Индивидуальный маршрут по теме: "разложение многочлена на множители".
методическая разработка по алгебре (7 класс) на тему

Индивидуальный маршрут по теме:

«Разложение многочленов на множители».

Разделы темы:

1. Вынесение общего множителя за скобки.
2. Способ группировки.
3. Формула разности квадратов.
4. Квадрат суммы. Квадрат разности.
5. Применение нескольких способов разложения многочлена на множители.

Вынесение общего множителя за скобки.

1. Вопросы и задания.

а) Что называется одночленом? Приведите примеры.

б) Какие действия с одночленами можно выполнять?  Приведите примеры.

в) Что называется многочленом? Приведите примеры.

г) Что называется степенью? Приведите примеры.

д) Повторить свойства степени. Приведите примеры

 2. Выполните устно.

а)  Прочитайте и упростите выражения: 17· 3 + 17· 7;  213· 27 - 213· 17; 3а + 8а;  у + 7у – 3у. Чем вы заменили данные выражения?  Какое преобразование вы выполнили? На каком законе умножения оно основывается? Запишите распределительный закон умножения с помощью букв.

б) Найдите НОД чисел 6 и 9, 18 и 2, 11 и 33, 20 и 4, 9 и 12.

в) Выполните деление: 3а2  : а;    6а3 : 3а2 ;    х5у3: х4у2;    х5у3: х5у3.

г) При каких значениях а  и в  верно равенство а· в = 0 ?

3. Ознакомьтесь с материалом.

 а) Преобразование многочлена в произведение двух или нескольких многочленов называется разложением многочлена на множители. Существует несколько способов разложения на множители. Рассмотрим способ разложения на множители путем вынесения общего множителя за скобки.

 б) Приведем примеры вынесения общего множителя за скобки:

 8с – 4х= 4·2с - 4· х = 4 ( 2с - х)

 5а2 + 7а3в= 5· а2 + 7ав · а2 = а2 (5 + 7ав)

 4ху – 8ху2 + 4х2у2= 4ху· 1 – 4ху· 2у + 4ху· ху = 4ху (1 – 2у + ху)

в) Правило вынесения общего множителя за скобки:

   1) находится общий множитель:  определяются   НОД коэффициентов, одинаковые буквы, входящие в состав  одночленов, выделяется степень с одинаковым основанием с меньшим показателем;

   2) вынести общий множитель за скобки;

  3) разделить каждый член многочлена на общий множитель и записать новый многочлен в скобках. Подчеркнуть, что слагаемых в скобках должно быть столько, сколько в исходном многочлене;

  4) устно сделать проверку умножением.

4.Задание: Разложить на множители:

                  1) 5х2 + 2х – 3;  2)  - 2 y2 + 5 y + 7;   3) 6х2 – 13 х + 6;   4)  - m2 + 5 m + 6.

Способ группировки.

1. Вопросы и задания.

  а) Выполнить задание: Вспомните правила заключения в скобки.

Заключите в скобки все слагаемые, начиная с числа х ( или –х), поставив перед скобкам знак «+»:  1) 2а- в +х +с   2)2а – х + в – с.

 б) Заключите в скобки все слагаемые, начиная с числа х ( или –х), поставив перед скобкам знак  «-»: 1) в – 2п + х – к    2) к– х + 2п – р.

 в) Можно ли разложить на множители вынесением общего множителя за скобки многочлен 2вх- 3ау- 6ву+ах?  Почему?

 г) Разобрать задачу 1 из п.20 учебника. На основании каких законов выполнено разложение на множители? Как называется новый способ разложения на множители?

 д) Записать переместительное, сочетательное свойства сложения и умножения в общем виде, с помощью букв, а также распределительное свойство умножения.

 е) Сформулировать алгоритм разложения на множители способом группировки:

    1) Объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общий множитель в виде одночлена;

    2) Вынести этот общий множитель за скобки;

    3) Если получился общий множитель в виде многочлена, то вынесите его за скобки и задание считается выполненным. В противном случае слагаемые предстоит перегруппировать иным способом.

2. Задание.

а) Разложите на множители способом группировки многочлен х2у2 +ху – у3 – х3 двумя способами.

