Элективный курс по математике.
элективный курс по алгебре (9 класс) по теме

                  Элективный курс по математике

                                  9 класс

                    Основные

                               вопросы

                                            математики

                                        Учитель:

                                                  Овчинникова Е.П.

  ОСНОВНЫЕ  ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ

Пояснительная записка

Создание профильных классов становится объективной необходимостью, которая обусловлена развитием общества, системы общественных отношений, влияющих на образование и требующих от него быстрого и адекватного ответа на задачи, поставленные на новом этапе исторического развития страны. Основной целью обучения в предпрофильной школе является развитие личности ребенка, распознавание и раскрытие его способностей, что в дальнейшем поможет сделать осознанный и правильный выбор профиля обучения в старшей школе.

Данная программа ориентирована на учащихся 9-х классов, которые в 10-11 классах выберут профиль, связанный с математикой. Она рассчитана на обучающихся, которые в 5-6-х классах занимались по учебнику Н. Я. Виленкина, а в 7-9 классах - по учебнику под редакцией С. А. Теляковского. Этот курс строится по программе повышенного уровня изучения данного предмета и помогает учащимся в подготовке к ЕГЭ, где предъявляются более высокие требования к математической подготовке школьников. Для успешной сдачи выпускных и вступительных экзаменов в вуз необходимо уметь решать линейные и квадратные уравнения, линейные неравенства и неравенства второй степени с одной неизвестной, а также освоить метод интервалов решения неравенств, строить графики линейных и квадратичных функций.

Выбор материала обусловлен тем, что решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля или параметр, - лишь вскользь вспоминается на уроках в неспециализированных классах, а в программе упоминается на уровне определения модуля и решения простейших уравнений. Тем не менее, эта тема является благодатной с точки зрения освоения графических приемов решения поставленных задач как

равноправных с аналитическими методами, и она обладает при этом хорошей наглядностью. Кроме того, данная тема развивает математическую культуру, логическое и альтернативное мышление - учащимся приходится столкнуться с задачами, для решения которых необходимо рассматривать несколько возможных вариантов. При решении уравнений и неравенств с модулями приходится рассматривать случаи, когда выражения, стоящие под знаком модуля, положительны (или равны нулю) и когда они отрицательны. Только после проработки всех возможных вариантов и их исследования, находится нужное решение. Решение уравнений  с параметром даются по увеличению сложности, рассмотрен алгоритм выполнения таких заданий.

  Цели курса:

0. формирование и развитие у учащихся оценки своего потен
   циала с точки зрения образовательной перспективы; уточнение
   готовности и способности осваивать математику на повышенном
   уровне;
1. развитие интеллектуальных и практических умений в об
   ласти решения уравнений, неравенств, построения графиков, со
   держащих модуль;
2. выработка умения самостоятельно приобретать и приме
   нять знания в различных ситуациях;
3. развитие творческих способностей;
4. совершенствование коммуникативных навыков, которые
   способствуют развитию умений работать в группе, аргументиро
   вать и отстаивать свою точку зрения и уметь слушать другого.

В процессе обучения учащиеся приобретают следующие умения:

5. решать уравнения, содержащие один, два, три модуля;
6. решать неравенства, содержащие модуль;
7. строить графики функций, содержащих модуль;
8. познакомить учащихся с видами уравнений с параметром;
9. интерпретировать результаты своей деятельности;
10. делать выводы;
11. обсуждать результаты.

Перечисленные умения формируются на основе знаний о модуле (определения, свойств модуля), о влиянии модуля на распо-

ложение графиков функций на координатной плоскости, влиянии модуля при решении уравнений и неравенств.

Темы «Решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля» представляется особенно актуальным, так как вооружает учащихся знаниями по теме «Модуль», необходимыми для дальнейшего изучения математики.

Содержание курса предполагает самостоятельную подготовку учащихся: работу с разными источниками информации (справочные пособия, учебная литература, Интернет, другие ресурсы). Содержание каждой темы курса включает в себя самостоятельную (индивидуальную, групповую, коллективную) работу учащихся, что позволяет формировать навыки коллективной работы, работы в группах разного уровня, развивать коммуникативные способности.

Учебно-тематический план

Содержание курса

Тема 1 Понятие модуль. Решение уравнений, содержащих знак модуля (5 часов).

Понятие модуля, его геометрическая интерпретация. Решение уравнений со знаком модуля алгебраическим способом. Метод интервалов.

Основная цель - ознакомить учащихся со способами решения уравнений со знаком модуля, выработать умение решать уравнения, содержащие один, два, три модуля.

Данная тема является наиболее важной в указанном курсе. Формы занятий: установочная лекция, практические занятия, в завершении - практикум решения уравнений.

Практические занятия следует проводить, используя как коллективную форму обучения, так и индивидуальную. На практических занятиях надо рассматривать решения уравнений, начиная с простых и заканчивая уравнениями, содержащими несколько модулей, используя метод интервалов.

Самостоятельная работа позволит учителю проверить степень усвоения данной темы.

Занятия 1, 2, 3, 4,5.

1) Геометрический смысл модуля и его применение к решению уравнений.

Модуль числа а есть расстояние от нуля до точки а.

(

а, если > О - а, если < О

Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками числовой (координатной) прямой, соответствующими этим числам. Так, а - b есть расстояние между точками а и b числовой прямой; а = а-0\ - расстояние между точками а и 0; \a + b\ = \a-(-b)\ - расстояние между точками а и -Ь числовой прямой.

