урок обобщения и систематизации знаний по теме "Некоторые свойства функций""
материал по алгебре (11 класс) по теме

Тема урока:  Нули функции, промежутки знакопостоянства, возрастание (убывание) функции, периодичность функции.

Тип урока, форма: урок итогового повторения.

Учебная задача урока:  обобщить и систематизировать знания по темам «Нули функции», «Сравнение значений функции», «Промежутки возрастания и убывания функции», «Периодичность функции» для подготовки учащихся к ЕГЭ по алгебре на основе анализа заданий типа А и В, характерных  для ЕГЭ.

Диагностируемые цели:

В результате ученик:

Знает:

- определение  возрастающей (убывающей) функции;

- о промежутках монотонности элементарных функций;

- определение периодической функции;

- определение нулей функции;

- способ нахождения нулей функции, заданной аналитически;

- способы исследования функции на монотонность(использование свойств неравенств, оценка разности или частного значений функции, использование свойства монотонности основных элементарных функции).

Умеет:

- находить нули функции;

- исследовать функцию на монотонность, используя выделенные выше способы.

Примечание: урок рассчитан на два академических часа, проходит в форме семинара- практикума. Предварительно класс был разделен на группы. Каждая группа получила задание на применение конкретного свойства функции.

Ход урока.

1. Актуализация и мотивация.

Приведем комментарии к этому этапу.

В ходе беседы устанавливаем, что при итоговом повторении по теме «Функции», необходимо восстановить в памяти все, что знаем о функции и научиться находить  свойства. Подчеркиваем, что, как правило, при изучении определении свойств  функции в 7- 11 классах, за исключением нахождения области определения и множества значений функции, решали задачи по  аналитической модели функции. Естественным образом встает вопрос о том, как например, установить характер монотонности, промежутки знакопостоянства, нули функции, заданной аналитически. Таким образом, на уроке мы попытаемся решить следующую задачу: выделить способы установления  характера монотонности, промежутков знакопостоянства, нулей функции заданной аналитически.

2.Содержательный этап.

- К сегодняшнему уроку вы были разделены на 4 группы. Каждой группе было дано задание. Первая группа  получила задание по теме «Нули функции».

Учитель называет одного из представителей группы и просит сформулировать определение нулей функции.

- Сформулируйте определение нулей функции.

(Нулями функции называется значения аргумента, при которых значения функции равны 0). Ученики записывают данное определение в таблицу.

- Сформулируйте правило нахождения нулей функции.

(Чтобы найти нули функции нужно решить уравнение f(x) = 0).

- Хорошо. Рассмотрим конкретные примеры.

Учитель вызывает одного ученика к доске.

Найдите нули функции у = log0,1(4x2 – 8).

(Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение: log0,1(4x2 – 8) = 0

х =  – нули функции)

- Что является теоретическим базисом для выполнения этого задания?

( определение нулей функции, способ решения простейшего логарифмического уравнения).

- Какие числа   - π/2; π/3; -π/6; -5π/6   являются нулями функции

у = sin (2x – π/3) ?

( нужно решить уравнение  sin (2x – π/3) = 0).

- в этом задании требование иное: ответ нужно выбрать из предложенных вариантов.  Вместе с тем смысл остается тем же: либо решить уравнение, либо подставлять данные числа в соответствующее уравнение. Перед тем как подставлять каждое из четырех значений, вспомним, синус какого аргумента равен нулю.

(πn).

- Какое из чисел обращает уравнение в верное числовое равенство?

(-5π/6 ).

- То есть, данное задание мы решили устно. Этот способ можно применять , когда вычисления будут легче, чем решение уравнения.

- Второй группе было дано задание на свойство монотонности функций. Сформулируйте определение возрастающей (убывающей ) функции.

( Функция у = f(x) называется возрастающей (убывающей) на множестве Х из Df , если для любых двух значений  х1 и х2 из множества Х, таких, что х1 < х2 выполняются неравенства f(х1) < f( х2) (f(х1) > f( х2)).)

- Какие основные типы заданий можно выделить на применение этого свойства?

( по графику функции определить промежутки возрастания (убывания) функции, исследовать аналитически заданную  функцию на монотонность).

- как по графику функции определить промежутки, на которых функция возрастает (убывает)? Какие термины используются для того, чтобы по графику функции определить является она возрастающей или убывающей?

(движение в гору, движение с горы).

Далее повторяем свойства монотонных функций:

1. Сумма , разность возрастающих (убывающих) функций – функция возрастающая (убывающая)

2. Строго монотонная функция каждое свое значение принимает один раз.

