Применение скалярного произведения векторов для решения уравнений
творческая работа учащихся по алгебре (11 класс) по теме

Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №24 г.о.Тольятти

Применение скалярного произведения векторов для решения уравнений и систем

Тольятти  2008

Учебно-тренировочное пособие по математике.  Содержит 14 уравнений и систем . Предназначено  для учащихся 9-11 классов для подготовки к аттестации и олимпиадам.

Автор: Воробьёва С.В.

Соавтор: Мазуркевич А.А.

Рецензент: Бенидзе Н.В.

Введение

Известный немецкий математик Курант писал: «На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики входило необходимой составной частью в интеллектуальный инвентарь каждого образованного человека». И среди этих знаний было умение решать уравнения.

Многие математические задачи допускают несколько вариантов решения .Часто первый избранный бывает далеко не самым удачным. Нахождение наиболее простых , оригинальных путей решения нередко является результатом кропотливой работы. Умение решать задачу различными способами является одним из признаков хорошей математической подготовки.

В своей работе  мы  рассматривали  нестандартный способ решения уравнений и  систем уравнений с помощью векторного метода, применение которого в большинстве школьных учебников не рассматривается. Однако  векторы могут быть успешно применены не только в геометрии, но и при изучении некоторых вопросов школьной алгебры. Довольно большое число задач существенно упрощается по сравнению с решениями, выполненными традиционным путем, а в некоторых случаях, особенно, когда много переменных, только такой подход и приводит к успеху.

Главная идея:  Облегчить работу при решении задач, сделать решение более доступным.

Цель нашей  работы – ознакомиться с данным методом и показать его эффективность  при решении уравнений, систем уравнений.

Задачи: 

Научиться узнавать задачи, решаемые  векторным методом.

Использовать знания программного материала о векторах, научиться переводить данные и требования задачи с языка алгебры на язык векторов, а именно: найти координаты векторов, их длины и скалярное произведение, выполнять преобразования векторных выражений, переводить полученные результаты с языка векторов на алгебраический язык.

Научиться исследовать полученное задание.

Работа будет полезна выпускникам школы при подготовке к олимпиадам, конкурсам и итоговой аттестации.

Применение скалярного произведения векторов для решения уравнений и систем

Как мы знаем, величины, которые характеризуются не только численным значением (скаляром),  но и направлением называются векторными величинами или просто векторами.

Название вектора произошло от латинского слова  vector (везущий, несущий). Геометрическим образом вектора является направленный отрезок. Вектор обозначается двумя заглавными буквами или одной  прописной буквой латинского алфавита со стрелкой или черточкой наверху (,,…) Порядок букв обязателен (в данном случае точка А – начало, а В – конец вектора). Длиной (или модулем) вектора называют длину отрезка, изображающего его и обозначают ││.  Ее можно выразить через координаты вектора   (х, у), то есть  ││= (или  (х, у, z),   ││=). Длина любого вектора – число положительное, а длина нулевого вектора равна нулю.

Два ненулевых вектора, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой, называются коллинеарными. ↑↓, ↑↑- коллинеарны,то есть

они противонаправлены или сонаправлены. Для коллинеарности вектора ненулевому вектору необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число λ, что = λ, где λ=.Отсюда следует условие коллинеарности векторов   (х, у)  и (х, у) 

                                              х= λ х

на плоскости: ||      у= λ у           или    

 и векторов        (х, у, z) и (х, у, z)

                                                  х= λ х

 в пространстве   ||      у= λ у   

                                                  z= λz

или       =                                             

Сумму двух векторов  и  можно найти по правилу треугольника или по правилу параллелограмма. В нашей работе мы воспользуемся правилом треугольника.  Найдём сумму векторов  и :     + =.

В треугольнике АВС имеет место неравенство: АС ≤  АВ + ВС(неравенство треугольника)

 Но АВ=| |  ,  ВС=|| ,  АС= │+ | отсюда  получаем векторное неравенство                      │+ | ≤ | |  + ||

  Знак     равенства достигается тогда и только тогда, когда векторы  и  сонаправлены, то есть когда отношения их соответственных координат

равны между собой и равны отношению их длин (модулей).

