урок экономических знаний
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Цели урока:

• осознанное понятие формул простого и сложного процентного роста;
• формирование умений решать задачи практической направленности;
• развитие логического мышления, интереса к предметам математики и экономики;
• создание условий для формирования информационной культуры учащихся.

Методы: проблемно-диалогический, частично-поисковый.

Оборудование: компьютер, видеопроектор, экран, калькуляторы.

Предполагаемый результат:

• знание формул простого и сложного процентного роста;
• знание смысла параметров в формулах простого и сложного процентного роста;
• знание отличия формулы простого процентного роста от формулы сложного процентного роста;
• умения использовать экономический способ при решении задач, связанных с банковскими операциями.

Ход урока

Организационный момент.

Учитель математики: Сообщение темы, целей урока, практической значимости рассматриваемой темы.

В современном мире каждому человеку важно владеть определённым объёмом экономических знаний. Вся экономическая деятельность страны, предприятий и фирм, а также отдельно взятой семьи пронизана нитями экономической деятельности. Ведение экономики полностью основано на использовании процентов. Задачи на проценты: на смеси, на процентный прирост, на вычисление сложных процентов окружают нас в повседневной жизни. Каждая хозяйка занимается летом приготовлением разносолов, многие семьи берут ссуду в банке или вкладывают деньги под проценты, покупают товары в рассрочку, выплачивают налоги. Проценты используют и для сравнения различных итогов: качество успеваемости, уровень заболеваемости гриппом. В настоящее время бурно растут экономические ВУЗы и факультеты, задачи на проценты есть и в ЕГЭ.

Актуализация опорных знаний.

Учитель математики:

1) Что такое процент? (Процентом (от лат. “pro cento”) числа называется сотая часть этого числа.)

Справка.( ученик1) Проценты были известны индийцам еще в 5 веке. Это закономерно, так как в Индии с давних пор счет велся в десятичной системе счисления. В Европе десятичные дроби появились на 1000 лет позже, их ввел бельгийский ученый С.Стевин. В 1584 году он впервые опубликовал таблицу процентов. Слово “процент” происходит от латинских слов pro и centum, что означает “со ста”. Знак % произошел, как предполагают благодаря опечатке. В рукописях pro centum часто заменяли словом “cento”- сто и писали его сокращенно- cto. В 1685 году в Париже была напечатана книга- руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto набрал %. После этой ошибки многие математики также стали употреблять знак % для обозначения процентов, и постепенно он получил всеобщее признание. Иногда применяют и более мелкие доли целого - тысячные, то есть десятые части процента. Их называют промилле (от латинского “с тысячи “) и обозначают ‰ .

2) Как найти % от числа? (Данное число умножается на число процентов и полученный результат делиться на 100.)

3) Что значит увеличить величину на 10 %, на 50 %?

4) Что значит найти 10 %, 20 % от величины?

Учитель. Задачи на проценты из ЕГЭ  мы разделили на группы:

 1. Задачи про “цены”

 2.Задачи на процентный прирост, с применением формул простых и сложных процентов.

 3.Задачи на смеси и сплавы

Сегодня мы с вами будем рассматривать второй тип задач, связанный с банковским процентом.

О том, насколько выгоден тот или иной банковский вклад, судят не только по процентной ставке, но и по способу начисления процентов. В банковской практике используются простые и сложные проценты.

Формирование новых знаний учащихся

Перед вами на парте лежат буклеты. Найдите, пожалуйста, задачу1. (Решение задачи анализируем вместе)

Рассмотрим еще одну ситуацию. Банк выплачивает вкладчикам  каждый месяц p% от внесенной суммы. Поэтому, если клиент внес сумму S0, то через 1месяц на его счете будет

S0+S0∙ р :100=S0∙(1+), а через n месяцев  - ()S0, и мы получаем, что Sn=(1+) S0

Эта формула описывает многие конкретные ситуации и имеет специальное название: формула простого процентного роста.

Вернёмся к задаче 1. Найдите по этой формуле сумму вклада через год, 2 года, 3 года, 4 года.

