урок: Логарифмы
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) по теме

Слайд 1

“

Слайд 2

Урок «Логарифмы» Подготовили и провели: 1. Размарилова Татьяна Ивановна, учитель математики высшей квалификационной категории 2. Сдобнова Ольга Викторовна, учитель математики первой квалификационной категории 3. Ливенчик Елена Павловна, учитель математики высшей квалификационной категории 4. Семенаха Галина Николаевна, учитель математики высшей квалификационной категории

Слайд 3

Тема: « Логарифмы ». Тип урока : урок обобщения и систематизация знаний. Продолжительность урока : 2 часа Цель урока : закрепить, обобщить и систематизировать знания и умения учащихся в вычислении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств.

Слайд 4

Учебно-методический комплекс 1 . Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни \(Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин ); под редакцией А.Б. Жижченко . – 2 издание.-М .: Просвещение ,2009. 2. Методические пособия: Книга для учителя. Изучение алгебры и начал математического анализа в 10 классе: \ Н.Е. Федорова, М.В. Ткачева. – М.: Просвещение ,2009. 3. Дидактические материалы. 10 класс: профильный уровень/ (М.И. Шабунин , М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, О.Н. Доброва)- 2 издание.-М .: Просвещение ,2009. 3. Сайты: www.edu.ru ; www.shool.edu.ru ; www.ege.edu.ru ; www. Center.fio.ru/method/ getblob.asp?id =10000768 – разработки нетрадиционных уроков.

Слайд 5

Задачи урока Предметные: добиться усвоения учащимися систематических, осознанных сведений о логарифме; формировать навыки использования свойств логарифмов при решении задач. Метапредметные : развивать познавательный интерес у учащихся через раскрытие практической необходимости и теоретической значимости темы и использование возможности ИКТ в изучении темы, умение находить творческий подход к решению разнообразных задач, продолжить формирование математической речи. Личностные: формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для общественного прогресса; воспитание познавательной активности, чувство ответственности, культуры общения, способствовать умению работать в коллективе и в команде, создать условия для развития у учащихся умений ставить проблемы и предлагать пути их решения;

Слайд 6

Методы обучения : частично-поисковый, исследовательский Педагогические технологии : личностно-ориентированное обучение, проектный метод. Форма работы: фронтальная, индивидуальная, групповая

Слайд 7

Оснащение урока: Мультимедийный проектор Маркерная доска Презентации, подготовленные учителем и учащимися Подборка разноуровневых упражнений для совершенствования навыков вычисления логарифмов, решения логарифмических уравнений и неравенств

Слайд 8

Ход урока: Организационный момент Вступительное слово учителя Представление лабораторий и их проблем Работа в лаборатории и отчет о проделанной работе каждой лаборатории Домашнее задание Рефлексия

Слайд 9

Логарифмы Холодные числа, внешне сухие формул математики полны внутренней красоты и жара сконцентрированной в них мысли. Александров А.Д.

Слайд 10

В чем проявляется взаимосвязь развития математической науки и развития общества? М атематические расчеты помогают делать открытия; Математика помогает вычислять стоимость покупки; Математические формулы помогут рассчитать площадь комнаты; Логарифмические формулы облегчат вычисления степеней.

Слайд 11

Значимость логарифмов «С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по важности можно смело поставить рядом с другим, более древним великим изобретением индусов – нашей десятичной системой нумерации.» Успенский Я. В., русский математик

Слайд 12

Из истории логарифмов Слово логарифм происходит от греческого λογοφ ( число ) и ρίνμοφ ( отношение ) и переводится, следовательно, как отношение чисел . Выбор изобретателем (1594 г.) логарифмов Джоном Непером такого названия объясняется тем, что логарифмы возникли при сопоставлении двух чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а другое – геометрической.

Слайд 13

Лаборатории Группа Тема для исследования Проблемный вопрос теоретики Понятие логарифма Как теория логарифмов помогает ускорению и упрощению вычислений? мыслители Способы решения логарифмических уравнений Как можно использовать теорию логарифмов для решения уравнений экспериментаторы Способы решения логарифмических неравенств Как можно использовать теорию логарифмов для решения неравенств исследователи Логарифмическая функция и её график Как использовать теорию логарифмов для изучения логарифмической функции практики Логарифмы вокруг нас Где в жизни встречаются логарифмы

Слайд 14

Лаборатория теоретиков

Слайд 15

Логарифмом положительного числа b по основанию a , где a>0 , a≠1 , называется показатель степени, в которую нужно возвести а чтобы получить b . Пример:

Слайд 16

В зависимости от значения основания приняты два обозначения Если основанием является 10, то вместо log 10 x пишут lg x. 2. Для введения следующего определения стоит понимать что за число e . Число е есть предел, к которому стремится при неограниченном возрастании n. Т.е Вместо log e x принято писать ln x.

