Элективный курс "Трудные вопросы математики"
элективный курс по алгебре (10 класс) по теме

Министерство образования Российской Федерации

Главное управление общего и профессионального образования Иркутской области.

МАОУ СОШ № 11

«Трудные вопросы математики»

Программа элективного курса

по математике для учащихся 9 класса

                                Разработал:    Губарь Оксана Михайловна,                                                учитель математики,

              первая квалификационная категория.

г. Усть-Илимск. 2005г.

Особенности курса

Актуальность

Задачи, предлагаемые курсом, практически отсутствуют в школьных учебниках математики, и на уроках им уделяется очень мало внимания. Предлагаемый курс посвящен трудным вопросам математики, важным для успешной сдачи выпускного Единого экзамена и поступления в вуз, но не рассматривающимися в школьном базовом курсе.

В процессе обучения учащиеся приобретают умения разбираться в типах и методах решения задач по темам, ставших популярными в последние годы и на вступительных экзаменах в вузах, и в контрольных измерительных материалах ЕГЭ (текстовые задачи, задачи с параметрами и модулями). Данный курс отличается от программы обязательного курса тем, что он обеспечивает повышенный уровень изучения учебного материала по данным темам.

В первом разделе «Решение задач» рассматриваются нестандартные виды текстовых задач. Так, например, в условии могут быть явно не сформулированы ограничения, определяемые физическими или геометрическими свойствами рассматриваемого объекта. Встречаются задачи с альтернативным условием, которые распадаются на несколько систем уравнений, причем решение каждой системы ищется на своей области ограничений; задачи с целочисленными неизвестными; задачи, в которых надо найти наибольшее или наименьшее значение какой – либо величины.

Вторым разделом предлагаемого курса является «Решение уравнений и неравенств с модулем». Тоже трудная для учащихся тема, часто «вскользь» вспоминаемая на уроках, и тем не менее, благодатная, с точки зрения освоения графических приемов решения задач как равноправных с аналитическим методами. Учащимся приходится столкнуться с задачами, для решения которых необходимо рассматривать несколько возможных вариантов. Только после рассмотрения всех возможных вариантов и их исследования, находится нужное решение.

В третьем блоке, посвященном решению задач с параметрами, самому сложному вопросу математики, учащимся предстоит применить все умения и навыки, которые они получили, решая задачи первых двух разделов и, изучая элементарную математику в целом. В школьных учебниках параметрам почти не уделяется внимания, хотя для достижения хороших результатов знакомство с ними должно состоятся как можно раньше, и предпрофильный курс для этого является подходящим моментом.

Решение подобного рода задач открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применимых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Кроме того, с помощью этих задач обучающемуся на курсе можно проверить свое знание основных разделов элементарной математики, а так же перспективные возможности успешного овладения курсом математики в профильной школе и, как следствие, в высшем учебном заведении.

                                                    Цели курса:

•      Получение обучающимися опыта работы на уровне повышенных требований, что способствует развитию учебной мотивации;
•      формирование интереса к изучению математики через решение задач повышенной сложности;
•      развитие способности к самоопределению.

             Учащиеся должны иметь представление:

•  о структуре и содержании курса, и его значимости;
•  о различных типах и методах решения нестандартных задач.

Учащиеся должны знать:

•    типы и методы решения нестандартных задач по математике;
•    схему поиска решения нестандартной задачи;
•    графический метод решения уравнений с модулем и содержащих параметр.

           Учащиеся должны уметь:

•    осуществлять исследования;
•    находить все возможные решения, находить общее и учитывать детали.

Учащиеся должны владеть:

графическими и аналитическими приемами решения задач с параметрами и модулем.

Структура курса:

Содержание курса:

Ожидаемые результаты:

В процессе обучения учащиеся приобретают умения определять типы и методы решения задач и самостоятельно осуществлять необходимые исследования, находить общее, учитывать детали. А так же владеть графическим и аналитическим медами решения задач, уравнений, неравенств с параметром и модулем.

Учебно-методическое обеспечение:

•  методы решения нестандартных задач;
• схема поиска решения нестандартной задачи;
• обзорный урок по теме: «Уравнение с модулем»;
• самостоятельные задачи на части и проценты; на сплавы, растворы и смеси; задачи с целочисленными данными;
• контрольные работы по основным темам курса;
• домашняя контрольная работа по теме:  «решение уравнений содержащих модуль.

Методы решения нестандартных задач

 Схема поиска решения нестандартной задачи:

Урок по теме: «Уравнения с модулем»

Цели:

1. проверить знания и умения, учащихся по данной теме;
2. рассмотреть различные методы решения уравнений с модулем и их применение;
3. способствовать развитию логического мышления, умению осуществлять  исследования;

Оборудование: таблицы «Модуль действительного числа», «Свойства модуля».

