Урок на тему: "Наибольшее и наименьшее значения функции".
план-конспект урока алгебры (10 класс) по теме

Тема урока:  Наибольшее и наименьшее значения функции (1 курс, 2 ч)

Цели: ознакомление учащихся с понятием наибольшего и наименьшего значения функции;

введение правила для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции; развитие познавательных интересов учащихся и любви к математике; систематизировать знания учащихся по изученной теме; проверить уровень усвоения изученного материала; применять теоретический материал при решении задач.

Ход урока:

1. Повторение:

Учитель:  Какие точки называются стационарными?

Ученик: Стационарными называются точки, в которых производная функции f/ (x)=0.

Учитель: Чтобы найти стационарные точки надо: найти производную функции f/ (x) и решить уравнение f/ (x)=0

2. Объяснение нового материала:

1. Решение многих практических задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции.
2. Теорема Вейерштрасса.
3. Записать в тетрадях алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции y=f(x) на отрезке [a;b].

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции  на отрезке [a;b]:

1. найти  f '(x);
2. найти точки, в которых f '(x)=0  или  f '(x) не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка [a;b];
3. вычислить значения функции y=f '(x) в точках, полученных в п.2, и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее; они и будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции y=f(x) на отрезке [a;b], которые можно обозначить так:  max y(x) и      min y(x).

                             [a;b]              [a;b]

4.(Объесняет учитель.) Найти наибольшее и наимеьшее значения непрерывной функции у= х3-3х2-45х+225 на отрезке [0;6]

Р е ш е н и е.

D(y)=R.

a)y' = 3x2-6x-45;

б)y' существует при всех х. Найдем точки критические, в которых у' =0. Имеем:  

3x2-6x-45=0, х2-2х-15=0, х1= -3, х2=5. Отрезку [0;6] принадлежит лишь точка х=5.

в)вычислим значения функции в точках 0, 5, 6:

у(0)= 225, у(5)=50, у(6)=63.

О т в е т: max y(x) =у(0)=225;                   min y(x)=у(5)=50.

                [0;6]                                             [0;6]

3. Закрепление изученного материала. Устная работа:

1. Назовите наибольшее (наименьшее) значение функций у=х3; у=-5х; н=2 на отрезке [-2;3].
2. Известно, что  на рассматриваемом  промежутке [a;b] области определения функция f  имеет уmax=2, ymax=4, ymin=1; y(a)=-2, y(b)=0. Чему равны наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке?
3. На отрезке [a;b] ymax=8, ymin=4, ymin=-3. Каких условий недостает, чтобы определить наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке?
4. Известно, что на отрезке [a;b] функция f  имеет две критические точки х1 и х2: fmax(x1)=8, в точке х2 производная не существует, но f(x2)= -3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции, если f(a)=6, f(b)= -2.
5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у=х3-6х2+9х на отрезке а)[-3;2]; б)[-3;4].

4.  Математический диктант.

Вариант 1. Запишите наибольшее и наименьшее значения функции f, непрерывной на отрезке  [a;b], если известно, что на этом отрезке fmax = -3; fmin= -4; fmax=2, f(a)= -7, f(b)=0.

Вариант 2. Запишите наибольшее и наименьшее значения функции f, непрерывной на отрезке  [a;b], если известно, что на этом отрезке  fmin= -3; fmax=0,   fmin= -2,    f(a)= 5, f(b)=1.

5. Самостоятельная работа 1  (СО) (карточки - задания)

Карточка - задания №1:

Вариант 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции g(x) =1-4x+x2 на отрезке   [0;4].

П л а н   р е ш е н и я:

1) Найдите производную функции  g.

2) Найдите критические точки функции.

3) Вычислите значения функции на концах отрезка и в критических точках.

4) Среди найденнных значений функций выберите наибольшее и наименьшее.

5) Запишите ответ.

Карточка - задания №2:

Вариант 2.   Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) =x3/3-x2+1 на отрезке   [-1;1].

П л а н   р е ш е н и я:

1) Найдите производную функции  f.

2) Найдите критические точки функции.

3) Вычислите значения функции на концах отрезка и в критических точках.

4) Выберите из найденнных значений функций  наибольшее и наименьшее.

5) Запишите ответ.

Карточка — задания №3:

Вариант 3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции g(x) = x3/3+x2+1  на отрезке   [-3;1].

П л а н   р е ш е н и я:

1) Найдите критические точки функции.

2) Вычислите значения функции на концах отрезка и в критических точках.

3) Среди найденнных значений функций выберите наибольшее и наименьшее.

4) Запишите ответ.

Карточка — задания №4:

Вариант 4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции t(x) = x3- 2x2 - 4x+2  на отрезке   [-1;1].

П л а н   р е ш е н и я:

1) Найдите критические точки функции.

2) Вычислите значения функции на концах отрезка и в критических точках.

3) Среди найденнных значений функций выберите наибольшее и наименьшее.

4) Запишите ответ.

6. Самостоятельная работа 2 (СК)

Карточка- задания №1:

Вариант 1. Определите наибольшее и наименьшее значения функции у= 4х-х2 на отрезке  [-1;6].

Варианты ответа:  а)    min y(x)= -12,  max y(x)= -5;    б) min y(x)= 0,  max y(x)= 4;

                                        [-1;6]                        [-1;6]                               [-1;6]                    [-1;6]

в)  min y(x)= -12,  max y(x)= 4

    [-1;6]                         [-1;6]  

Карточка — задания №2:

Вариант 2. Определите наибольшее и наименьшее значения функции у= х2-2х на отрезке  [1/2;4].

Варианты ответа:  а)    min y(x)= -1,  max y(x)= -3/4;    б) min y(x)= -1,  max y(x)= 8;

                                        [1/2;4]                    [1/2;4]                                [1/2;4]                  [1/2;4]

в)  min y(x)= -3/4,  max y(x)= -1

    [1/2;4]                         [1/2;4]

Карточка — задания №3:

Вариант 3. Определите наибольшее и наименьшее значения функции у= х3- 3х2 на отрезке  [-2;2].

Варианты ответа:  а)    min y(x)= -4,  max y(x)= 0;    б) min y(x)= -20,  max y(x)= 0;

                                        [-2;2]                   [-2;2]                    [-2;2]                 [-2;2]

в)  min y(x)= -32,    max y(x)= 0

      [-2;2]                   [-2;2]

Карточка — задания №4:

Вариант 4. Определите наибольшее и наименьшее значения функции у= 2х3- 3х2 +5 на отрезке  [-1;3].

Варианты ответа:  а)    min y(x)= 0,  max y(x)= 32;    б) min y(x)= 4,  max y(x)= 5;

                                       [-1;3]             [-1;3]                       [-1;3]             [-1;3]

в)  min y(x)= 0,    max y(x)= 5

     [-1;3]                [-1;3]

7.  Итог урока.