План - конспект урока по теме: «Ряды Фурье. Разложение функций в ряд Фурье».
план-конспект урока по алгебре по теме

Тема: «Ряды Фурье. Разложение функций в ряд Фурье.»

Эпиграф урока:                          

                                                      «Изучать что-либо и не задумываться над

                                                         выученным - абсолютно бесполезно.

                                                         Задумываться над чем-либо, не изучив

                                                                  предварительно предмет раздумий-

                                                                  опасно.»

                                                                                        Конфуций.

Цель и психолого-педагогические задачи урока:

1. Общеобразовательная (нормативная) цель: повторить со студентами определение и свойства периодической функции (Л.Д.Кудрявцев, Г.М.Гусак, Д.А.Капуцкая). Ввести понятие тригонометрического ряда Фурье.
2. Задачи математического развития студентов: на нестандартном учебно-математическом материале продолжить развитие ментального опыта учащихся, содержательной когнитивной структуры их математического интеллекта, в том числе, способностей к логико-дедуктивному и индуктивному, аналитическому и синтетическому обратимому мышлению, к алгебраическому и образно-графическому мышлению, к содержательному обобщению и конкретизации, к рефлексии и самостоятельности как метакогнитивной способности студентов; продолжить развитие культуры письменной и устной речи как психологических механизмов учебно-математического интеллекта.
3. Воспитательные задачи: продолжить личностное воспитание у студентов познавательного интереса к математике, ответственности, чувства долга, академической самостоятельности, коммуникативного умения сотрудничать с группой, преподавателем, согруппниками; аутогогической способности к соревновательной учебно-математической деятельности, стремления к высоким и высшим ее результатам (акмеический мотив).

Тип урока: изучение нового материала; по критерию ведущего математического содержания - урок-практикум; по критерию типа информационного взаимодействия учащихся и преподавателя – урок сотрудничества.

Оборудование урока:

1. Учебная литература:

        1)  Кудрявцев Л.Д.

             Курс математического анализа: Учеб. для студентов университетов и вузов. В 3 т. Т. 3. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1989. – 352 с. : ил.

         2) Демидович Б.П.

             Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – 9-е изд. – М.: Издательство «Наука», 1977.

2. Иллюстрации.

                                                  Ход урока.

1.Объявление темы и главной образовательной цели урока; стимулирование чувства долга, ответственности, познавательного интереса студентов при подготовке к сессии.

2.Повторение материала по вопросам.

        a) Дать определение периодической функции, периодических процессов.

При изучении разнообразных периодических процессов, т. е. процессов, которые через определенный промежуток времени повторяются, целесообразнее разлагать периодические функции, описывающие эти процессы, в так называемый тригонометрический ряд.

      Напомним, что функция  y = f(x), определенная на множестве D, называется периодической с периодом T>0, если при каждом xD значение (x+T)D и выполняется равенство f(x+T) = f(x).

      Для построения графика периодической функции периода T достаточно построить его на любом отрезке длины T и периодически продолжить его во всю область определения.

        б) Отметим основные свойства периодической функции.

             1) Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих один и тот же период T, есть периодическая функция с периодом T.

            2) Если функция f(x) имеет период T, то функция f(ax) имеет период T/a.

            3) Если функция f(x) имеет период T и интегрируема на отрезке

 [,]є то    при любых a и b є [,].

Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции sinx и  cosx. Период этих функций равен 2π.

Простейшим периодическим процессом является простое гармоническое колебание, описываемое функцией

                                    y = Aּsin (ωt +),

t ≥ 0, где A – амплитуда колебания, ω – частота,  - начальная фаза. Такую функцию называют простой гармоникой.

При наложении простых гармоник получаем периодическую функцию, описывающую сложное периодическое колебание.

3. Изложение нового материала.

a) Понятие тригонометрического ряда Фурье.