Решение. S1=(1+20:100) ∙ 600=1,2∙ 600=720 (тыс.руб)

                     S2=(1+)∙ 600=1,4∙ 600=840 (тыс.руб)

                     S3=(1+)∙ 600=1,6∙ 600=960(тыс.руб)

                      S4=(1+)∙ 600=1,8∙ 600=1080(тыс.руб)

С простыми процентами все более или менее понятно: проценты начисляются один раз в конце срока вклада.

В банковских договорах процентная ставка указывается за год. Для других периодов (например, месяца) нужно перевести срок вклада в дни использовать для расчета простых процентов следующую формулу:

Sn= S0 * ( 1 + p * (Td / Ty): 100 ), где

Td — срок вклада в днях;

Ty — количество дней в году.

Сложный процентный рост.

В Сберегательном банке России для некоторых видов вкладов принята следующая система начисления денег. За  первый год нахождения внесенной суммы на счете начисляется 20% от нее. В конце года вкладчик может снять со счета эти деньги – «проценты», как их обычно называют.

Если же он этого не сделал, то они присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года 20% начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются «проценты на проценты», или, как их обычно называют, сложные проценты.

Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик через 3 года, если он положил на срочный счет в банк 600 тыс.руб.по ставке 20% и ни разу не будет брать деньги со счета:

20% от 600тыс. руб. составляют 0,2 * 600 = 120 тыс.руб., и следовательно, через год на его счете будет

600 + 120 = 720 (тыс.руб.)

20% от новой суммы 720 тыс.руб. составляют 0,2 * 720 = 144 тыс.руб., и следовательно, через 2 года на его счете будет

720 + 144 = 864 (тыс.руб.)

20% от новой суммы 864 тыс.руб. составляют 0,2 * 864 = 172,8 тыс.руб., и следовательно, через 3 года на его счете будет

864 + 172,8 = 1036,8 (тыс.руб.)

Нетрудно представить себе, сколько при таком непосредственном , «лобовом» подсчёте понадобилось бы времени для нахождения суммы вклада через 10 лет. Между тем, подсчёт можно вести значительно проще.

Именно через год начальная сумма увеличится на 20%, то есть составит 120% от начальной, или, другими словами, увеличится в 1,2 раза. В следующем году  новая, уже увеличенная сумма тоже увеличится  на те же 20%. Следовательно, через 2 года начальная сумма увеличится в 1,2 * 1,2= 1,22 раза.

Еще через один год и эта сумма увеличится в 1,2 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,2 * 1,22 = 1,23 раза. При таком способе рассуждения получаем решение нашей задачи значительно более простое:

1,23 * 600 = 1,728 * 600 = 1036,8 (тыс.руб.)

Решим теперь эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет  p%  годовых, внесённая сумма равна  S0 рублей, а сумма, которая будет на счёте через  n лет, равна  Sn рублей.

p%  от S  составляют  S  рублей, и через год на счёте окажется сумма

S1 = S0 , то есть  начальная сумма увеличится в 1 +  раза.

За  следующий год сумма  S1 увеличится во столько же раз,  и поэтому через два года на счёте будет  сумма

S2 = (1 +) S1 = (1 +) (1+) S0 =(1 + )2 S0.

Аналогично, S3  =(1 + )3 S  и так далее.  Другими словами, справедливо равенство

Sn = (1 + ) n S0.

Эту формулу называют формулой сложного процентного роста, или просто формулой сложных процентов.

Пример1. Какая сумма будет на срочном счёте вкладчика через 4 года, если банк начисляет 10% годовых и внесённая сумма равна 2 000 рублей?

Решение. Подставим в формулу значения процентной ставки  p = 10, количество лет  n = 4 и величину первоначального вклада  S  = 2000, получим:

(1 + )4  * 2000 = 1,14 * 2000 = 1,4641 * 2000 = 2928,2 (рублей).

Ответ: через 4 года на счёте будет сумма 2928,2 рубля

(1 + ) n  - множитель наращения сложных процентов, а процедура наращения называется капитализацией процентов.

() - множитель наращения простых процентов.