Решить уравнение x-b\- a - значит, найти все точки х числовой оси, расстояние от каждой из которых до числа b равно а. Понятно, что

если <з > 0 , то х-Ь = ±а;

если а = 0, то х = b ;

если а < 0 , то решений нет.

Пример 1. Решить уравнение х — 7 =4.

Расстояние от точки х до точки 7 равно 4. Таких точек две: х = 11 и х = 3. Другими словами, так как 4>0, то х - 7 = ±4, т. е. Xj = 11 и

х2=3.

Ответ: х\ = 11 и х2 = 3.

Тема2. Построение графиков функций, содержащих знак модуля (4 часа)

Понятие графика функций, содержащих модуль. Виды графиков

функций: у = |/(х)|, у = /(|х|), j; = |/(|х|)|, \у\ = /(х), их свойства.

Основная цель - ознакомить учащихся с основными приёмами построения графиков функций, содержащих модуль, их свойствами. Привлечь внимание к эстетической стороне данного вида деятельности.

Построение графиков функций различных видов и исследование их свойств. Рациональные способы их построения.

Занятия 6, 7,8,9.

Модуль - это целый мир геометрических образов, простых и понятных, часто очень красивых и запоминающихся.

Геометрическая интерпретация удобна и доступна для понимания подавляющего большинства учащихся, так как с её использованием алгебраическая задача перестает быть абстрактной и отвлеченной, а найденные решения в процессе их поиска становятся частью опыта учащихся. Геометрический образ откладывается в сознании учащихся и легко может быть актуализирован в аналогичной или даже незнакомой ситуации. Таким образом, формируется геометрическое мышление, т. е. развивается умение оперировать различными геометрическими объектами, интерпретировать алгебраические задачи геометрически.

Тема изучается в форме лекции и практических занятий.

Из содержания лекции учащиеся на базовом уровне повторяют графики элементарных функций, а затем рассматривают влияние модуля на расположение графиков на координатной плоскости. Обращается внимание на необходимость этих графиков, их симметричность, красоту.

На практических занятиях рекомендуется работа в парах. Каждая пара получает набор карточек с функциями. Работая над построением графиков, каждая пара продумывает рациональные способы построения графиков, свойства каждого типа функции, делает выводы.

Завершающим этапом планируется практическая работа. Цель работы - построение графиков функций различных видов.

.

Тема 3. Графическая интерпретация решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля (2 часа)

Решение уравнений со знаком модуля графическим способом.

Основная цель - ознакомить учащихся с графическим способом решения уравнений, сформировать умение интерпретировать с помощью графиков ответы на вопросы о количестве корней, приближенные значения корней.

Тема 4. Решение неравенств с модулем (3 часа)

Неравенства с модулем. Способы их решения.

Основная цель - сформировать умение решать неравенства, содержащие знак абсолютной величины, используя оба метода: алгебраический и геометрический.

Тема излагается без рассмотрения теоретического материала путём проведения практических занятий, решения конкретных неравенств, а затем делают выводы. В завершении – практикум решения различных видов неравенств.

Тема 5. Линейные уравнения с параметрами (4часа).

Прежде, чем ввести понятие «параметры», учащимся необходимо напомнить роль букв в алгебре, обратить внимание ребят на то, что за буквой скрывается число.

Предлагаем учащимся задания, в которых надо выразить одну переменную через другую. К этим заданиям надо возвращаться постоянно, особенно в 7-м классе, поскольку умение выражать одну переменную через другую очень пригодится при решении задач по физике, где требуется сначала составить буквенное выражение и только затем подставить численные значения.

 Повторить на простых примерах, что такое уравнение.

Тема 6. Решение квадратных уравнений с параметрами (8часов).

Рис. 1.

2. В зависимости от величины дискриминанта D = Ь2-4ас) возможны различные случаи расположения параболы по отношению к оси абсцисс Ох:

• при D > О существуют две различные точки пересечения параболы с осью Ох (два различных действительных корня трехчлена);

X

б)

Рис. 2.

• при D = 0 эти точки совпадают (случай кратного корня);

• при D < 0 точек пересечения с осью Ох нет (действительных

корней нет);

• в последнем случае, если а > О, график параболы целиком лежит выше оси Ох (рис. 2а), а если а < О - целиком ниже оси Ох (рис. 26).

3. Координаты вершины параболы определяются формулами:

Тема 7. Графический способ решения уравнений с параметрами(3часа).

Графический способ определения числа корней уравнения в зависимости от входящего в него параметра является более удобным, чем аналитический.

Тема 8. Итоговое занятие (2 часа)

Контрольная работа - 1 час. Она представлена в восьми вариантах (различный уровень сложности) в конце программы с ответами. Оценка - «зачтено», «не зачтено».

На заключительном занятии подводятся итоги изучения элективного курса «Основные вопросы математики».

 Защита проектов по теме «Модули».

Литература

Для учителя:

1. Гайдуков И. И. Абсолютная величина. М.: Просвещение,
   1968.
2. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справоч
   ное пособие / Ред. В. В. Вавилов, И. И. Мельников, С. Н. Олехник,
   П. И. Пасиченко. М.: Наука, 1987.
3. Математика (газета). 2004. №№ 20, 25-26, 27-28, 33, 44.
4. Ткачук В. В. Математика абитуриенту. М.: МЦНМО, 2003.
5. Математика в школ». 2001. № 8; 2002. № 8.

Для учащихся:

1. Практикум по решению математических задач / В. Н. Лит-
   виненко, А. Г. Мордкович. М.: Просвещение, 1984.
2. Сборник задач по алгебре: 8-9 класс / Под ред. М. Л. Га-
   лицкого. М.: Просвещение, 1999.