С помощью так называемого тригонометрического ряда практически любую периодическую функцию можно представить в виде ряда, членами которого являются простые гармоники.

Определение. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида

,

где действительные числа  (n = 1,2,…) называются коэффициентами ряда.

Пусть f(x) – произвольная периодическая функция с периодом 2π.

Предположим, что функция f(x)  разлагается в тригонометрический ряд, т.е.

                              f(x) =                                   (1)

Так как функция f(x) имеет период 2π, то ее можно рассматривать в любом промежутке длины 2π. В качестве основного промежутка возьмем отрезок

[-π,π] и предположим, что ряд (1) на этом отрезке можно почленно интегрировать. Вычислим коэффициенты . Для этого проинтегрируем обе части равенства (1) в пределах от -π до π:

Отсюда                              (2)

Умножив обе части равенства (1) на cosmx и проинтегрировав полученный ряд в пределах от -π до π, получим:

Отсюда                

                                              n=1,2,3,4…        (3)

Аналогично, умножив равенство (1) на sinmx и проинтегрировав почленно на отрезке [-π,π], найдем:

                                      ,     n=1, 2, 3, 4,…        (4)

Числа , определяемые по формулам (2)-(4), называются коэффициентами Фурье функции f(x), а тригонометрический ряд с такими коэффициентами – рядом Фурье функции f(x).

Для интегрируемой на отрезке [-π,π] функции f(x) записывают

                                      f(x) ~  

 и говорят: функции f(x) соответствует ее ряд Фурье.

б) Достаточное условие разложимости функции f(x) в ряд Фурье:

Теорема (Дирихле). Пусть 2π –периодическая функция на отрезке [-π,π] удовлетворяет двум условиям:

    1. f(x) кусочно-непрерывна;

    2. f(x) кусочно-монотонна.

Тогда соответствующий функции f(x) ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:

   1. В точках непрерывности функции сумма ряда S(x) совпадает с самой функцией: S(x)=f(x);

   2. В каждой точке  разрыва функции сумма ряда равна

3. В точках x = -π  и  x = π  сумма ряда равна

в) Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.

Если разлагаемая на отрезке [-π,π]  в ряд Фурье функция f(x) является четной или нечетной, то это отражается на формулах коэффициентов Фурье и на виде самого ряда.

Если функция четная, то ее ряд Фурье имеет вид

                                                                          (5)

 где

                  ,             ,           n є N

Если функция нечетная, то ее ряд Фурье имеет вид

                                                                              (6)

 где

                        ,               n є N      

Ряды (5) и (6) называются неполными тригонометрическими рядами, или рядами по косинусам и по синусам соответственно.

4. Решение нескольких примеров на доске.

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=.

 □ Эта функция четная, значит, ряд Фурье будет иметь вид: . Найдем его коэффициенты

f(x)=. ■

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=x в интервале (-π,π)

□ Эта функция нечетная, значит, ряд Фурье будет иметь вид:

  .    Найдем его коэффициенты

.  ■

Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=|x| в интервале (-π,π)

□ Эта функция четная, значит, ряд Фурье будет иметь вид:

. Найдем его коэффициенты

,

если n-четное, то

если n–нечетное, то

тогда .  ■

Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию f(x )= в интервале (-π,π)

  □ Эта функция четная, значит, ряд Фурье будет иметь вид:

. Найдем его коэффициенты

тогда  . ■

5. Заключение урока.

         1) теоретико-прикладные итоги практического занятия; дифференцированная оценка уровня ментального опыта учащихся; уровня усвоения ими темы, компетентности, качества устной и письменной математической речи; уровня проявленного творчества; уровня самостоятельности и рефлексии;  уровня инициативы, познавательного интереса к   отдельным методам математического мышления; уровней сотрудничества, интеллектуальной состязательности, стремления к высоким показателям учебно-математической деятельности и др.;

         2) объявление аргументированных отметок, поурочного балла.

                                             Спасибо за урок!