Заметим, что сложение векторов можно производить и в координатной форме, то есть       (х1,у1) +  (х2 , у2 ) = + ( х1 + х2 , у1+ у2 ) ( на плоскости) или ( х1, у1, z1)  +  ( х2 , у2 , z2) = + ( х1+ х2 , у1+ у2, z1+ z2 )

 ( в пространстве)

Далее вспомним о скалярном произведении двух векторов. В общем случае скалярным произведением векторов  и  называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, то есть                        ∙  = ││∙ ││∙ cos (,) .  Учитывая то, что cos(,) ≤ 1,  приходим к известному неравенству о скалярном произведении ∙ ≤││∙ ││, то есть  скалярное произведение векторов не больше произведения их длин.

Заметим, что знак равенства достигается тогда и только тогда, когда              cos(,) = 1 , то есть   ,= o,   и, следовательно, ↑↑, значит они  коллинеарны. Коллинеарность векторов (а также ее отсутствие) легко переводится на привычные алгебраические соотношения. А именно: коллинеарность векторов равносильна пропорциональности соответственных координат этих векторов. Также скалярное произведение  на плоскости векторов  (х, у)  и (х, у) можно выразить в координатной форме, а именно: ∙ = х х+ у у

( соответственно в пространстве  ∙= х х+ у у+zz)

Еще из скалярного произведения  ∙= ││∙ ││∙ cos(,) вытекают соотношения         (∙)2 = ││2  ∙ ││2  ∙ cos2(,),

          -││∙ ││ ≤   ∙  ≤ ││∙ ││

Причем, знак равенства достигается тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны. Значит,если   ↑↑, то       ∙= ││∙ ││;                                         если  ↑↓,  то    ∙ = - ││∙ ││.    

Как распознать уравнение, которое можно решить векторным методом?

Если уравнение содержит алгебраическое выражение вида  

 или  - то это длина некоторого вектора (х,у) на плоскости или (х,у,z) в пространстве. Возможны ситуации, как например: х, то  можно рассматривать вектор (х,у,z), длина которого равна .  

Если уравнение содержит алгебраическое  выражение вида  

 х1 ∙ х2  +  у1 ∙ у2 ( х1 ∙ х2  + у1 ∙ у2 + z1 ∙ z2), то его   можно считать скалярным

 произведением векторов  и  на плоскости (в пространстве).

Если  левую часть  уравнения  можно представить скалярным

 произведением  некоторых  векторов, а правую  часть -  произведением их длин.

 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ и СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Решить уравнение:

2.

Конечно, это уравнение можно решить традиционным способом

( например, двойным возведением обеих частей уравнения в квадрат), мы же на примере этого простого уравнения покажем алгоритм применения метода векторов.

Обозначим векторы: (2;1) и (). Тогда ||=,

||=

Скалярное произведение векторов =2 (по условию)

и =||||сos =  сos=5 сos.  Приравниваем правые части, получаем:  5 сos=5, откуда сos0=1, т.е =0 , значит векторы  и  коллинеарны, значит их одноимённые координаты пропорциональны:

; или 2, отсюда, после возведения в квадрат, получаем:4(х+1)=4-х, 4х+4=4- х, 5х=15, х=3. Сделав проверку, убеждаемся, что х=3 – корень уравнения.

Решить уравнение с двумя неизвестными:

Обозначим векторы: (1;. Найдём длины этих векторов:  ||=;    ||=

Запишем скалярное произведение этих векторов:

=1; и =  |||| сos=33 сos

Получили, что 9 сos=9, отсюда сos=1, =0, значит векторы коллинеарны,значит их одноимённые координаты пропорциональны:

;

           3+2х=х(2-у)           ху=- 3    

                                  6-3х=х(6+у)           6-9х=хy                              

      y=-3

      x=1                    

Проверкой убеждаемся, что (1; - 3) – решение уравнения.

