такое уравнение, это значит, для каждого допустимого значения параметра а надо найти значение переменной х, удовлетворяющее этому уравнению.

Алгоритм решения:

1. Найти допустимые значения параметра.
2. Если , то существование или отсутствие корней зависит от значения  Если  то уравнение принимает вид  и его корнем служит любое действительное  значение переменной  х. Если  то при любом значении переменной х возникает неверное числовое равенство, то есть уравнение корней не имеет.
3. Если  то получим, что

Учащимся можно данный алгоритм предложить оформить в виде таблицы.

Алгоритм решения линейных уравнений с параметрами.

2. Решение простейших уравнений с параметрами.

Пример 1. Для всех значений параметра а решите уравнение х – а = 0.

Ответ: х = а при любом а.  

Этот пример напоминает, что при решении задач с параметрами   нужно находить   неизвестную,  и указывать, при каких значениях параметра ответ имеет смысл.

Пример 2.  Для всех значений параметра а  решите уравнение .

Ответ:   если а – любое число.

Пример 3. Для всех значений параметра а  решите уравнение  .

Ответ: , если а – любое число.

 Пример 4. Для всех значений параметра а  решите уравнение      ах   = 1.

Решение:  При  а = 0 данное уравнение решений не имеет, и в ответе это обстоятельство должно быть отражено.

Ответ: при а = 0 решений нет; при а ≠ 0 решение .

Пример 5. Для всех значений параметра а  решите уравнение      0х   = а.

Ответ: при а ≠ 0 корней нет; при а=0  х – любое число.

Пример 6. Исследовать и решить уравнение с параметром  

 Решение: Найдём контрольные значения параметра, т.е. Такие значения при которых коэффициент при х  обращается в 0. Такими значениями являются а = 0 и а = 2.

а)  При а =0  уравнение принимает вид 0х = -2. Это уравнение корней не имеет.

б) При а = 2 уравнение принимает вид 0х = 0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

в) При а ≠ 0 и а ≠ 2 из исходного уравнения получаем , откуда .

Ответ:  1)  при а =0   корней нет.

               2) при а = 2  х – любое действительное число.

       3) прито

Пример 7.  Исследовать и решить уравнение с параметром.

Найдём контрольные значения параметра а:  .

 а) при а=1 уравнение принимает вид 0х = 0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

б) при а ≠ 1  уравнение примет вид

Ответ: 1) при а=1 х – любое действительное число.

2) при а ≠ 1 , то  

Пример 8. Исследовать и решить уравнение с параметром.

а2 (х – 5) = 25 (х – а)

Выполнив ряд преобразований, приведём уравнение к виду, наиболее удобному для исследования:            а2х – 5а2 = 25х – 25а ;  

                                          (а2 – 25)х = 5а2 – 25а.

(а-5)(а+5)х = 5а(а-5).

а) при      ед. х ;  .

б) Если а = 5, то 0х = 0, следовательно,  любое х есть решение.

в) Если а = - 5, то 0х = 250, следовательно, решений нет.

Графическая иллюстрация исследования по параметру а:    

                          -5            5                    

                                                                  а

                       3)      1)           2)

Ответ: 1)   при      ед. х .

2) при  а = 5,    любое х есть решение.

3. Частные случаи решения линейных уравнений

Ученики должны понять, что решение уравнения с параметрами при заданных конкретных условиях – это частные решения уравнений. Например, задание может звучать так: «При каких значениях параметра … уравнение …. Имеет единственное решение или не имеет корней, или имеет корень равный… и т.д.

Пример1. При каких целых значениях параметра  а уравнение  имеет целые корни.

Решение: Приведём уравнение к виду , если  то . Чтобы х был целым числом, необходимо, чтобы значение выражения  было делителем числа 5, то есть  может быть равно 1; -1; 5; -5. Отсюда,  а = 3;  1; 7;-3.

Ответ:  при  а = -3;  1; 3; 7 .

Пример 2. При каких значениях параметра  n  уравнение  

 а) имеет единственный корень;

б) имеет бесконечное множество корней;

в) не имеет корней.

