Разработка урока алгебры Обратные тригонометрические функции
методическая разработка (алгебра, 10 класс) по теме

Разработка урока  алгебры в 10 классе

«Обратные тригонометрические функции. Арксинус и арккосинус».

автор: Нефёдова Нурия Хаджиевна

место работы: ГБОУ ВПО СГОА(Н)

должность: учитель математики

Тема урока: Обратные тригонометрические функции. Арксинус и арккосинус.

Тип урока: закрепление изученного материала.

Методы обучения: наглядный, словесный, практический.

Средства обучения: доска, конспект лекций, задачник, методические указания.

Цели урока:

1. Закрепить тему «Обратные тригонометрические функции. Арксинус и арккосинус»;
2. Выработать умения производить различные действия над арксинусом и арккосинусом, строить графики.
3. Уметь определять свойства функции по графику.
4. Научиться выполнять преобразования графиков.
5. Деятельностная цель: формирование у учащихся способностей к самостоятельному выявлению и исправлению своих ошибок на основе рефлексии коррекционно-контрольного типа.
6. Образовательная цель: коррекция и тренинг изученных способов действий – понятий, алгоритмов и т.д.

Учебно-воспитательные задачи:

1. Образовательные – обеспечить  повторение  и  систематизацию  материала  темы.  
2. Развивающие – способствовать  формированию  умений  применять  приемы:  сравнения,  обобщения,  выявления  главного,  переноса  знаний  в  новую  ситуацию,  развитию  математического  кругозора,  мышления  и  речи,  внимания  и  памяти.
3. Воспитательные – содействовать воспитанию  интереса  к  математике  и  ее  приложениям,  активности,  мобильности,  умения  общаться,  общей  культуры.

План урока:

1. Организационный момент.
2. Актуализация базовых знаний.
3. Упражнения на нахождение обратной функции и решение нестандартных задач по теме.
4. Подведение итогов.

Формирование СУД и УУД на различных этапах урока.

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ: «Л» - личностные, «К» - коммуникативный, «П» - познавательный, «Р» - регулятивный.

Ход урока

I. Организационный момент:

– приветствие класса;

– проверить готовность класса к уроку;

– сообщить тему урока и цели.

II. Актуализация базовых знаний.

Фронтальный опрос.

1. Дать определение арксинуса, назвать область определения и значений функции, схематично изобразить на доске график.

2. Дать определение арккосинуса, назвать область определения и значений функции, схематично изобразить на доске график.

3. Какими свойствами они обладают?

III. Закрепление изученного материала через практику (учащиеся работают у доски).

Искомый график y = arcsin (sin |x–/4|) получается из него сдвигом на /4 вправо вдоль оси абсцисс (изображен сплошной линией на рис.1 ).

Рис. 1

IV. Упражнения на нахождение обратной функции и решение нестандартных задач по теме

Найти обратную функцию f –1 к функции f(x) = sin x, если а) D(f)= ; б) D(f)= .

Решение:

В обоих этих случаях функция f осуществляет взаимно однозначное соответствие между D(f) и E(f) =. Значит, обратная функция существует. В случае а) D (f -1) = ; E (f -1)= . Для явной записи обратной функции решим уравнение sin x=у при условии . Так как arcsin у = =arcsin (sin x) = π–x (см. рис. 14), то х = π–arcsin у. Итак, в случае а) обратная функция (после обозначения аргумента ее через х, а самой обратной функции через у) задается формулой у = π–arcsin х.

В случае б), когда х, arcsin у = arcsin (sin x) = х-2π (см. рис. 14), т.е. х = 2π+arcsin у. Обратная функция задается формулой у = 2π + arc – sin х [19].

2) Найти обратную функцию к следующим функциям:

а) y=sin x на ; б) y=sin x на ; в) y=cos x на .

Решение:

а) Функция y = sin x осуществляет взаимно однозначное соответствие между D(f)=  и E(f)= . Значит, обратная функция существует. Для явной записи обратной функции решим уравнение sin x=y при условии . Так как на этом отрезке arcsin (sin x) = 5 – x, то arcsin y= =arcsin (sin x) = 5–x, откуда y = 5–arcsin x (явная запись обратной функции).

б) Аналогично примеру а), arcsin y = arcsin (sin x) = ––x, откуда y = –– arcsin x.

в) Аналогично примеру а), arccos y = arccos (cos x) = 4 +x, откуда x= =arccos y – 4. Переобозначая х и у, имеем у = arccos х –4.

3) Сравнить числа  и .

Решение:

Заметим, что  и .

Углы близки. Попробуем вычислить значения тригонометрических функций упятеренного аргумента, так как значения их для  известны. При этом . Удобнее вычислить , т. к. его значения по разные стороны от  имеют разные знаки.

 3-ей четверти, а потому

.

Ответ:  [17].

4) Сравнить числа  и .

Решение:

I способ

Найдем , так как с  вычислять труднее.

.

II способ

Заметим, что .

Часть угла  (рис. 2), который обозначим как угол АОВ, расположена в четвертой, часть – в первой четвертях. Найдем синус этого угла, тогда будет ясно, в какой именно четверти находится угол . Обозначим  и вычислим sin 5x.

Рис. 2

sin 5x = sin 4x. cos x + sin x. cos 4x= 2cos 2x. 2 sin x. cos x +sin x. (2cos2 2x –1)= =   ==

Ответ: .

V. Подведение итогов.

Итак, давайте вспомним, что сегодня мы сделали (учитель с помощью учащихся):

– научились строить различные графики, содержащие обратные тригонометрические функции, сравнивать числа и аркфункции, находить вид функции, обратной к тригонометрической;

– приобрели опыт решения примеров и построения графиков.

В завершении урока проверка усвоенных знаний, предложив самостоятельную работу, где будут представлены один – два примера (из заданий для самостоятельной работы).

Источники:

1. http://ru.math.wikia.com/wiki/
2. http://www.mathematics.ru/courses/function/content/chapter2/section3/paragraph4/theory.html
3. Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. общеобр. учреждений/ Ш.А. Алимов, Просвещение, 2009.-384 с.
4. За страницами учебника математики/С.А Литвинова, Л.В. Куликова.- 2-е изд.,дополнительное.М.: Глобус, Волгоград: Панорама,2008.-176с.