Так, если банковская ставка равна 10%, а первоначальная сумма 100 руб., то накопленная сумма за пять лет при применении простых и сложных процентов будет иметь вид:

Таблица . Наращенная сумма с использованием простых и сложных процентов.

Необходимо отметить, что в договоре банковского вклада формулировки «простые проценты» или «сложные проценты» не используются. В этом документе отмечается, когда происходит начисление процентов. Для банковского вклада с простыми процентами используется формулировка «проценты начисляются в конце срока». Если же используется капитализация процентов, указывается, что начисление процентов происходит ежедневно, ежемесячно, ежеквартально или ежегодно.

Какие вклады выгоднее?

Чуть подробнее о периодах. Дело в том, что капитализация происходит не постоянно, а с некоторой периодичностью. Как правило, такие периоды равны и чаще всего банки используют месяц, квартал или год.

Из самой сущности сложных процентов следует, что чем чаще происходит их начисление (при равной процентной ставке), тем более выгодным будет вклад. Воспользуемся приведенной ранее формулой расчета сложных процентов чтобы убедиться в этом. Исходные данные – сумма 10 000 руб., ставка – 12 процентов годовых.

При ежегодном начислении: 10 000 ∙ (1 + 0,12)1 = 11 200 руб.

В данном случае сумма совпадет с суммой, полученной при расчете простых процентов, что вполне закономерно.

При ежеквартальном начислении: 10000∙(1+0,12/ 4)4=11255,09 руб.

При ежемесячном начислении: 10000*(1+0,12 / 12)12 =11268,25 руб.

При ежедневном начислении: 10 000*(1 + 0,12 / 365)365 =11274,75 руб.

Итак, при равной процентной ставке вклад с капитализацией процентов, несомненно, более выгоден. Как следует из примеров, наращенная сумма будет возрастать тем быстрее, чем чаще начисляются проценты. Существует предел

Ученик2. Допустим, имеется вклад под 100% годовых с правом снять вклад в любое время с получением  соответствующей доли прибыли. Вот, наверное, золотая жила!  Ведь мы убедились, что чем чаще кладёшь и берёшь вклад, тем больше оказывается прибыль.

Если ходить в Сбербанк каждый день, то каждый раз вклад будет увеличиваться в 1+ , а за год увеличение составит (1 +)365 раза.

Величина числа (1 +)n  действительно увеличивается с увеличением  n, но не может превзойти числа  е= 2,71828… и стремится к этому числу с увеличением  n.

Число е названо так в честь Леонардо Эйлера. Оно играет важную роль во многих разделах математики.

Итак, даже бегая в Сбербанк каждый час, нам не удастся получить доход больше 172% годовых, если мы примем эту форму вложения денег.    

 Частная формула:   Sn=S0(1+0.01p)n

 S0 – начальное значение некоторой величины;

 Sn – значение, которое получилось в результате нескольких изменений начальной величины;

 n- количество изменений начальной величины; p – процент изменения.

Общая формула: Sn=S0(1+0.01∙p1)*…*(1+0.01∙pn)

 Частный случай применяется тогда, когда некоторая величинаS0 изменяется несколько раз на один и тот же процент. Общая формула используется тогда, когда процент изменения не остается одним и тем же. Знак “+” применяется при подсчете увеличения цены товара. Знак “ - “ применяется при подсчете снижения цены.

Закрепление изученного материала.

Пример 2. Сберкасса выплачивает 3 % годовых. Через сколько лет внесенная сумма удвоится?

Решение. Пусть первоначальная величина вклада составляет А0 рублей. Тогда через п лет эта величина равняется 2А0 рублей.

Ответ: через 23 года вклад удвоится.

Но нередко складываются ситуации, когда нужно решить, что предпочесть: вклады с простыми процентами и более высокой процентной ставкой и вклады с капитализацией и меньшей процентной ставкой. Здесь тот факт, что процент тоже приносят прибыль, оказывается более выгодным лишь до определенного предела. Поэтому торопиться не стоит. Нужно внимательно изучить условия каждого из предлагаемых вкладов и произвести соответствующие вычисления.