Модуль действительного числа

Свойства модулей

Ход урока:

1.  Актуализация знаний.

Вопросы учащимся:

• Чему равен модуль действительного числа?
• Назовите свойства модулей? (после ответов учащихся вывешиваются таблицы)
• Какие методы применяются при решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля?

Методы решения уравнений:

1. Раскрытие модуля на основании его определения
2.      Возведение обеих частей уравнения в квадрат
3.     Метод разбиения на промежутки.

2. Изучение нового материала.

Рассмотрим применение этих методов на примерах.

Пример 1. Решить уравнение  различными способами.

Учащиеся решают уравнения в группах, а затем объясняют различные способы решения.

     Решение:

Способ 1

     По определению модуля данное уравнение равносильно совокупности двух смешанных систем:

а)                       б)

     Из системы а) находим х1 = 2, а из системы б) имеем х2 = -1,2.

Способ 2

Так как обе части исходного уравнения неотрицательны, то оно равносильно уравнению   но , тогда получим равносильное уравнение  (5х - 2)2 = 64,  откуда 5х – 2 = , значит,  х1 = 2,  х2 = 1,2.

Пример 2.  Решить уравнение                                       (1)   

 Учащиеся решают с помощью учителя    

Решение:

     Это уравнение также можно решить двумя способами. Если решать уравнение (1) первым способом, то получим совокупность двух смешанных систем:

а)                  б)     

Из системы а) получим х1 = 2, а из системы б) получим х2 = -  .

     При решении вторым способом учитель обращает внимание учеников на то, что правая часть уравнения (1) должна быть неотрицательна, т.е. х+ 6  0. Следовательно, при возведении обеих частей уравнения в квадрат, получим уравнение, равносильное исходному. Значит, уравнение (1) равносильно смешанной системе

Решая эту систему, учащиеся получают х1 = 2, х2 = - . Ответ:  х1 = 2, х2 = - .

Пример 3.  Решить уравнение .

Учитель предлагает учащимся выбрать способ, которым проще решать данное уравнение. После обсуждения учащиеся приходят к выводу, что данное уравнение проще решить вторым способом, так как при этом мы получим одно уравнение, равносильное данному:

 (5х – 2)2 = (х + 10)2  или  (5х – 2 – х – 10)(5х – 2 + х + 10) = 0;  (4х – 12)(6х + 8) = 0, откуда 4х – 12 = 0 или   6х + 8 = 0. Ответ:  х1 = 3, х2 = - .

3.  Закрепление

Учащиеся решают в группах следующие уравнения:

            Пример 4:    Решить уравнение    

    Учитель так же предлагает выбрать способ решения. После обсуждения приходят к выводу, что это уравнение целесообразно решать третьим способом (методом разбиения на промежутки).

 Решение:  

Когда выражения, стоящие под знаком модулей, обращаются в нуль? (при х = 4 и х = -1)

Эти точки отмечаем на числовой прямой, которая разбивается при этом на три промежутка. Рассмотрите 3 случая:  

                                       +  -              +    +          -  +                                          

                                                  -1                 4  

Решите и исследуйте данное уравнение на промежутках, в каждом из которых на неизвестное наложено ограничение:

1. х-1. В этом случае  4 – х > 0;  х + 1 < 0.

 Исходное уравнение примет вид 4 – х + х+ х + 1 = 5  или  5 = 5 – верно. Значит, уравнение выполняется при х-1;

2. –14;  4 – x – (x + 1) = 5 или  -2х = 2, х = -1 (не входит в рассматриваемый промежуток);
3. х > 4; х = 4 – (х+ 1) = 5 или –5 = 5 – неверно, значит, при х > 4 исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: х-1

Пример 5:   Решить уравнение  .

Решение: 

Учитель замечает, что это уравнение напоминает предыдущее и может показаться, что его также лучше решать третьим способом. Однако из исходного уравнения следует, что х – 7 > 0,  но тогда и х – 4 > 0, и х – 3 > 0. Следовательно, данное уравнение равносильно системе

 или  , которая не имеет решений. Значит, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

Пример 6. Решить уравнение .

Учащиеся решают вместе с учителем.

Решение:   Так как то, обозначив  , где получим t2+t-2=0, откуда t1 = -2, t2 = 1. Так как то t = 1, тогда  откуда имеем

1) х2+х=1,     2) х2+х= -1,  х2+х+1=0 – корней нет.                                                          Ответ: 

Пример 7.  .  Решить уравнение

     Так как х – 1 0, т.е. х  1, то данному уравнению соответствуют два уравнения:

1. 2х2 – 3х + 1 = х – 1,  2х2 – 4х + 2 = 0,  (х – 1)2 = 0, откуда х – 1 = 0, х = 1.