Решение: 1. Выражения    имеют смысл при любых  значениях  n/

2. Если , то   . При  значение выражения  равно 0. Получаем уравнение вида   . Оно имеет бесконечное множество корней, то есть х – любое число. При  значение выражения  равно – 12, получается уравнение , которое не имеет корней.

3. При  и  уравнение имеет единственный корень.

Ответ: а) При  и .

  б) При .     в) При .

Пример 3. При каком значении параметра  а  уравнение не имеет корней  .

Перепишем данное уравнение в виде  Если а = 2, то уравнение не имеет корней.         Ответ: а = 2

Пример 4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых число 7 является единственным корнем уравнения.

Решение: Способ I:  Если для некоторого значения параметра число 7 является корнем уравнения, то для этого значения а справедливо равенство  , или равенство  .

Равенство справедливо при  а = 0 или при а =1.

Внимание! Мы ещё не получили ответа, так как нашли два значения параметра а, предполагая, что число 7 является корнем уравнения. Но этот корень должен быть единственным, поэтому ещё требуется  проверить, является ли число 7 единственным корнем уравнения  

при а = 0 или при а =1.

Если а = 0, то уравнение перепишем в виде х – 7 = 0.

При а = 0 число7 является единственным корнем уравнения.

Если же а =1, то уравнение перепишем в виде    х - 7 = х – 7.

При а=1 любое действительное число является корнем данного уравнения. Следовательно, число 7 не является единственным корнем уравнения .

Способ II.  Перепишем исходное уравнение в виде 

При а =1 корнем уравнения является любое число, то есть число 7 не является единственным корнем уравнения. Поэтому в уравнении а ≠1.

Но тогда это уравнение имеет единственный корень . Условие задачи будет выполнено, если это единственный корень есть число 7:     то есть при а = 0.

Ответ:  а = 0.

Пример 5.  Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнения       и   имеют общий корень.

Решение:  Перепишем  первое уравнение в виде . Это уравнение имеет корень лишь при . Этот корень есть число .

Перепишем второе уравнение в виде . Данное уравнение имеет корень лишь при  ,. Этот корень есть число

Осталось найти все значения параметра . При каждом из которых первое и второе уравнение имеют общий корень, то есть х1  и х2  есть одно и то же число.

Для этого решим уравнение  

Перенесём все слагаемые в одну часть уравнения и упростим разность алгебраических дробей, равносильное уравнение которое имеет единственный корень . При этом значении а условие задачи выполнено.

Ответ: при

4. Аналитический и графический способы решения линейных  уравнений

Пример 1.Решите уравнение .

Решение: Способ 1. (аналитический).

1. При  а>0 уравнение имеет два корня: .
2. При а=0 уравнение имеет один корень: х=0
3. При а<0 уравнение корней не имеет.

Способ II.(графический)

1. При а>0 графики пересекаются в двух точках ( – а; а) и ( а; а), значит уравнение имеет два решение:  .

                                   у                 

                                              х

2. При а=0 точка пересечения графиков одна – начало координат, следовательно, уравнение имеет одно решение: х=0.

3. При  а<0  графики функции не пересекаются – решений нет.

 Ответ: при а<0  корней нет;

               при а=0  один корень: х=0; 

              при  а>0   два корня: .

Пример 2.Решите уравнение .

 Решение. Способ I  (аналитический).

1. При   уравнение равносильно уравнению ах = х, или х(а — 1) = 0. Следовательно:

а) при а  ≠ 1 уравнение имеет только одно решение: х = 0;

б) при а = 1 уравнение имеет бесконечное множество решений:  

2. При х ≤ 0 уравнение равносильно уравнению ах = — х, или х(а + 1) = 0. Следовательно:  а) при а ≠ —1 уравнение имеет одно решение: х = 0;

б) при а = —1 -  множество решений,  

 Способ II (графический).

  Построим графики функций     и . Графиками функций у = ах являются прямые, проходящие через начало координат, угловой коэффициент которых равен  а.

                                               у                    А

                             В                                                                                        

                                                                                х

1. При   уравнение имеет одно решение х = 0.

2. При а = 1 прямая у = х содержит луч ОА, и уравнение имеет бесконечное множество решений  .

З. При а = —1 прямая у = х содержит луч ОВ, и уравнение имеет бесконечное множество решений  

Ответ: при  а = —1 ; при  а = 1 ; при    х = 0.

