Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

Тема урока:

Формула суммы  членов конечной геометрической прогрессии.

Цели: Вывести формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии; выработать навыки нахождения суммы  членов конечной геометрической прогрессии, используя задачи с необычными сюжетами, показать применение алгебры в практической жизни, развивать интерес к истории Отечества на материале урока, воспитание нравственного отношения человека к человеку.

Оформление доски: портрет Я.И. Перельмана, девиз урока «Творческим считается любое действие, которое … вызывает удивление» (Дж. Брунер).

Ход урока:

1.  Орг. момент: В декабре этого года исполняется 130 лет со дня рождения великого популяризатора науки Я.И. Перельмана, с задачами которого мы уже с вами знакомы. Они необычны, интересны, поучительны. Ученицы нашего класса Гавриленко А. и Агалакова А.    подготовили небольшую презентацию о жизни и творчестве Якова Перельмана.

(презентация)

2.  Объяснение нового материала:

     Учитель: Однажды незнакомец постучал в окно к богатому купцу и предложил такую сделку: «Я буду ежедневно в течение 30 дней приносить тебе по 100 000 руб. А ты мне в первый день за 100 000 руб. дашь 1 копейку, а во второй день  за 100 000 руб.- 2 копейки, и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число денег в два раза. Если тебе выгодна сделка, то с завтрашнего дня начнем».

      Купец обрадовался такой удаче. Он подсчитал, что за 30 дней получит от незнакомца

3 000 000 руб. На следующий день пошли к нотариусу и узаконили сделку.

Вопрос:  Кто в этой сделке проиграл: купец или незнакомец?

Учащиеся предлагают записать геометрическую прогрессию и найти сумму 30 –ти первых ее членов.

( bn): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, …,где b1= 1, g = 2, n = 30.

Вопрос: Можно ли решить эту задачу более рациональным способом?

Ответ учащегося: Да, если будем знать формулу суммы  членов конечной геометрической прогрессии.

 Объявляется тема урока и его цели.

Вывод формулы суммы членов конечной геометрической прогрессии проводился по учебнику «Алгебра» А.Г. Мордковича.

                   Sn = , g≠1    (1)                   Sn = ,   g≠1    (2)  

Учитель: вернемся к нашей задаче

      S30 =  = 230 – 1= (25)6 – 1= 1073741823 (коп.) = 10 737 418,23 (руб.).

Ответ очевиден.    

3. Закрепление изученного материала на задачах  из «Занимательной алгебры»

    Я.И. Перельмана.

За маленьким погнался – большое потерял 

(пословица)

Задача:  «Покупка лошади»

  В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу, которую привожу здесь, не сохраняя языка подлинника:

   Некто продал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:

- Нет мне расчета, покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.

Тогда продавец предложил другие условия:

- Если по – твоему цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего  коп., за второй -  коп., за третий – 1 коп. и т.д.

Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 руб.

На сколько покупатель проторговался?

Решение:   рассмотрим  геометрическую прогрессию bn, где b1=  , g= 2, n = 24. Воспользуемся формулой нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии

         Sn = ,   g≠1.

Сумма эта равна  

       S24 =  =  = 2-2(224 – 1) = 4194303(коп), т.е. около 42 тыс. руб.

При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

Не жаль нам жизни, да жаль Отчизны

(пословица)

Смысл пословицы станет вам понятен после того, как вы решите задачу.

Задача:  «Вознаграждение воина»

Из другого старинного русского учебника математики, носящего пространное заглавие:

«Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык – Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике» (1795), заимствую следующую задачу:

«Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую – 2 копейки, за третью – 4 копейки и т.д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 коп. Спрашивается число его ран».

Решение:

Рассмотрим  геометрическую прогрессию (bn): 1, 2, 4, …, где b1=  1,  g= 2,  Sn = 65535

Воспользуемся формулой нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии

         Sn = ,   g≠1

Составим уравнение                                                        

   65 535 =                                        

   65 535 = 2х – 1

   х = 16          

 При столь великодушной системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы удостоиться награды в 655 руб. 35 коп.

4. Итог урока: Что дают задачи Я.И. Перельмана для жизненного опыта? Напишите на обратной стороне буквы (лежат на столах учащихся) свои мысли.

(после зачитывания мнений учащихся на доске появляется надпись – Живая математика)      

5. Домашнее задание: 1. При каком русском царе изучали математику в России по

                                           «Арифметике» Магницкого?

                                        2.. Что означали в XYIII веке звания  Артиллерии Штык – Юнкер и

                                            Математики партикулярный Учитель?