Решения задач части С из диагностической работы для 10 класса
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10 класс) на тему

Задачи С1 на тему «Показательные уравнения с иррациональными корнями»

1.         а) Решите уравнение:  = 0.

        б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ – 5; – 4].

Решение.

а) Запишем данное уравнение в виде:  = 0. Пусть . Из уравнения  = 0 находим   или . Таким образом,  или , откуда  или  .

Ответ: 0; .

б) Корень  не принадлежит отрезку [ – 5; – 4]. Так как , то , значит, корень  принадлежит отрезку [ – 5; – 4].

Ответ: .

2.         а) Решите уравнение:  = 0.

        б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ 2; 3].

Решение.

а) Запишем данное уравнение в виде:  = 0. Пусть . Из уравнения  = 0 находим   или . Таким образом,  или , откуда  или  .

Ответ: 1; .

б) Корень  не принадлежит отрезку [ 2; 3]. Так как , то , значит, корень  принадлежит отрезку [ 2; 3].

Ответ: .

3.         а) Решите уравнение:  = 0.

        б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ – 3; – 2].

Решение.

а) Запишем данное уравнение в виде:  = 0. Пусть . Из уравнения  = 0 находим   или . Таким образом,  или , откуда  или  .

Ответ: 0; .

б) Корень  не принадлежит отрезку [ – 3; – 2]. Так как , то , значит, корень  принадлежит отрезку [ – 3; – 2].

Ответ: .

4.         а) Решите уравнение:  = 0.

        б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ 2; 3].

Решение.

а) Запишем данное уравнение в виде:  = 0. Пусть . Из уравнения  = 0 находим   или . Таким образом,  или , откуда  или  .

Ответ: 1; .

б) Корень  не принадлежит отрезку [ 2; 3]. Так как , то , значит, корень  принадлежит отрезку [ 2; 3].

Ответ: .

5.         а) Решите уравнение:  = 0.

        б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ – 4; – 3].

Решение.

а) Запишем данное уравнение в виде:  = 0. Пусть . Из уравнения  = 0 находим   или . Таким образом,  или , откуда  или  .

Ответ: 0; .

б) Корень  не принадлежит отрезку [ – 4; – 3]. Так как , то , значит, корень  принадлежит отрезку [ – 4; – 3].

Ответ: .

Прототип:

ЕГЭ 2013. Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2(С)/ И.Р. Высоцкий, П.И. Захаров, В.С. Панферов, С. Е. Посицельский, А.В. Семенов, А.Л. Семенов, М.А. Семенова, И.Н. Сергеев, В.А. Смирнов, С. А. Шестаков, Д.Э. Шноль, И. В. Ященко; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2013. – 215, [1] с. (Серия «ЕГЭ. Типовые тестовые издания»). Стр. 14, 27.

Задачи С2 на тему «Угол между прямой и плоскостью»

1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, где AB = AA1 = 2, AD = 1, найдите угол между прямой BC1 и плоскостью BCD1.  

Решение.

Плоскости BCD1 и CDD1 перпендикулярны. Перпендикуляр из точки C1 к плоскости BCD1 лежит в плоскости CDD1 и пересекает прямую CD1 в точке H. Таким образом, BH – проекция BC1 на плоскость BCD1. Значит, искомый угол равен углу C1BH. В прямоугольном треугольнике CC1D1 находим C1H =  .

В прямоугольном треугольнике BCC1 находим BC1 =.

В прямоугольном треугольнике BC1H с катетом C1H =   и гипотенузой BC1 = имеем: .   Следовательно, .

Ответ: .

Примечание.

Возможны другие формы записи ответа: .

2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, где AB = 6, AA1 = AD = 3, найдите угол между прямой AB1 и плоскостью ABC1.  

Решение.

Плоскости ABC1 и BCC1 перпендикулярны. Перпендикуляр из точки B1 к плоскости ABC1  лежит в плоскости BCC1 и пересекает прямую BC1  в точке H. Таким образом, AH – проекция AB1 на плоскость ABC1. Значит, искомый угол равен углу B1AH.

В прямоугольном треугольнике ABB1  находим AB1 =  .

В прямоугольном треугольнике BB1C1 находим B1H =.

В прямоугольном треугольнике B1AH с катетом B1H =  и гипотенузой AB1 = имеем: .   Следовательно, . 

Ответ: .
Примечание.

Возможны другие формы записи ответа: .

3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, где AB = AD = 4, AA1 = 3, найдите угол между прямой CB1 и плоскостью BB1D.  

Решение.
Плоскости BCD и BB1D перпендикулярны. Перпендикуляр из точки C к плоскости BB1D лежит в плоскости BCD и пересекает прямую BD в точке H. Таким образом, B1H – проекция B1C на плоскость BB1D. Значит, искомый угол равен углу CB1H.

В прямоугольном треугольнике BCD находим  CH =.

В прямоугольном треугольнике BB1C находим B1C = 5.

В прямоугольном треугольнике B1CH с катетом CH  и гипотенузой B1C = 5 имеем: .    Следовательно, .

Ответ: .
Примечание.

Возможны другие формы записи ответа: .

4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, где AA1 = 2, AB = AD = 4, найдите угол между прямой A1B и плоскостью AA1C.  

Решение.
Плоскости ABC и ACC1 перпендикулярны. Перпендикуляр из точки B к плоскости ACC1 лежит в плоскости ABC и пересекает прямую AC в точке H. Таким образом, A1H – проекция A1B на плоскость ACC1. Значит, искомый угол равен углу BA1H.

В прямоугольном треугольнике ABC  находим BH =  .

В прямоугольном треугольнике AA1B находим A1B =.

В прямоугольном треугольнике A1BH с катетом BH =   и гипотенузой A1B = имеем: .   Следовательно, .

Ответ: .
Примечание.

Возможны другие формы записи ответа: .

5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, где AB = AD = 1, AA1 = 2, найдите угол между прямой AB1 и плоскостью ACC1.  

Решение.
Плоскости ACC1 и A1B1C1 перпендикулярны. Перпендикуляр из точки B1 к плоскости ACC1 лежит в плоскости A1B1C1и пересекает прямую A1C1 в точке H. Таким образом, AH – проекция AB1 на плоскость ACC1 . Значит, искомый угол равен углу B1AH.

В прямоугольном треугольнике A1B1C1 находим  B1H =.

В прямоугольном треугольнике ABB1 находим AB1 = .

В прямоугольном треугольнике AB1H с катетом B1H =  и гипотенузой AB1 =  имеем: .    Следовательно, .

Ответ: .
Примечание.

Возможны другие формы записи ответа: .

Прототипы C2 № 500024 и C2 № 500025.