3.Решить уравнение

          2 – х   =  

       ОДЗ:     1–2х  ≥  0;            

                      2х+9 ≥  0.

4,5 ≤ х ≤ 0,5  или  х      [-4,5 ; 0,5]          

Если попробовать возвести в квадрат, то придём к виду:

4 (1 – 2х) + х2 (2х + 9) – 10 (х2 + 4) = 4х  ∙ ,

2х3 –  х2   – 8х – 36 =  4х  ∙.

Возводя еще раз мы придем к многочлену, где будет  и   х6 , и  х5    и т.д. 

т.е явно задача намного усложнилась.

Попробуем использовать векторный метод

 введем векторы     (  ; )      (2;-х)

   находим их скалярное произведение

   =  2 – х  = ( по условию)

 вычислим длины   и  ,  и их произведение

    ││ =  =    ,    ││=   =   ;

     ││∙ ││ =  ∙  =   .

 Получили: ∙  = ││∙ ││, то есть сos=1, =0, значит векторы коллинеарны,значит их одноимённые координаты пропорциональны:

7

 =     х2(1-2х) = 4(2х + 9) ,

2х3 – х2 + 8х + 36  = 0.  Первый корень найдём подбором:  х = - 2.Далее по схеме Горнера:

       2   -1   8   36

-2   2   -5   18  0         уравнение  2х2 - 5х + 18 = 0 не имеет решений, т.к. D < 0.

х = -2 удовлетворяет ОДЗ  

Ответ: -2

Решить уравнение

х +   =  2  

ОДЗ :  - 1  ≤  х  ≤ 3. Рассмотрим векторы   (; ) и  (х;1).

Найдём их длины:     ││=;   ││=

Скалярное произведение векторов: = х + 1= 2 ( по условию), в то же время =││││ сos= 2  сos. Приравнивая правые части, получаем 2  сos=2 , сos=1, =0, значит векторы коллинеарны, значит их одноимённые координаты пропорциональны:

 =  , при х>0   получаем:   х3 – 3х2  + х  + 1  = 0. Замечаем, что

 х = 1 корень этого уравнения. Далее по схеме Горнера имеем:            

    1  -3  1  1

1  1  -2  -1  0       Квадратное уравнение х-2х -1 =0 имеет два корня: х=1±.

Но х=1- не удовлетворяет условию х>0.   Проверкой убеждаемся, что  х=1, и х=1+  являются корнями данного уравнения.

Ответ:   1; 1+

Решите  уравнение

 +  = 5

Преобразуем подкоренные выражения:

, или: . Если уравнение содержит алгебраическое выражение вида  

 или  - то это длина некоторого вектора (х,у) на плоскости или (х,у,z) в пространстве. Возможны ситуации, как например: х, то  можно рассматривать вектор (х,у,z), длина которого равна .  

 Так как под каждым корнем сумма квадратов, то естественно предположить, что первый  корень – длина вектора  (х-1; 1), второй корень- длина вектора

(5-х;2).Намеренно координаты вектора  берём не (x-5;2), а (5-x;2). Известно, что (x-5)= (5-x), но для нахождения суммы векторов нам выгодно взять вектор (5-х;2). Тогда в левой части данного уравнения имеем: ││+││=5(по условию).А сейчас сложим векторы по формуле (х1,у1) +  (х2 , у2 ) = + ( х1 + х2 , у1+ у2 ): у нас (х-1; 1) +(5-х; 2) = (+)(x-1+5-x;1+2)=(+)(4;3). Найдём модуль этой суммы векторов: │+ │=.Получили, что ││+││=│ + │=5. В векторном неравенстве ││+││≥│ + │ знак равенства достигается тогда и только тогда, если векторы сонаправлены, т.е коллинеарны, значит в нашем случае составляем пропорцию из одноимённых координат: =

Применим основное свойство пропорции (произведение крайних её членов равно произведению средних) получаем уравнение

2x-2=5-x

3x=7

Отсюда х=.

