Презентация по теме:"10 способов решения квадратных уравнений"
презентация к уроку по алгебре (8 класс) на тему

Слайд 1

10 способов решения квадратных уравнений Работу выполнила учитель математики МБОУ «СОШ №31» г.Энгельса Волосожар М.И.

Слайд 2

Способ 1: разложение левой части уравнения на множители. Решим уравнение х 2 + 10х - 24 = 0. Разложим левую часть на множители: х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х ( х + 12) - 2( х + 12) = ( х + 12)( х - 2). Следовательно, уравнение можно переписать так: ( х + 12)( х - 2) = 0 Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х - 24 = 0.

Слайд 3

Способ 2: метод выделения полного квадрата. Решим уравнение х 2 + 6х - 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде: х 2 + 6х = х 2 + 2• х • 3.

Слайд 4

В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х , а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как х 2 + 2• х • 3 + 3 2 = ( х + 3) 2 . Преобразуем теперь левую часть уравнения х 2 + 6х - 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 3 2 . Имеем: х 2 + 6х - 7 = х 2 + 2• х • 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = ( х + 3) 2 - 9 - 7 = ( х + 3) 2 - 16. Таким образом, данное уравнение можно записать так: ( х + 3) 2 - 16 =0, ( х + 3) 2 = 16. Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х 1 = 1, или х + 3 = -4, х 2 = -7.

Слайд 5

Способ 3: Решение квадратных уравнений по формуле. Умножим обе части уравнения ах 2 + b х + с = 0, а ≠ 0 на 4а и последовательно имеем: 4а 2 х 2 + 4а b х + 4ас = 0, ((2ах) 2 + 2ах • b + b 2 ) - b 2 + 4 ac = 0, (2ax + b) 2 = b 2 - 4ac, 2ax + b = ± √ b 2 - 4ac, 2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Слайд 6

Способ 4 : Решение уравнений с использованием теоремы Виета. Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид х 2 + px + c = 0. (1) Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид x 1 x 2 = q , x 1 + x 2 = - p Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

Слайд 7

а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен ( q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p . Если р < 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны. Например, x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 и x 2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0; x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 и x 2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p = 8 > 0. б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен ( q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 . Например, x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 и x 2 = 1, так как q = - 5 < 0 и p = 4 > 0; x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 и x 2 = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.

Слайд 8

Способ 5: Решение уравнений способом «переброски». Рассмотрим квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0, где а ≠ 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + а b х + ас = 0. Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0, равносильно данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х 1 = у 1 /а и х 1 = у 2 /а .

Слайд 9

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат. Пример. Решим уравнение 2х 2 – 11х + 15 = 0. Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у 2 – 11у + 30 = 0. Согласно теореме Виета у 1 = 5 х 1 = 5/2 x 1 = 2,5 у 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3. Ответ: 2,5; 3.

Слайд 10

Способ 6: Свойства коэффициентов квадратного уравнения. Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0, где а ≠ 0. Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х 1 = 1, х 2 = с/а.

Слайд 11

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение x 2 + b / a • x + c / a = 0. Согласно теореме Виета x 1 + x 2 = - b / a , x 1 x 2 = 1• c / a . По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом, x 1 + x 2 = - а + b/a= -1 – c/a, x 1 x 2 = - 1• ( - c/a), т.е. х 1 = -1 и х 2 = c / a , что и требовалось доказать.

Слайд 12

Примеры. Решим уравнение 345х 2 – 137х – 208 = 0. Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х 1 = 1, х 2 = c / a = -208/345. Ответ: 1; -208/345. 2)Решим уравнение 132х 2 – 247х + 115 = 0. Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то х 1 = 1, х 2 = c / a = 115/132. Ответ: 1; 115/132.

Слайд 13

Способ 7:Графическое решение квадратного уравнения.

Слайд 14

Если в уравнении х 2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х 2 = - px - q . Построим графики зависимости у = х 2 и у = - px - q . График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости - прямая .

Слайд 15

.Возможны следующие случаи: прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения; - прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение; - прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.