Слайд 17

Можно выделить три формулы Из определения логарифма следует следующее тождество: Примеры:

Слайд 18

1. Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей: 2. Логарифм частного равен разности логарифмов :

Слайд 19

3. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания: 4. Логарифм корня равен отношению логарифма подкоренного выражения и показателя корня:

Слайд 20

5. Переход от одного основания к другому

Слайд 21

1. Вычислить: а) б)-1 в)1 г)6 2. Вычислить: а) 16 б)64 в)12 г)32 3. Вычислить: а) б) 0 в )6 , 5 г)1,5 а) б ) в ) г ) 4. Вычислить:

Слайд 22

ответы 1. 1(в) 2. 64(б ) 3. (а) 4. 1,5 (г)

Слайд 23

Исследовательская лаборатория Чт о же такое логарифм?

Слайд 24

ГРАФИКИ И СВОЙСТВА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 1) ; 2) ; 3) не является ни четной, ни нечетной; 4) не ограничена; 5) вертикальная асимптота x=0 ; 6) убывающая; 7) выпукла вниз; 8) дифференцируема.

Слайд 25

1) 2) 3) не является ни четной, ни нечетной; 4) не ограничена; 5) вертикальная асимптота x=0 ; 6) возрастающая; 7) выпукла вверх; 8) дифференцируема.

Слайд 26

Свойства функции: Область определения (0; ∞) Область значений R Чётность /нечётность: функция не является ни четной, ни нечетной Нули функции: y = 0 при x = 1 Промежутки знакопостоянства : если 0 < a < 1, то y >0 при x € (0; 1), y < 0 при x € ( 1; ∞), если a > 1, то y >0 при x € (1 ; ∞), y < 0 при x € (0; 1) Промежутки монотонности : при 0 < a < 1 функция убывает при x € (0; ∞) при a > 1 функция возрастает при x € (0; ∞) Экстремумов нет. График функции проходит через точку: (1; 0) Асимптота x = 0

Слайд 27

Применение логарифмической функции Логарифмическая функция крайне важна в экономике, физике, при проведении научных, экспериментальных расчетов, астрономии и др. Форма логарифмической спирали присуща многим природным объектам. Физика — интенсивность звука (децибелы). Астрономия — шкала яркости звёзд. Химия — активность водородных ионов ( pH ). Сейсмология — шкала Рихтера. Теория музыки — нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков. История — логарифмическая шкала времени.

Слайд 28

Выводы: Логарифмической функцией называется функция вида f ( x ) = log а x , определённая при

Слайд 29

РЕШИТЕ ПРИМЕРЫ, ОСНОВЫВАЯСЬ НА СВОЙСТВА ЛОГАРИФМ А . ПРИ ОТВЕТЕ ПРОГОВОРИТЕ ЭТИ СВОЙСТВА Найдите области определения функций:

Слайд 30

НА ОДНОМ ИЗ РИСУНКОВ ИЗОБРАЖЕН ГРАФИК ФУНКЦИИ У= LOG 2 Х. УКАЖИТЕ НОМЕР ЭТОГО РИСУНКА. Ответ: №4

Слайд 31

Лаборатория мыслителей

Слайд 32

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма называются логарифмическими. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение log a х = b (где а > 0, а ≠1) . Его решение x = a b .

Слайд 33

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Функционально-графический С использованием определения Потенцирование Введение новой переменной Логарифмирование обеих частей уравнения, если они положительны

Слайд 34

ЗАПОМНИ ! Сладкая парочка! Два в одном! Два берега у одной реки! Два сапога – пара! Близки и неразлучны! Нам не жить друг без друга! Логарифм и ОДЗ вместе трудятся везде! ОН - ЛОГАРИФМ ! ОНА - ОДЗ!

Слайд 35

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД Пример: Решение: Ответ: x = 2

Слайд 36

МЕТОД С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Пример: Решение: ,где Ответ: 4 и -2

Слайд 37

ПОТЕНЦИРОВАНИЕ Пример: Решение: Ответ:

Слайд 38

ВВЕДЕНИЕ НОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Пример: Решение: Ответ: и

Слайд 39

ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ ОБЕИХ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ,ЕСЛИ ОНИ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫ Пример: Решение: Ответ: и

Слайд 40

Работа у доски с проверкой Решение: По определению логарифма: 4+x=5 2 4+x=25 x=21 Ответ: x = 21. Решение: По определению логарифма: 8+x= 2 3 8+x=8 x=0 Ответ: x = 0.

Слайд 41

Работа у доски с проверкой Решение: По определению логарифма: 9+x=3 4 9+x=81 x=72 Ответ: x = 72. Решение: По определению логарифма: 3+x=2 7 3+x=128 x=125 Ответ: x = 125.