Найденный корень удовлетворяет условию х  1, значит , является корнем данного уравнения.

2. 2х2 – 3х + 1 = 1 – х, 2х2 – 2х = 0,  х(х-1) = 0, откуда  х = 0 или х = 1.

Корень х = 0 не удовлетворяет условию х  1, значит, не является корнем данного уравнения.    Ответ: х = 1.

Пример 8.  Решить уравнение

     Решение:

     Данное уравнение равносильно двум смешанным системам:

1)   или  2)

Из системы (1) получим х3 - 4х -15=0, х(х2 – 9) + 5(х – 3) = 0,

 (х – 3)(х2 + 3х + 5) = 0, откуда х = 3.

Из системы (2) получим х3 = - 15,  х = -

Ответ: х = 3, х = -

Пример 9. Решить уравнение

Решение:

Заметим, что х2 – 9  0, тогда получим систему

Ответ: х3 или х-3.

Задачи для самостоятельного решения

1. Сгруппировать уравнения по методам их решения:

2. Решить данные уравнения.

Ответы:

Задачи на части и проценты для самостоятельного решения

1.1  В двух бидонах находится 70 л молока. Если из первого бидона перелить во   второй 12,5% молока, находящегося в первом бидоне, то в обоих бидонах будет поровну. Сколько литров молока в каждом бидоне?

2. На заводе 35 % всех рабочих--женщины, а остальные--мужчины,
   которых на 252 человека больше, чем женщин. Определить общее
   число рабочих.        
                                                                                     Ответ: 840 человек
3. Цену товара сначала снизили на 20 %, а затем новую цену снизили еще
   на 5 % и, наконец, еще на 10 %. На сколько процентов всего снизили
   первоначальную цену товара?

4. На сколько процентов увеличится дробь, если ее числитель уменьшить
   на 30 %, а знаменатель уменьшить на 50 %.        

                                                                                     Ответ: на 50 %

5. Получаемый при сушке винограда изюм составляет 32 % всего веса
   винограда. Из какого количества винограда получается 2 кг изюма?

6. Цена 60 экземпляров первого тома и 75 экземпляров второго тома
   составляет 405 руб. Однако при  15% скидке на первый том и  10%
   скидке на второй том приходится платить всего 355 руб.  50  коп.
   Определить цену первого и второго тома.

Ответ: 3 руб и 3 руб.

7. Антикварный магазин, купив два предмета за 225 руб., продал их,               получив 40% прибыли. Что стоил магазину каждый предмет, если на первом прибыли было получено 25%, а на втором 50%?

                                                                                    Ответ: 90 руб. и 135 руб.

1.8    В двух мешках находится 140 кг муки. Если из первого мешка

переложить во второй 12,5% муки, находящейся в первом мешке, то в
обоих мешках будет поровну. Сколько килограммов муки в каждом
мешке?    

                                                                             Ответ:   80 кг и 60 кг

 1.9 При выполнении работы по математике 12% учащихся класса вовсе не
решили задачи, 32% решили с ошибками, остальные 14 человек
решили верно. Сколько учеников было в классе?

                                                                                        Ответ: 25  учеников

1.10 Вкладчик на свои сбережения через год получил 15 руб. начисления процентных денег. Добавив еще 85 руб., он оставил деньги еще на год. По истечении года вклад вместе с процентами составил 420 руб. Какая сумма была положена первоначально, и какой процент дает Сбербанк?

Ответ: 300 руб, 5 %

Контрольная работа №1

1. Найти число, 7% которого равно 9,8.
Варианты ответа:

а) 0,686; б) 140; в) 1,4; г) такого числа нет.

2. Известно, что припек при выпечке хлеба (число, показывающее на
сколько процентов масса хлеба больше по сравнению с массой, взятой муки)
составляет 20%. Сколько муки надо взять, чтобы получить 60 кг хлеба.

Варианты ответа:

а) 50 кг; б) 12 кг; в) 48 кг; г) 75 кг.

3. В магазине партию товара сначала решили продавать на 10% дороже, чем
предполагалось первоначально, но затем, в связи с отсутствием спроса, товар
уценили на 10%. Какая цена выше: та, что предполагалась первоначально,
или последняя?

Варианты ответа:

а) последняя; б) первоначальная; в) обе цены одинаковы.

4. Банк начисляет 40% годовых. Какую сумму надо положить в банк, чтобы
получить через год 3,5 тыс. руб.?