Проверка: подставляем  х= в исходное уравнение, получаем

=

 =  =  

Ответ:

6. Решите систему уравнений

х  +  у   =  2

х2  + у2  = 4

     ОДЗ: у  ≥ 1 и х ≥ 1.  Введем векторы  (х,у),    ( ; ).Левая часть первого уравнения системы является скалярным произведением векторов   и , т.е =х +  у    Определим длины этих векторов и их произведения:

││= ,  ││=  ;  ││∙││= ∙.

Из второго неравенства системы 2=, тогда ││∙││=2.

Получили: =││∙││. Известно, что знак равенства в векторном неравенстве ≤││∙││ достигается тогда, когда векторы коллинеарны, т.е:

=

х2  + у2  = 4         т.е   х = у =

Ответ:  (

7. Решите систему уравнений

4х2 + 25у2  + 9z2  = 1

х– 5у + z  =

Если представить первое уравнение системы в виде: (2х)2  +  (5у)2  +  (3z)2 = 1, то получим сумму квадратов трёх чисел, а значит эту сумму можно представить как квадрат длины вектора, координаты которого и есть эти числа, т.е (2х; 5у; 3z) Теперь определим, какие координаты (b должны быть у вектора . Явно, левая часть второго уравнения не может быть представлена  как квадрат длины второго вектора, попробуем её представить в виде скалярного произведения векторов  и , , т.е = 2xb+5yb+3zb

И = х– 5у + z  = , тогда 2b=1; 5b=-5; 3b=1, отсюда координаты вектора (). Длина вектора ││=

││∙││=1∙=     и   =. Таким образом = ││∙││, вектора коллинеарны, их координаты пропорцинальны

==, т.е.   4х = -5у = 9z ,  откуда  у= -  , z=.

Эти значения подставляем во второе уравнение системы

Ответ:   (;  - ; )

8. Решите систему уравнений

х – 2у + 32 = 15

х2  + у2  +  z2  = 16

Рассуждаем аналогично предыдущему заданию. Пусть   (х, у, z),    (1,-2,3).  Тогда   =  х – 2у + 3z = 15 ( согласно условия);  ││=  = = 4 ( по условию).

││=  =  ;    ││∙ ││= 4 ∙    ∙  >││∙ ││,

т.е 15>4 ∙  что невозможно.

Ответ:  система не имеет решений.

9. Решите систему уравнений

36 х2   +  9 у4   +  4 z6  = 1

х + у2  +  z3  =  

Пусть    (6х; 3у2;  2z3),   (;  ; ).   Тогда    ∙ =  ;

││=  1,  ││ =     ∙  >││∙ ││, что невозможно.

Ответ:  система несовместна

10. Решите систему уравнений

3х + 4у = 26

 +  = 10

Решение. «Поработаем» с левой частью второго  уравнения системы:

 +  = 10. Пусть (х-2; у+1), (10-х; 5-у)

││=  , ││=. Находим координаты суммы векторов    и  и ее длину   +  = (8;6),  │ + │ = 10.  В соответствии с

векторным неравенством   +  ≥ │+│, равенство достигается, когда  

↑↑. Значит         =    3х – 4у = 10.  Теперь с учетом первого уравнения системы имеем:     3х – 4у = 10

             3х + 4у = 26. Отсюда  х = 6,  у = 2,

Ответ:  (6;2)  

11. Решите систему уравнений.

х+у+z=1

x-2y+3z=

Рассмотрим векторы ( x; y; z)  и (1; -2; 3). Найдём их длины:

││==1,  ││==

Скалярное произведение векторов  = x-2y+3z=

││││=, получили:. >, что противоречит векторному неравенству ∙≤││∙││, следовательно система не имеет решений.

12. Решите систему уравнений

х+у+z =3

Рассмотрим векторы

Из первого уравнения следует равенство ∙=3, из второго уравнения следует =3, из третьего следует =3. Так как ∙=, то =, значит у=х=z. Аналогично ∙=, следовательно = и у=х=z=1

Ответ: (1; 1; 1)

13. Решить систему уравнений

+ + … +  = 100 ∙

+ + … +  = 100 ∙

 У первого уравнения 100 слагаемых и их сумма равна 100 ∙ .