Пример 3. Решите уравнение      | х + 2| = ах + 1.

Решение аналитическим способом приводит к достаточно длительным рассуждениям, так как имеет много ветвлений. Графический способ более удобен, он короче и красивее.

Решение.  Построим график функций у =| х + 2| и у = ах + 1. График первой функции получается сдвигом графика функции у =| х| на 2 единицы влево по оси абсцисс. Графиком второй функции является прямая, проходящая через точку с координатами (0; 1), угловой коэффициент которой равен а. Рассматривая график функции у = ах + 1 при различных числовых значениях параметра а, получаем пучок прямых, проходящих через точку (0; 1).

1

                                                      2

3

                                                            2

1

                                                                                                 3

Если угловой коэффициент , то есть прямые проходят в области 1, то они пересекает правую ветвь (х > –2) графика функции  , и уравнение имеет одно решение.

Если  , то прямые проходят в области 2, и графики функций пересекаются в двух точках, то есть уравнение имеет два решения.

При   прямые расположены в области 3, в этом случае графики функций не пересекаются, следовательно, уравнение решений не имеет.

При   точка пересечения одна, и решение тоже одно.

Таким образом, получаем ответ.

Ответ:  При  уравнение имеет одно решение;

При  уравнение имеет два решения; при  уравнение решений не имеет.

5. Уравнения, приводимые к линейным.

Несложные уравнения с параметром, при решении которых требуется дополнительная проверка, связанная с ограничениями их области определения, составляет следующий шаг в изучении уравнений с параметром.

Пример1. Решите уравнение

Решение. Очевидно, что х ≠ 2. Умножив обе части уравнения на х–2≠0, получим    а = х – 2 или х = а + 2. Проверим, нет ли таких значений параметра а, при котором найденное значение х было бы равно числу 2, то есть решим уравнение 2 = а + 2 относительно а. Получим, что при а = 0   х =2, но число 2 не входит в область определения, следовательно, не может быть его корнем.

Ответ: при а = 0 корней нет; при а≠ 0     х = а +2.

 Пример2.  Решите уравнение

Решение: х  ≠ –1. Приведя уравнение к виду (1 — а)х = а, заметим, что при  а = 1 уравнение не имеет корней, а при а  ≠1 получаем .   Решим уравнение  относительно а. Так как  уравнение не имеет корней, других вариантов не имеется.

Ответ:  при а  ≠1  ;  при  а = 1   корней нет.

 Пример 3.  Решите уравнение    

РешениеПри условии, что  исходное уравнение можно упростить: 

 После преобразований получаем уравнение 2ах =1– а, которое при а = 0 не имеет корней, а при  а ≠ 0   .   Проверим,  нет ли таких значении параметра а, при которых найденное значение х было бы равно – 3  или 2. для этого решим относительно а уравнения.    Корень первого  уравнения

  – 0,2, корень второго уравнения 0,2, то есть при а ± 0, 2 соответствующие значения х не входят в область определения исходного уравнения.

Ответ:  при  корней нет; при    .

Пример 4. Исследовать и решить уравнение с параметром.

D(у): х≠ -1 .

kx + 2k – 3k + 3 = x + 1;

(k – 1 )x = x + 1  - вид уравнения наиболее удобный для исследования.

a) Пусть k ≠ 1, тогда существует единственный х  .

б) Выясним, при каких значениях параметра k  х = -1, и исключим их.

Для этого решим уравнение:

, тогда k = 1,5.

в) Если k = 1, то 0х = -1,  решений нет.

Графическая иллюстрация исследования по параметру k

                  1           1,5              

                                               k                                                                            

           1)       2)            3)

Ответ: 1) При      k ≠ 1  

                            k ≠1,5               существует ед. х = .    

2)  При k =1 решений нет.

3) При k = 1,5 решений нет.

Пример 5.   Исследовать и решить уравнение с параметром.

  D (у):       m ≠ 1

                  x≠-3.

Преобразуем данное уравнение в равносильное с учётом D (у):

3mx – 5 + (3m – 11)(x + 3) = (2x + 7)(m – 1);

(4m – 9)x = 31 – 2m  - линейное уравнение с параметром, удобное для исследования.