Варианты ответа:

а) 2,1 тыс. руб.; б) 87 руб. 50 коп.; в) 2,5 тыс. руб.

5. Известно, что среди группы лиц, работающих в фирме на должности
"менеджер по маркетингу", 37,5% знают, что такое процент. Какое
минимальное количество "менеджеров по маркетингу" может работать на
фирме?

Варианты ответа:

а) 100 человек; б) 4 человека; в) 8 человек; г) 1000 человек.

Задачи на сплавы, растворы и смеси для самостоятельного решения

     2.1  В сосуде было 12 л соляной кислоты. Часть кислоты отлили и сосуд долили водой. Затем снова отлили столько же и снова долили водой. Сколько жидкости отливали каждый раз, если в сосуде оказался 25 % -ный раствор кислоты?

2.2  Смешали 30 % - ный раствор соляной кислоты с 10 % -ным и получили 600 г 15 % го раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

2.3  Кусок сплава меди и цинка в 36 кг содержит 45 % меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60 % меди?

    2.4  Имеются два сплава золота и серебра. Одном сплаве количества этих металлов находятся в отношении 1 : 2, в другом -2:3. Сколько граммов нужно взять от каждого сплава, чтобы получилось 19 г сплава, в котором золото и серебро находятся в отношении 7:12?

2.5  Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5 % и 40 %.Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля?

       2.6  15 кг 8 5 -го раствора спирта смешали с 5 кг 16 % - го раствора спирта. Определите процентное содержание спирта в полученной смеси. Ответ: 10 %

    2.7   В  100 кг Сплава меди и цинка содержание меди составляет 45 %. Сколько   кг   чистого   цинка   надо   добавить   к   этому   сплаву,   чтобы   в получившемся сплаве количество меди составило 20 % количества цинка? Ответ: 125 кг

  2.8  В первом из двух сплавов медь и цинк находятся в отношении 1 : 3, а во   втором - в отношении 3:5. Сколько кг первого сплава надо сплавить с 15 кг второго, чтобы в полученном сплаве медь и цинк находились в отношении 13 : 27?        Ответ: 10 кг

2.9  Из 38 т руды, содержащей 25 % примесей, после переплавки 30 т металла, сколько процентов примесей содержит полученный металл?   Ответ: 5 %

Задачи с целочисленными данными для самостоятельного решения  

3.1 Группу людей пытались построить в колонну по 8 человек в ряд, но один ряд оказался неполным. Когда ту же группу людей перестроили по 7 человек в ряд, то все ряды оказались полными, а число рядов оказалось на 2 больше. Если бы тех же людей построить по 5 человек в ряд, то рядов было бы ещё на 7 больше, причем один ряд был бы неполным. Сколько людей было в группе?

Ответ: 119 чел.

3.2 Груз вначале погрузили в вагоны вместимостью по 80 тонн, но один вагон оказался загруженным не полностью. Тогда весь груз переложили в вагоны вместимостью по 60 тонн, однако понадобилось на восемь вагонов больше, и при этом все равно один вагон остался не полностью загруженным. Наконец груз переложили в вагоны вместимостью по 50 тонн, однако понадобилось ещё на пять вагонов больше, при этом все такие вагоны были загружены полностью. Сколько тонн груза было?

Ответ. 1750 тонн.

3.3 Партию деталей решили поровну разложить по ящикам. Сначала в каждый ящик положили по 12 деталей, при этом осталась одна деталь. Тогда из одного ящика вынули все детали и в оставшиеся ящики удалось разложить все детали поровну. Сколько деталей было в партии, если в каждый ящик помещается не более 20 деталей?

Ответ: 169.

3.4 Прибывших на парад солдат планировали построить так, чтобы в каждом ряду стояли по 24 человека. Но в действительности не все прибывшие смогли участвовать в параде, и их перестроили так: число рядов стало на 2 меньше, а число человек в ряду на 26 больше нового числа рядов. Если бы все солдаты участвовали в параде, то их можно было бы построить так, чтобы число рядов было равно числу человек в ряду. Сколько солдат прибыло на парад? Ответ: 144 человек.

     3.5 Бригады рабочих получали одежду на складе по 2 комплекта на каждого человека. Каждая бригада получила на 20 комплектов больше, чем было бригад. Если бы бригад было на 4 больше и каждой выдавали по 12 комплектов, то одежды на всех не хватило бы. Сколько комплектов было на складе?  Ответ:  44 комплекта.