Слайд 42

Экспериментальная лаборатория

Слайд 43

Логарифмические неравенства

Слайд 44

Логарифмическим неравенством называют неравенства вида log a f (x ) > log a g (x ) , где а- положительное число, отличное от 1. При а > 1 log a f (x ) > log a g (x ) и f(x )> 0 , g(x ) >0 ,то f(x)>g(x) При 0 < а < 1 log a f (x ) > log a g (x ) и f(x)> 0 , g(x ) > 0 , то f(x) < g(x)

Слайд 45

При решении логарифмических неравенств следует учитывать общие свойства неравенств, свойство монотонности логарифмической функции и область её определения .

Слайд 46

Традиционный способ Функция монотонно возрастающая

Слайд 47

Традиционный способ функция монотонно убывающая

Слайд 48

Индивидуальная работа по теме: Вариант 1: 1. 2. Вариант 2: 1. 2. Вариант 3: 1. 2.

Слайд 49

Ответы Вариант 1: Вариант 2: Вариант 3:

Слайд 50

Работа у доски Решение неравенств log 3 (2х-4) >log 3 (14-x) Log 1/3 (2х-4) >log 1/3 (14-x) 6< х <14 2

Слайд 51

Практическая лаборатория

Слайд 52

Логарифмы в деятельности человека в животноводстве в астрономии в экономике в электротехнике в музыке в технике

Слайд 53

Логарифмы в природе раковина галактика семечки подсолнуха паутина рога козла

Слайд 1

Логарифмическая спираль – единственный тип спирали, не меняющей своей формы при увеличении размеров. Видимо, это свойство и послужило причиной того, что в живой природе логариф-мическая спираль встречается чаще других. Ночные бабочки, которые пролетают большие расстояния, ориентируясь по параллельным лунным лучам, инстинктивно сохраняют постоянный угол между направлением полета и лучом света. Если они ориентируются на точечный источник света, инстинкт их подводит, и ба- бочки попадают в пламя по скручивающейся логариф - мической спирали.

Слайд 2

В подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали

Слайд 3

Рога животных растут лишь с одного конца. Этот рост осуществляется по логарифмической спирали . Например, рога баранов, коз, антилоп и других рогатых животных .

Слайд 4

Также происходит рост раковин морских животных . Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, закручены по логарифмической спирали .

Слайд 5

По логарифмической спирали формируется тело циклона

Слайд 6

По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности – Галактика Солнечной системы.

Слайд 7

Логарифмы в музыке «… Даже изящные искусства питаются ею Разве музыкальная гамма не есть - Набор передовых логарифмов?» Из «Оды экспоненте»

Слайд 8

Музыканты редко увлекаются математикой, но соприкасаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают. Известный физик Эйхенвальд вспоминал:«Представьте же себе, как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах…»

Слайд 9

Номера клавишей рояля представляют собой лога-рифмы чисел колебаний соответствующих звуков.

Слайд 10

Логарифмы в живописи Логарифмические линии в природе замечают не только математики, но и художники. О копии картины Вермера «Кружевница» Сальвадор Дали писал: я инстинктивно провел на холсте строгие логарифмические кривые…»

Слайд 11

“Музыка может возвышать или умиротворять душу, Живопись – радовать глаз, Поэзия - пробуждать чувства, Философия – удовлетворять потребности разума, Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей, а математика способна достичь всех этих целей”. « Морис Клайн .»

Слайд 12

Продукт исследований

Слайд 15

Домашнее задание

Слайд 16

Дополнительные задания

Слайд 17

Решить неравенства. log 7 (3x - 9) < log 7 (x + 1) log 1/3 (x + 6) > -2 log 1/2 (x - 5) + log 1/2 (x + 2) > -3 lg 2 x - lg x - 20 >0

Слайд 18

log 7 (3x - 9) < log 7 ( x + 1) Ответ. 3 < x < 5. н log 1/2 (x - 5) + log 1/2 (x + 2) > -3 Ответ . 5< x < 6. е log 1/3 ( x + 6) > -2 Ответ. - 6 < x < 3. п lg 2 x - lg x - 20 > 0 Ответ. x > 100 000 . р

Слайд 19

1 2 3 4 5 н е п е р

Слайд 20

рефлексия Продолжите фразу: “Сегодня на уроке я узнал…” “Сегодня на уроке я научился…” “Сегодня на уроке я познакомился…” “Сегодня на уроке я повторил…” “Сегодня на уроке я закрепил…”

Слайд 21

СПАСИБО ЗА РАБОТУ!

Слайд 22

СПАСИБО ЗА УРОК!!!

Слайд 23

Судьба Вселенной в ваших руках! До свидания !