б) Решите уравнение х3 +х = о

в)  Вычислите15 ·3 +17· 8 + 7· 15 – 17· 7

г) Разложите на множители многочлен:  ах + 2а – 3х – 6

Формула разности квадратов.

1. Вопросы и задания:

 а) Прочитайте выражения: р- п , а +в,  в2 + а2, а2 - в2; 2ав.

 б) Выполните умножение: (2в -р) (3+а), (5+х) (5- х).

 в) Записать в виде алгебраического выражения:

- сумму числа Х и квадрата числа У;  

- разность квадратов чисел Х и У;

- квадрат разности чисел Х и У.

 г) Выполните умножение двучленов и приведите подобные слагаемые: (р –к) (р +к), (2 – х) (2 +х), (3а+в) (3а- в).

2. Изучение нового материала.

 а) Запишите правило умножения в общем виде: (а – в) ( а + в) = а2 – в2, где а и в – любые одночлены.

 Эта формула называется формулой сокращенного умножения и используется в преобразованиях алгебраических выражений, упрощении  вычислений.

 б) Найти в п.21 геометрическое доказательство этой формулы.

 в) Если полученную формулу применить справа налево, то  получим формулу « разность квадратов», которую будем применять для разложения двучлена такого вида на множители. Разложение двучлена на множители по этой формуле есть 3-й способ разложения многочленов на множители. Образец: а4 – в2= (а2 – в) ( а2 + в), 100п2 – 0, 81 у6 = (10 п)2 – (0,9 у3)2 = (10п- 0,9у3) ( 10п + 0,9у3)

3. Задание:

 а) Сформулируйте правило умножения суммы двух одночленов на их разность. Как называется эта формула? Где применяется? Приведите примеры.

 б) Сформулируйте правило разложения на множители  разности квадратов двух двучленов. Приведите примеры.

  4. Выполнить упражнения:

 а) Представьте выражение в виде квадрата: в4, х6, а20, 4а2, 0,01х6, 1/9а2в2, 16к2.

 б) Составьте из этих одночленов разность квадратов и разложите полученные двучлены на множители.

 в) Решите уравнение: х2 – 9 = 0 (напомнить учащимся, что уравнение такого вида является квадратным).

 г) Вычислите: (30 – 1) (30 + 1);  201· 199;  50,72 – 50,62.

 д) Сократите дробь 11/ (282 – 272)

 Квадрат суммы. Квадрат разности.

1. Вопросы и задания:

 а) Прочитайте выражения: а2 – в2; (а- в)2, а3 – в3, 2ав, 3рк, (а+ в)2.

 б) Найдите квадраты одночленов: 3/4,  у, 2х, 0,5в3. Что называется степенью числа а с натуральным показателем n?

 в) Выполните умножение и приведите подобные слагаемые: (в + 5) (в – 3); (а – к) (2к +а), (в +3)2

г) Запишите удвоенное произведение одночленов р и к, 3а и в, 1/4а и с.

д) Запишите квадрат суммы одночленов а и 2в. Возведите полученный двучлен в квадрат.

е) Запишите квадрат разности одночленов 3к и р. Возведите полученный двучлен в квадрат.

ж) Сравните полученные результаты, сколько слагаемых входит в сумму7 Что собой они представляют? Приведите подобные слагаемые. Нельзя ли сразу получать в ответе многочлен стандартного вида, чтобы не делать промежуточные вычисления? Постарайтесь сформулировать правило возведения двучлена в квадрат. Запишите с помощью букв, чему равен квадрат двучлена: (а + в)2 = а2 + 2ав + в2,  (а- в)2= а2 – 2ав +в2. 

з) Проговорить правило несколько раз. Эта формула также является формулой сокращенного умножения. Область применения.

и) Найдите в тексте п. 22 геометрическую интерпретацию этой формулы. (Найти площадь квадрата со стороной (а + в) двумя способами).

2.Выполнить задания: 

а) Разложите на множители многочлены (письменно):

 0, 64а2в2 – 100;      а2в2 + ав – ав2,  8ах +16ау -3вх -6ву.

в) Запишите формулы сокращенного умножения.