а)   Если       m ≠ 2,25

                     m ≠ 1   , то существует ед.  

б) Выясним, при каких значениях параметра   m   x = -3.

 следовательно, m = - 0,4, т.е. при m = - 0,4  х.

в)  Если m = 2,25, то 0х = 26,5, следовательно, решений нет.

Графическая иллюстрация исследования по параметру

                         -0,4                1              2,25  

                                                                                     m

                          1)           3)          4)        2)      

Ответ: 1) при    m ≠ 2,25

                          m ≠ - 0,4 существует ед.   

                          m ≠ 1           

2) При    m = 2,25 решений нет

3) При   m = - 0,4 решений нет

4)  При   m = 1  уравнение не определено или не имеет смысла.    

Пример 6.   Исследовать и решить уравнение с параметром.

D(y):    Выполнив необходимые преобразования получим следующее уравнение:    

                                           .

а) Если  то

б) тогда т.е.

в)  тогда     т.е.  

г)  тогда  0= - 6,5, следовательно,   решений нет

 Графическая иллюстрация исследования c параметром m

                - 2             -1,5

                                                                m

  5)       1)            4)         3)        2)

Ответ:  1) При    существует единственное решение

2)  При   решений нет

  3) При   решений нет

4) При    уравнение не определено.

5) При   решений нет.

Пример 7.   Исследовать и решить уравнение с параметром:  

D(y) :  

Данное уравнение перепишем в виде

  или  

а)    Если  то существует ед.

б)  Выясним, при каких значениях параметра m    x=1, и исключим эти значения, т.е.  или 2 = 1. Следовательно, не существует такого значения параметра m, при котором  x=1, т.е. дополнительных ограничений на значение параметра m  нет.

в) Если m=1, то,   следовательно, любое  есть решение уравнения, т.е. это случай бесконечного множества решений.

г)  Если m = -1, то , т.е. решений нет.

д) Если m = 0  -  уравнение не определено.

Ответ: а) а)    Если  то существует ед. x  

б) Если m=1, то для любого x ≠ 1 есть решение.

в) Если m = -1,  решений нет

г) Если m = 0  -  уравнение не определено.

Пример 8.   Исследовать и решить уравнение с параметром:

Найдём область определения данного уравнения.  D(y) : х ≠±1. 

Запишем уравнение в виде.  или  

а) Если а ≠ -2 , то существует ед. х 

б) Выясним, при каких значениях параметра  а   х=1, и исключим их.

, т.е. а = 1.

 в) выясним, при каких значениях  параметра  а  х=-1,  

, т.е. 4=-2, или решений нет. Следовательно, не существует такого значения параметра а, при котором  х=-1.

г) Если а = -2, то , т.е. решений нет.

Графическая иллюстрация исследования c параметром а

             -2         1            

                                               а

1)             2)         3)

Ответ 1) При  существует ед. х  

2) При а = -2, решений нет.

3) При а = 1, решений нет.

Пример 9.   Исследовать и решить уравнение с параметром

 D(y):  .

Запишем уравнение в виде  , или  

а) Если  то существует ед. х

б) Выясним, при каких значениях параметра   m   x=-3.

  т.е.  m ≠-1.

в) Если m = -4, то , следовательно, любое х из области определения уравнения есть решение.

г) Если m = 2, то , т.е решений нет.

д) Если m = -1 – уравнение не определено.

Ответ: 1) При  то существует ед. х

2) При m = - 4, любое х ≠-3 есть решение.

3) При m = 2, решений нет.

4) При m = -1 – уравнение не определено

Пример 10.   Исследовать и решить уравнение с параметром

 D (y):  .

 Запишем уравнение в виде  

а) Если  то существует ед. х  .

б) Если а=0, то 0=0, следовательно, любое х из области определения есть решение.

Ответ: 1) При  то существует ед. х  .

2) При а=0, любое х ≠ 1 – есть решение.

3) При  а = 1,5 уравнение не определено.

Пример 11. Исследовать уравнение, выяснить, при каких значениях параметра m существует единственное решение, меньше 1.

  D(y):  

Запишем уравнение в  виде

I. а) Если    то существует ед. х 

б) Выясним, при каком значении параметра  m   х=-2.