      3.6  Группа абитуриентов из 30 человек получила на экзамене оценки '"2", "3", "4" и "5". Сумма полученных оценок равна 93, причем "3" больше "5" и меньше "4". Кроме того, число "4" делится на 5, а число "5" четное. Сколько двоек получила группа?     Ответ: 11 двоек.

3.7 Покупатель купил несколько одинаковых тетрадей и одинаковых книг, причем книг куплено на 4 штуки больше, чем тетрадей. За все тетради он заплатил 72 коп., а за все книги -- 6 руб. 60 коп. Если бы тетрадь стоила столько, сколько стоит книга, а книга — столько, сколько стоит тетрадь, то покупатель истратил бы на покупку меньше, чем 4 руб. 44 коп. Сколько куплено тетрадей?         Ответ: 2 тетради.

 3.8  В киоске были проданы одинаковые комплекты, состоящие только из синих и красных карандашей, причем в каждом комплекте число синих карандашей более чем на 3 превосходило число красных. Если бы в каждом комплекте число синих карандашей увеличили в три раза, а красных - в два раза, то число синих карандашей в одном комплекте превосходило бы число красных не более чем на 16, а общее число всех проданных карандашей равнялось бы 81. Определить, сколько было продано комплектов и сколько было в каждом комплекте синих и красных карандашей?   Ответ: 3 комплекта по 7 синих и 3 красных карандаша.

3.9 На стоянке находятся машины марок "Москвич" и "Волга". Общее число их менее 30. Если увеличить вдвое число "Волг", а число "Москвичей" увеличить на 27, то "Волг" станет больше; а если увеличить вдвое число "Москвичей", не изменяя числа "Волг", то "Москвичей" станет больше. Сколько "Москвичей" и сколько "Волг" находится на стоянке?

3.10 Школьники, внеся одинаковую сумму, купили географическую карту, стоимость которой от 10 до 12 рублей (в ценах до 1990 года). Если бы учеников в классе было на 3 меньше, то каждому пришлось заплатить на 0,5 руб. больше. Сколько учеников участвовали в покупке?

Ответ: 10 человек.

3.11 В классе писали контрольную работу. Среди выставленных оценок встречаются только оценки "2", "3", "4", "5". Оценки "2", "3", "5" получило одинаковое число учеников, а оценок "4" поставлено больше чем остальных вместе взятых. Оценки выше "3" получило менее 10 учеников. Сколько троек и сколько четверок было поставлено, если писали контрольную не менее 12 учеников.

Ответ  : 10 человек.

Задания домашней контрольной работы

Решить уравнения:

Ответы:

Задания для самостоятельного решения систем уравнений с параметром

При каких значениях параметра а система имеет:

 Контрольная работа №3

Решить графическим методом:

1. Сколько корней имеет уравнение  в зависимости от параметра а?

     Ответ:  если то корней нет;

                     если а, то один корень;

                     если а>1, то два корня.

2. При каких значениях параметра а уравнение  имеет три решения?

    Ответ: -.

Решить любым методом:

3. Найти наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение х2 – 2(а – 1) х + 2а + 1 = 0  имеет два различных действительных корня. Определить знаки корней в зависимости от значений а.

   Ответ: а < 0 и а > 4. Если а < - ½, то один корень положительный, другой отрицательный; а = - ½, то один корень положительный, а второй равен 0; если – ½ < a < 0, то оба корня отрицательны; если  а > 4, то оба корня положительны.

4. При каких значениях а корни уравнения (2а –1)х2 + (3– а)х + 1 = 0 меньше 2.

    Ответ: a < 1; a > 13.

5. Определить все значения параметра а, при которых уравнения х2 + ах + 1 = 0  и  х2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень.

    Ответ: а = -2.

6. При каких значениях а система уравнений имеет решения?

    Ответ: при а ≠ 2, а ≠ -1

 Литература:

1. Л. Я. Фальке Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе М. Ставрополь 2004.

2.  Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре, 8 – 9. – М.: Просвещение, 1999.

3. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н. Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9 классе. – М.: Просвещение, 1996.

4. Здоровенко М.Ю., Караулова Л.В. Сборник задач по элементарной математике. Задачи с параметрами. – Киров, 1998.  

5. Иванов А.А., Иванов А.П. Математика. Пособие для поступающих в вузы. – Изд-во Пермского университета, Пермь, 2000.

6. Лурье М.В., Александров Б.И. Задачи на составление уравнений. – М.: Наука, 1990.

7. Ткачук В.В.Математика – абитуриенту. – М.: МЦНМО, 1998.

8. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10 класса средней школы. – М.:  Просвещение, 1989.

9. В. В. Кривоногов Нестандартные задания по математике М. Первое сентября 2003.

10. Материалы из Интернета.