Допустим, клиент выбирает между двумя вариантами вложения 10000 руб. денег на срок 1 год:

 вклад с простыми процентами и ставкой в 12 процентов годовых и

 вклад со сложными процентами (ежеквартальное начисление) и ставкой в 10 процентов годовых.

1вариант найдите прибыль в первом случае (уже рассчитана и составляет 1120 руб.)

2 вариант - прибыль для второго случая:

10 000 * (1 + 0,1 / 4)4 – 10 000 = 1 038 руб.

Таким образом, в этом случае вклад с простыми процентами и более высокой процентной ставкой оказывается предпочтительней.

Какой вклад или кредит предпочесть, можно узнать с помощью кредитного калькулятора из Интернета. Сейчас вы сделаете самостоятельную работу, кто закончит, тот садится за компьютер и может попробовать поработать над кредитами.

Проверка знаний учащихся.

Задача 1. В банке открыт срочный депозит на сумму 50 тыс. руб. по 12% на 3 года. Рассчитать наращенную сумму если проценты:

а) простые

б) сложные.

Решение. По формуле простых процентов Sn=(1+3*0.12)*50 000 = 68000 руб.

По формуле сложных процентов  Sn=(1+0.12)3*50 000 = 70246 руб.

Задача 2  Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 рублей на вклад, годовой доход по которому составляет 12%, и решил в течение шести лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на счете через шесть лет?

 Решение.  Применим эту формулу к нашей задаче:

 первоначальный вклад – 2000

 процент годовых - 12

 n – 6 лет, значит           2000(1 + 0,12)6 = 2000*1,126 = 2000*1,973823 = 3947,65

 ОТВЕТ: через 6 лет на счете будет лежать сумма в виде 3947 руб. и 65 коп..

Задача 3(ЕГЭ 2006год)   По пенсионному вкладу банк выплачивает 12% годовых. По истечению каждого года эти проценты капитализируются, то есть начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счет на 80000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимались деньги в течении двух лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?

 Решение: Пусть: S0 – 80000 – начальный вклад

 p – 12% годовых

 n – 2 года, получим:      80000(1+ 0,12)2 = 80000 * 1,122 = 100 352 руб.

 Этим узнали конечную сумму на счете после двух лет. Теперь надо узнать какой доход был получен. Для этого из конечной суммы вычтем начальный вклад.

 100352 – 80000 = 20 352руб.

 ОТВЕТ: по истечении срока был получен доход в размере 20 352 руб.

Задача 4. Решите задачу, которая расположена на обороте буклета.

 Если положить на вклад “Молодежный ” некоторую сумму денег, то ежегодно она увеличивается на 15% от имеющейся на вкладе суммы. Вкладчик положил на этот вклад деньги и два года не пополнял свой вклад и не снимал с него. Сколько рублей положил вкладчик, если через 2 года на его счете стало 15870 рублей?

 Решение:   S0∙ (1+15*0.01)2=15870       S0∙ (1.15)2=15870      S0∙1.3225=15870   S0=12000 (рублей)

 Ответ: 12000 рублей

Задача 5. В банке открыт срочный депозит на сумму 50 тыс. руб. по 12% на 3 года. Рассчитать наращенную сумму если проценты начисляются ежеквартально.

Решение. По формуле сложных процентов Sn = (1+0.12/4)3*4*50 000 = 1.0312*50 000 = 71288 руб

Работа Кредитный        Калькулятор.

Итог урока.      

1) Если при вычислении процентов всё время исходят из   начального значения                    величины, то речь идёт о простых процентах. Формула Sn=(1+) S0

 2) Если при вычислении процентов на каждом следующем шаге,  исходят из величины,  полученной на предыдущем шаге, то говорят о  начислении сложных процентов («процентов  на проценты»). Формула Sn =(1 + )n S0.

3) (1 + ) n  - множитель наращения сложных процентов, а процедура наращения называется капитализацией процентов.

() - множитель наращения простых процентов.

Домашнее задание. Повторить формулы.

В ближайшем банке узнать проценты по вкладам и кредитам.