г)  Выполните действия: (3а –в) (3а + в),   (4в  + 5а)2 (-4в – 5а)2

Применение нескольких способов разложения многочлена на множители.

1. Вопросы и задания:

   а) Упростите выражения: (а –в) (а + в) + в2;      (а + в)2 – 2ав;    (х+ 7)2 – 10х;   р2 + (с- р) (с+р ).

   б) Разложите на множители: 3а – 6;   а2 + 2ав + в2;  4а2 – 4в2;   1 – 2х + х2;   а3 – 5а2 + а;   1/9х4 – у6;   2а – 4к + а – 2к. Обратите внимание, что к некоторым многочленам можно применить сразу несколько способов разложения многочлена на множители.

в) Найти в объяснительном тексте учебника (п.23) алгоритм разложения многочлена  на множители несколькими способами.

г) а) Упростите  выражение 1) 3 (х + у)2 – 6ху,   2) (у- 4) ( у + 4)  - у ( у + 2).

    б) Разложите на множители: 1) 5р2к – 10рк2   2) 1- 64в2,   3) а3 – 4а    4) 9а2 – 12а + 4

    в) Решите уравнение: 1) 5х2 + х =0   2) 100 – в2 = 0

Подготовка к контрольной работе.

1. Устная работа

 - Что значит «разложить на множители?

 - Представить выражение в виде произведения: к2 – в2;  а2 – ав;   а2 – 2ав + в2.

 - Докажите, что 272 – 142  делится на 13.

 - Вычислите р2 + 6р + 9  при р = -4.

 - Найдите все значения а, при которых верно равенство (а – 6)2 = а – 6.

 -Упростите выражение  2 (в- р)2  - (в – р) (в+ р)

2. Найдите соответствие и проведите стрелки:

 3.  Найдите ошибки: 1) (а – в)  (а – в) =а2 – в2,  2) (а + в)2= а2 + а ·в + в2, 3)  (а – в) (а + в) = а2 + в2

 4. Продолжите фразы:

   - Произведение суммы двух одночленов на их разность равно……..

   - Квадраты противоположных выражений……..

   - Квадрат разности равен………

   -Формулы сокращенного умножения позволяют……

5. Решите уравнения :1) х2 – 4 = 0,  2)1/9 х2 = 0,81,  3)( 5 – х )2 = 16,  4) х2 + 6х + 9 = 0,    5)  х3 – 4х2 – х + 4 =0.

6. Найдите значение выражения : (а – 2в)2 – ( а + 2в)2  при а =0,1;  в = - 4.

Выполните контрольную работ на тему «Разложение на множители вынесением общего множителя за скобки и способом группировки».

 1 вариант

№1.Разложите на множители:

 а) 2х2 – ху;                    г) 2а (а- 1) + 3 (а- 1);

 б) ав + 3ав2;                  д) 4х – 4у + ах – ау.

 в) 2у4 +6у3 – 4у2;

№2. Представьте в виде произведения:

  а) 2а2в2 – 6ав3 + 2а3в;         в) 3х – ху – 3у + у2;

  б) а2 (а – 2) – а ( а – 2 )2;      г)ах – ау +су – сх + х – у.

№3. Найдите значение выражения:

   ху – х2 – 2у + 2х  при х = 2/3, у = 3,5

№4 (дополнительное):

 Доказать, что если натуральное число при делении на 4 дает в остатке 2, то это число четное.

2 вариант

№1.Разложите на множители:

а) 6а2 + ав – 5а;      г)3х (х + 2) – 2(х + 2);

б) 7х2у – ху2;         д) ав+ 2ас +2в + 4с.

в) 12с5 + 4с3;

№2. Представьте в виде произведения:

а) 3х3у + 6х2у2 – 3х3у2;       в) 2а + ав – 2в – в2;

б) х2 (1 – х) +х (х – 1)2;        г) 5а -5в –ха + хв –в +а.

№3. Найдите значение выражения:

4а -4с + ас –а2     при а= 1/3 , с= -1,5

№4(дополнительное):

  Доказать, что сумма двух последовательных четных степеней числа 3 оканчивается нулем.