Значит все слагаемые равны и  = .  У второго уравнения также 100 слагаемых, и их сумма равна 100 ∙ , значит все слагаемые равны и  = .       Решая систему их двух уравнений, найдём х:

 =               1+х = 1+

 =                1-х = 1-        т.е 2х = ;  х=

Докажем, что данный корень единственный. Попробуем это сделать с помощью векторного метода. По условию n = 1, 2, …,100. Рассмотрим вектор = (;). Длина каждого из векторов равна   .

Пусть   По правилу сложения векторов и условия задания, вектор  имеет координаты  (100 ∙  ; 100 ∙ ). Длина ││=.

Получили, что │ | = ||  + || +…+|| Поэтому эти векторы коллинеарны (сонаправлены). А так как их длины равны, то они равны между собой. Поэтому х1 = х2 =…..=х100  =  .  

Решить тригонометрическое уравнение

Sinx - cosx =1

Его можно решить разными способами:

Методом вспомогательного аргумента

2(sinx - cosx)=1

-2( cosxcos-sinxsin) = 1

cos(x+) = -

x+ = +

x= - +

получаем два семейства корней : х = -  +=

                                                          х = -  - = - , n

ответ: ,   - , n

С помощью формул универсальной подстановки:  

 sinx = ;            сosx =     подставляем в уравнение Sinx - cosx =1,

 получаем:    -  = 1

обозначим tg= a,  тогда

или  a.     откуда получаем:  a=1,    a

тогда tg= 1 или   tg= - (2+)

получаем корни:  х = ,  

  х=  - 2arktg(2+) +2   или х=- , n

Ответ: ;      - , n

С помощью формул двойного угла:

  sinx = 2sincos.     cosx = cos - sin подставляем в уравнение Sinx - cosx =1,

получаем: 2sincos - ( cos - sin ) = 1

или: 2sincos -  cos (+1) + sin(-1) = 0.     получили  однородное уравнение, разделим обе части уравнения на cos0,  тогда:

 tg(-1) + 2 tg - (+1) = 0

тогда tg= 1 или   tg= - (2+)

получаем корни:  х = ,  

  х=  - 2arktg(2+) +2   или х=- , n

Ответ: ;      - , n

Векторным методом:

Sinx - cosx =1

Разделим обе части уравнения на 2 и запишем уравнение в таком виде:

-  cosx +  Sinx =

Обозначим векторы:  ( cosx; Sinx)   и   ( - ; )

Найдём их длины:   | | =  

                                   | | =

найдём скалярное произведение векторов:

= -  cosx +  Sinx = ( по условию)

 =   | | | |cos = 1 = cos.   Приравниваем правые части, получаем:

cos= ,  т.е угол между векторами равен  

Отложим в прямоугольной системе координат вектор ( - ; )

Так как вектор ( - ; ) образует с осью абсцисс угол

вектор  получается поворотом на  вектора  по часовой стрелке или против нее.  Поэтому  х = ,  и х = - , n

Ответ: ;      - , n

Заключение

       Примененный нами векторный метод показывает новый, нетрадиционный подход к решению уравнений, что решение  довольно большого числа примеров на решение уравнений  и  систем уравнений существенно упрощается по сравнению с решениями, выполненными традиционным путем, а в некоторых случаях, особенно, когда много переменных, только такой подход и приводит к успеху. Кроме того, векторы позволяют «сжать» информацию, сделать ее наглядной и оперативной, и тем самым способствуют поиску путей решения математических заданий.

Список литературы

Гальперин И.М, Габович И.Г «Использование векторного неравенства Коши-Буняковского для решения задач по алгебре»  

М.,«Педагогика» Математика в школе №2 1991г

С.А.Литвинова и др. «За страницами учебника математики» Издательство «Панорама» 2006

В.И.Рыжик «25000 уроков математики», М., Просвещение,  1993г.