 т.е.

в) Выясним, при каком значении параметра  m   х=-3

 т.е. .

II. Решим неравенство .  Перенесём 1 в левую часть, тогда

Графическая иллюстрация:

                           0                              1              

                                                                                                    m

Ответ: при  существует единственное решение   такое, что .

Пример 12.     Исследовать уравнение, выяснить при каких значениях параметра m существует единственное положительное решение.      

 D(y) .

Запишем уравнение в виде       .

I. а)  Если  то существует ед. х    

б) Выясним, при каком значении параметра m        

 тогда

в)  При  найдём дополнительное ограничение на значение параметра m. 

Тогда уравнение имеет вид

   т.е.

II.  

Графическая иллюстрация:

              -2           -1          -½                                                                      m

Ответ: при   существует ед. х

Пример 13. Исследовать и решить уравнение с параметром

D (y):    

В результате преобразований получаем  - данное уравнение наиболее удобно для исследования.

а) Если  то существует ед. х

б) Выясним при каком значении параметра b       

в) Выясним при каком значении параметра b         

г) Если , то  решений нет.

Ответ: 1)При  существует ед. х

2) При  решений нет.          3) При  решений нет.

4) При  решений нет.

Пример 14. Исследовать и решить уравнение с параметром

D(y):      

     Преобразуем уравнение в более удобное для исследования.

    .

а) Если  то существует ед х  

б) Выясним, при каком значении параметра  n  х=0.

  .

в) Если , то  любое значении х из области определения является решением.

г) Если  , уравнение не определено.

д) Если , уравнение не определено.

Ответ: 1)  При  то существует ед. х 

2) При   любое  является решением.

3) При , уравнение не определено.

4) При , уравнение не определено.

Заключение.

  Для реализации проекта мною были проанализированы методическая литература и учебные пособия, которые позволили выявить основные методы решения линейных уравнений с параметрами и адаптировать их к школьному курсу.  Что помогло составить систему дидактических материалов, которые можно использовать для учащихся 7 – 11 классов в процессе усвоения той или иной темы или для параллельного повторения при подготовке к ГИА или ЕГЭ.

Список литературы:

1. Натяганов В.Л., Лужина Л.М. Методы решения задач с параметрами: Учеб. пособие. – М.: Изд-во МГУ, 2003. – 368 с.  
2. Шахместер А.Х.  Уравнения и неравенства с параметрами. – 1-е изд.– СПб.: «ЧеРо-на-Неве»,  2004.–  304с.

3.  Шахместер А.Х. Задачи  с параметрами в ЕГЭ. –

1-е изд.– СПб.: «ЧеРо-на-Неве»,  2004.–  304с.

4. Шахместер А.Х. Задачи  с параметрами  на экзаменах. – 3-е изд., исправленное.– М.: Издательство МЦНМО: СПб.: «Петроглиф»: «Виктория плюс»,2009.  – 248с.

5. Н.Воронина Уравнения с параметрами на уроках повторения. – Газета «Математика» №1/ 2010г.  Издательский дом «Первое сентября».

6. Т.Овчинникова,  Факультативный курс «Линейные уравнения и неравенства с параметрами» – Газета «Математика» №1/ 2010г. №2/2010, №3/2010 Издательский дом «Первое сентября».

7. П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир       Задачи с параметрами. 3-е издание, дополненное и переработанное. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1999 – 336с.

8. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. /[А.Г.Мордкович и др.] под ред. А.Г. Мордковича. – 11-е изд. Стер. М.: Мнемозина, 2009.

9. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. /[А.Г.Мордкович и др.] под ред. А.Г. Мордковича. – 11-е изд. Стер. М.: Мнемозина, 2009.

10.  Алгебра. 10-11 класс. В 2 ч. /[А.Г.Мордкович и др.] под ред. А.Г. Мордковича. – 11-е изд. Стер. М.: Мнемозина, 2009.

11. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – 9-е изд.- М.: Айрис-пресс, 2004 – 432с.

12. Субханкулова С.А. Задачи с параметрами. – М.: ИЛЕКСА, 2010. – 208с (Серия «Математика: элективный курс»).