3. Графики возрастающей и убывающей функций имеют не более одной точки пересечения.

Предлагаем выполнить следующие задания:

1.Определить характер монотонности следующих функций:

1. у =
2. у =
3. у =

2. Решите уравнение:

Решение: можно заметить, что х = -2 корень уравнения.

Других корней нет, так как функция у =  возрастающая, а функция у = -0,5х убывающая, поэтому графики функции имеют не более одной общей точки. Значит, х = -2 единственный корень уравнения.

Решение : замечаем, что х = 2 является корнем этого уравнения. Докажем, что других корней нет.

          у=  монотонно возрастает, так как

          у =  монотонно убывает, так как , следовательно

         также монотонно убывает.

         Графики таких функций имеют не более одно точки пересечения, значит х = 2 единственный корень уравнения.

-Слово предоставляется третьей группе. Какое свойство вы рассматривали?

(свойство периодичности).

- Сформулируйте определение периодической функции.

(Функцию у = f(x) с область определения Х называют периодической, если существует  число Т ≠ 0, такое, что для любого х  принадлежащего Х числа

х + Т и х-Т  также принадлежат Х и справедливо равенство f(x + T) = f (x). Число Т называется периодом функции f(x).)

Ученики записывают определение в таблицу. 

- известно, что у = f(x) периодическая с периодом Т= 3, , f(0) = 4,           f(-2) = 2, f(2) = 2. Найдите f(1) , f(-3), f(5).

(так как f(x) периодическая и Т = 3, то

1) f(-2) = f(-2 + 3) = f(1) = 2

2) f(0) = f(0 - 3) = f(-3) = 4

3) f(2) = f(2+3) = f(5)=2).

- На ЕГЭ предлагаются задания, в которых наряду со свойством периодичности используются и другие свойства функции, например свойства четности (нечетности) функции. Рассмотрим пример такого задания.

Один из участников третьей группы приглашается к доске.

Функция f(x) определена на множестве всех действительных чисел и является четной, а также является периодической с периодом  Т = 8. На отрезке       [ -4;0] показан график этой функции. Найдите значение выражения:

[ 2f(17) + f(-35)] / [ f(-9) + 3 f ( 124)].

- какими свойствами обладает данная функция?

( она периодическая с периодом 8  и четная).

- что следует из того, что эта функция периодическая?

(f(x + T) = f (x))

- а из того, что она четная?

( f(-x) = f(x)).

- Чтобы найти результат деления, нам нужно найти каждый неизвестный компонент. Как это сделать?

( f(17) = f ( 1 + 8∙2)  = f ( 1)  =  -2).

- Оставшиеся значения найдите самостоятельно. Через несколько минут проверим.

( f ( -35) = 0, f ( -9) = -2, f ( 124) = 4, [ 2f(17) + f(-35)] / [ f(-9) + 3 f ( 124)] = -0,4.)

- А если вместо графика  будет задана таблица?

( будем поступать также, только значения искать не по графику, а из таблицы.)

- Хорошо. Осталась 4 группа. Вам слово.

(мы рассматривали свойство знакопостоянства функций , заданных аналитически, на основе которого выделяют промежутки знакопостоянства.)

- Сформулируйте определение промежутков знакопостоянства.

( промежутки знакопостоянства – это те значения аргумента из некоторого промежутка, при которых значения функции положительны (отрицательны).)

- Тогда к какому заданию сводится задание на нахождение промежутков знакопостоянства, если функция задана аналитически?

( к решению неравенств).

- выполните следующие задания:

1. Найдите все значения аргумента, при которых функция у = log0,1(4x2 – 8) принимает положительные значения.

Решение:

Составим неравенство:

  log0,1(4x2 – 8)

2. Найдите все значения аргумента, при которых функция у =  принимает положительные значения.

Решение:

.

3.Рефлексивно-оценочный этап.

- Хорошо. Мы с вами рассмотрели некоторые  примеры заданий на определение промежутков знакопостоянства. На этом мы с вами заканчиваем повторение по теме «Функции». Впереди вас ждет итоговый тест по этой теме. Давайте вспомним типы заданий, которые мы с вами решали и которые могут войти в этот тест.

(определение всех свойств функции по графической модели,  нахождение области определения, множества значений, наибольшего ( наименьшего) значений функции, заданной аналитически, задание на определение четности (нечетности) функции, нахождение промежутков монотонности  и знакопостоянства функции, задание на определение периодичной функции.)

Далее на примере функции у = log0,1(4x2 – 8) (свойства которой определяли на протяжении всех уроков по теме) вспоминаем ключевые моменты темы.