Презентация на тему - Способы решения тригонометрических уравнений (выполнила 10а класса Рубцова Анна, учитель Давтян Римма Артемовна)
творческая работа учащихся по алгебре (10 класс) на тему

Слайд 1

Способы решения Тригонометрических уравнений Выполнила: Рубцова Анна (10А класс) Учитель: Давтян Римма Артемовна

Слайд 2

Основные способы решения Тригонометрических уравнений Приведение к простейшим тригонометрическим уравнениям Замена переменной Метод понижения порядка уравнения Однородные уравнения Метод преобразования уравнения с помощью тригонометрических формул

Слайд 3

1. Приведение к простейшим тригонометрическим уравнениям – Схема Решения Шаг 1. Выразить тригонометрическую функцию через известные компоненты. Шаг 2. Найти аргумент функции по формулам: cos x = a; x = ± arccos a + 2 π n, n Є Z. sin x = a; x = (-1)n arcsin a + π n, n Є Z. tg x = a; x = arctg a + π n, n Є Z. ctg x = a; x = arcctg a + π n, n Є Z. Шаг 3. Найти неизвестную переменную .

Слайд 4

1. Приведение к простейшим тригонометрическим уравнениям – ПРИМЕР 2 cos (3x – π/4) = -√2. Решение. 1) cos (3x – π/4) = -√2/2. 2) 3 x – π/4 = ±(π – π/4) + 2π n, n Є Z; 3x – π/4 = ±3π/4 + 2π n, n Є Z. 3) 3x = ±3 π/4 + π/4 + 2π n, n Є Z; x = ±3 π/12 + π/12 + 2π n/3, n Є Z; x = ± π/4 + π/12 + 2π n/3, n Є Z. Ответ: ± π/4 + π/12 + 2π n/3, n Є Z.

Слайд 5

2. Замена переменной – Схема Решения Шаг 1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций. Шаг 2. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t). Шаг 3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение. Шаг 4. Сделать обратную замену. Шаг 5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

Слайд 6

2. Замена Переменной – ПРИМЕР 2cos2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0. Решение. 1) 2(1 – sin2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0; 2sin2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0. 2) Пусть sin (x/2) = t, где | t| ≤ 1. 3) 2t2 + 5t + 3 = 0; t = 1 или е = -3/2, не удовлетворяет условию | t| ≤ 1. 4) sin (x/2) = 1. 5) x/2 = π/2 + 2π n, n Є Z; x = π + 4π n, n Є Z. Ответ: x = π + 4π n, n Є Z.

Слайд 7

3. Метод понижения порядка уравнения – Схема Решения Шаг 1. Заменить данное уравнение линейным, используя для этого формулы понижения степени: sin2 x = 1/2 • (1 – cos 2x); cos2 x = 1/2 • (1 + cos 2x); tg2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x). Шаг 2. Решить полученное уравнение с помощью методов I и II.

Слайд 8

3. Метод понижения порядка уравнения – ПРИМЕР cos 2x + cos2 x = 5/4. Решение. 1) cos 2x + 1/2 • (1 + cos 2x) = 5/4. 2) cos 2x + 1/2 + 1/2 • cos 2x = 5/4; 3/2 • cos 2x = 3/4; cos 2x = 1/2; 2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z; x = ±π/6 + πn, n Є Z. Ответ: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Слайд 9

4. Однородные уравнения – Схема Решения Шаг 1. Привести данное уравнение к виду a) a sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени) или к виду б) a sin2 x + b sin x • cos x + c cos2 x = 0 (однородное уравнение второй степени). Шаг 2. Разделить обе части уравнения на а) cos x ≠ 0; б) cos2 x ≠ 0; и получить уравнение относительно tg x: а) a tg x + b = 0; б) a tg2 x + b arctg x + c = 0. Шаг 3. Решить уравнение известными способами.

Слайд 10

4. Однородные уравнения – ПРИМЕР 5sin2 x + 3sin x • cos x – 4 = 0. Решение. 1) 5 sin2 x + 3sin x • cos x – 4(sin2 x + cos2 x) = 0; 5sin2 x + 3sin x • cos x – 4sin² x – 4cos2 x = 0; sin2 x + 3sin x • cos x – 4cos2 x = 0/cos2 x ≠ 0. 2) tg2 x + 3tg x – 4 = 0. 3) Пусть tg x = t, тогда t2 + 3t – 4 = 0; t = 1 или t = -4, значит tg x = 1 или tg x = -4. Из первого уравнения x = π/4 + π n, n Є Z; из второго уравнения x = -arctg 4 + π k, k Є Z. Ответ: x = π/4 + π n, n Є Z; x = -arctg 4 + π k, k Є Z.

Слайд 11

5. Метод преобразования уравнения с помощью тригонометрических формул – Схема Решения Шаг 1. Используя всевозможные тригонометрические формулы, привести данное уравнение к уравнению, решаемому методами I, II, III, IV. Шаг 2. Решить полученное уравнение известными методами.

Слайд 12

5 . Метод преобразования уравнения с помощью тригонометрических формул – ПРИМЕР sin x + sin 2x + sin 3x = 0. Решение. 1) ( sin x + sin 3x) + sin 2x = 0; 2sin 2x • cos x + sin 2x = 0. 2) sin 2x • (2cos x + 1) = 0; sin 2x = 0 или 2 cos x + 1 = 0; Из первого уравнения 2 x = π/2 + π n, n Є Z; из второго уравнения cos x = -1/2. Имеем х = π/4 + π n/2, n Є Z; из второго уравнения x = ±( π – π/3) + 2π k, k Є Z. В итоге х = π/4 + π n/2, n Є Z; x = ±2 π/3 + 2π k, k Є Z. Ответ: х = π/4 + π n/2, n Є Z; x = ±2 π/3 + 2π k, k Є Z.

Слайд 13

СПАСИБО