Квадратные уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида                                                        ax 2 + bx + c = 0,

 где a, b, c – заданные числа , a ≠ 0, x – неизвестное

Коэффициенты квадратного уравнения обычно называют: a – первым или старшим коэффициентом,  b – вторым коэффициентом, c – свободным членом.

Пример:    4x2 – 6x+ 8  = 0 квадратное уравнение

   a =4 , b = - 6 , c = 8

Теорема: Уравнение x2 = d , где d > 0 , имеет два корня:  

               x 1 = √d ,                 x 2 = - √d 

Решить уравнение:

1. x2 = 49                                 2)  x2 = 5

           x 1,2 = ± √49                               x 1,2 = ± √5

           x 1,2 = ± 7                                

Ответ:           x 1,2 = ±  7         Ответ:           x 1,2 = ± √5

Если d • 0 , то уравнение x2 = d не имеет действительных корней

Неполные квадратные уравнения

Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0   называют неполным, если хотя бы один из коэффициентов b или c  равен нулю. Неполное квадратное уравнение вида:

ax 2 = 0,

ax 2 + c = 0, c ≠ 0

ax 2 + bx = 0, b ≠ 0, коэффициент a ≠ 0 во всех уравнениях

Решить уравнение:

1. 10x2 = 0 | : 10

x2 = 0

x = 0

Ответ:           x = 0

2. 9x2 = 81 | : 9

x2 = 9

x 1,2  = ±√ 9

x 1,2  = ± 3

Ответ:           x 1,2  = ± 3

3. 5x2 - 125 = 0 | : 5

x2  - 25  = 0

x2  = 25  

x 1,2  = ± √ 25

x 1,2  = ± 5

Ответ:           x 1,2 = ± 5

4. 3x2 + 8  = 0

     3x2 = -  8  | : 3

x2 = - 8

         3          корней нет, т.к. x2 • 0 для любого                                                                                                                    действительного числа

Ответ:           корней нет

5. x2 – 8 x = 0

      x ( x – 8 ) = 0

x = 0  или   x  - 8 = 0

                   x = 8

Ответ:           x1 = 0, x2 = 8

6. 81x2 – 1 = 0

      81x2 = 1 | : 81

x2  = 1

       81

x 1,2  = ± √1

               √81

x 1,2 = ± 1

                   9        Ответ:           x 1,2 = ± 1

                                     9

7. 16 – 25 x2  = 0

   - 25x2 = - 16 | : ( -25)

x2  = 16

        25

x 1,2  = ± √16 

               √25

x 1,2 = ± 4

              5

Ответ:           x 1,2 = ± 4

                                      5