Арифметическая прогрессия
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

Тема

Арифметическая прогрессия

ЦЕЛЬ:

• научить узнавать арифметическую прогрессию, используя её определение и признак;
• научить решать задачи, используя  определение, признак, формулу общего члена прогрессии.

ЗАДАЧИ УРОКА:

дать определение арифметической прогрессии, доказать признак арифметической прогрессии и научить применять их в решении задач.

МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ:

актуализация знаний учащихся, самостоятельная работа, индивидуальная работа, создание проблемной ситуации.

СОВРЕМЕННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ:

ИКТ, проблемное обучение, дифференцированное обучение, здоровьесберегающие технологии.

ПЛАН УРОКА

ХОД УРОКА:

1. На прошлом уроке мы познакомились с понятием «Последовательность».

Сегодня продолжим изучать числовые последовательности, дадим определение некоторым из них, познакомимся с их свойствами и признаками.

2. Ответьте на вопросы: Что такое последовательность?

Какие последовательности бывают?

Какими способами можно задать последовательность?

Что такое числовая последовательность?

Какие способы задания числовой последовательности вы знаете? Какая формула называется рекуррентной?

3. Даны числовые последовательности:

1. 1, 2, 3, 4, 5, …
2. 2, 5, 8, 11, 14,…
3. 8, 6, 4,  2, 0, - 2, …
4. 0,5;  1;  1,5;  2;  2,5; …

Найдите закономерность каждой последовательности и назовите следующие три члена каждой из них.

1. an = a n -1 +1
2. an = a n -1 + 3
3. an = a n -1 + (-2)
4. an = a n -1 + 0,5

Назовите рекуррентную формулу для каждой последовательности.

Слайд 1

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго,  равен  предыдущему члену, сложенному с  одним  и тем же числом, называется арифметической прогрессией.

Число d  называется разностью арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия  это числовая последовательность, поэтому может быть  возрастающей, убывающей,  постоянной.  Приведите  примеры таких  последовательностей, назовите   разность  каждой  прогрессии,  сделайте  вывод.

Выведем  формулу общего члена  арифметической прогрессии.

На доске: пусть а1-первый член прогрессии, d-её разность, тогда

а2=а1+d

а3=(а1+d)+d=a1+2d

а4=(а1+2d)+d=a1+3d

a5=(a1+3d)+d=a1+4d

an=a1+d(n-1)- формула  п-ого члена  арифметической прогрессии.

Решите задачу: В арифметической прогрессии  первый член равен  5, а разность равна 4.

Найдите 22 член  этой прогрессии.

Ученик решает на доске:  аn=a1+d(n-1)

A22=a1+21d=5+21*4=89

Физкультминутка.

Встали.

Руки на поясе. Наклоны  влево, вправо, (2 раза);

Наклоны  вперёд,  назад (2 раза);

Подняли  руки вверх, глубокий  вдох,  опустили руки  вниз,  выдох. (2 раза)

Встряхнули кисти рук.  Спасибо.

Сели. Продолжаем урок.

Решаем задачи на применение формулы общего члена  арифметической прогрессии.

Учащимся предлагаются  следующие задачи:

1. В арифметической прогрессии  первый член равен -2,  d=3, an=118.

Найти  n.

2. В арифметической прогрессии  первый член равен 7,    пятнадцатый член равен –35. Найти разность.
3. Известно, что в арифметической прогрессии  d=-2,  a39=83.  Найти первый член прогрессии.

Учащиеся  разделены на  группы.  Задание даётся  на 5 минут.  Далее   первые 3 ученика, решившие задачи, решают их на доске. Решение дублируется на слайдах.

Рассмотрим  характеристические свойства  арифметической прогрессии.

В арифметической прогрессии

an-d=a(n-1)

an+d=a(n+1)

Cложим почленно эти два равенства, получим:  2аn=a(n+1)+a(n-1)

An=(a(n+1)+a(n-1))/2

Это значит, что каждый член арифметической прогрессии, кроме первого и последнего равен среднему арифметическому  предшествующего и последующего членов.

ТЕОРЕМА:

Числовая последовательность является арифметической прогрессией  тогда и только тогда, когда  каждый ее член,  кроме первого ( и последнего- в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому  предшествующего и  последующего членов (характеристическое свойство арифметической прогрессии).

Решите задачу:

При каких значениях Х числа  3х+2,  5х-4 и 11х+12 образуют конечную арифметическую прогрессию?

Решение: согласно теореме имеем

5х-4=((3х+2)+(11х+12)):2

10х-8=3х+2+11х+12

4х=-22   х=-5,5    

Домашнее задание.

И так, мы познакомились с последовательностью, которую называют арифметической прогрессией.

Дайте определение арифметической прогрессии.

Что такое разность прогрессии?

Назовите формулу общего члена арифметической прогрессии.

Назовите характеристическое свойство прогрессии.

Учитель объявляет оценки за урок.

Всем спасибо за урок! Желаю успехов!

До свидания!