Линейные неравенства с параметрами
план-конспект урока по алгебре (7 класс) по теме

Урок по теме  «Линейные   неравенства   с   параметрами»

Каждое из неравенств  вида Ах > В,  Ах  <В,  Ах ≥ В,  Ах ≤ В, где А и В -действительные числа  или  функции от   параметров  ,а   х – действительная   переменная  величина, называется линейным неравенством  с  одним  неизвестным (х).

Пример 1.      Неравенство (m-1) х  < 5m – линейное.

При m=1 оно принимает вид:    

0х < 5,

что верно при  любом   действительном  значении  х.

При m > 1  получим   х<  ( 5m) / (m-1),а при  m < 1 получим

 х > (5m)/ (m-1).

Рассмотрим  пример неравенства, приводимого к  линейному.

Пример 2.   Пусть требуется решить относительно х

            (2х-5)/(m-1) –(Х+7)/3  ≤  (3х-2m)/2(m-1).              (1)

При m=1 это неравенство не имеет смысла.

При m >1 ,то есть при m-1 > 0 неравенство (1) равносильно неравенству

         6(2х-5)- 2(m-1)(х+7) ≤3(3х-2m),

или                           (2m-5)х≥-8(m+2).                               (2)

Отсюда, при m>2,5 получим х ≥ -8(m+2)/2m-5;

При 1

При  m=2,5 неравенство (2) принимает вид:

0х ≥-36,

то есть х-любое действительное число.

Если m<1,то m-1<0 и, умножив обе части неравенства(1) на (m-1) и изменив при этом знак неравенства на противоположный, получим неравенство

6(2х-5)-2(m-1)(х+7)≥3(3х-2m)

или                                    (2m-5)х≤-8(m+2),

равносильное  неравенству(1).

Отсюда х≥-8(m+2)/(2m-5),так как 2m-5<0,при m<1.

Таким  образом, мы получили ответ:

При m<1 и при m >2,5  х≥-8(m+2)/2m-5;

При 1

При m=2,5  х -любое  действительное число;

При m=1 неравенство (1) не имеет смысла.  

Пример 3.         2х-m/(m-2)(х+3) – m/(m-2) <3/(х+3).                 (3)

По смыслу задачи m ≠2, х≠-3.

Несложные преобразования приводят к неравенству

                ((m-2)х-(6-7m))/(m-2)(х+3)>0,                                           (3а)  

или         х-((6-7m)/(m-2)) /(х+3) > 0,                                             (3б)

равносильному (3),сводящемуся к совокупности двух систем:

1)Х > (6-7m)  /  (m-2)  и  Х > -3

   2)х < (6-7m) / (m-2) и Х < -3.  

Для выбора решения каждой из них сравним величины

(6-7m) /(m-2) и -3

Для этого рассмотрим разность

      (6-7m) /(m-2) –(-3)= - 4m /(m-2)

-4m /(m-2)<0 при 4m /(m-2)>0,т.е. при m<0 и при m>2;

 -4m /(m-2)=0 при m=0;

-4m /(m-2)>0 при 4m /(m-2) <0,т.е. при 0

Следовательно,

     (6-7m) /(m-2) < -3 при m<0 и при m>2.

     (6-7m) /(m-2)≥ -3 при 0≤m<2.

Ответ: При m<0 и при  m>2   - ∞< х <(6-7m) /(m-2); -3< х <∞;

При 0≤m<2  

 - ∞<х< -3;  (6-7m) / (m-2)   < х < ∞.

Пример 4.  При каких значениях k неравенство

(к-1)х+2к+1>0                                                              (4)

верно при всех значениях х, удовлетворяющих условию -3≤х≤3.

Рассмотрим функцию f(х)=(к-1)х+2к+1.

Она является  линейной при любом действительном значении k, т.е. при любом действительном значении графиком ее служит прямая.(см.рис.)

 Из чертежа видно, что для выполнения неравенства (4) на всем отрезке  [-3;3] достаточно выполнения условия

f(-3)>0 и f(3)>0.

f(-3)=-3(k-1)+2k+1=4-k,

f(3)=3(k-1)+2k+1=5k-2

f(3)>0,f(-3) >0 при 4-к >0 и 5k-2>0, т.е. при 0,4

Упражнения.

1. 3(2a-x)
2. (a+2)x/(a-1)-2/3<2x-1
3. x/(x-2)<2b+1/(b-3)(x-2)
4. (2х-1) /(m+1) –(х+1) /2(m-1)> (2х-3) /(m-1)
5. (ах-3) /(х-3) – а/2 < (а-1)
6. ах / (а-2) –(х-1) /3 < (2х+3) /4.