"Уравнения второй степени с параметром"
рабочая программа по алгебре (9 класс) на тему

Институт непрерывного педагогического образования

Программа элективного курса

по математике для учащихся 9 классов

Уравнения второй степени с параметром

        Работа учителя математики

средней общеобразовательной школы №3

г. Мензелинска

Газизуллиной Альфии Хасановны

г. Набережные Челны  2012 г.

Пояснительная записка

Элективный курс посвящён одной из самых важных тем «Квадратные уравнения». При решении многих заданий, например, тригонометрических, логарифмических, показательных уравнений и неравенств, приходится обращаться к нахождению корней квадратного трёхчлена, области значений квадратичной функции, определению знака квадратного трёхчлена. В последнее время в материалах выпускных экзаменов, ЕГЭ и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения предлагаются задания по теме: «Уравнения второй степени», содержащие параметр. Задачи такого типа вызывают затруднения у учащихся, так как практических заданий по данной теме в школьных учебниках мало. Данный курс устраняет эти пробелы, дает алгоритм решения уравнения с параметром.

Значительная часть элективного курса посвящена рассмотрению вопросов о существовании корней уравнений второй степени, их количестве, расположении на числовой прямой. В начале каждой темы приводится необходимый теоретический материал. Имеется достаточное количество упражнений с решениями, заданий для самостоятельной работы, есть ответы и решения более сложных задач. Последовательность заданий составлена так, что при определенной организации учебного процесса школьники будут приобщаться к исследовательской деятельности. Поэтому необходимо использование самостоятельной творческой работы учащихся.

Предлагаемый курс расширяет спектр задач на решение уравнений второй степени. Новые свойства, теоремы, входящие в элективный курс, позволяют решать уже знакомые задачи новым оригинальным способом. Все это должно располагать к самостоятельному поиску и повышать интерес к изучению предмета. Представляя возможность осмыслить свойства и их доказательства, учитель развивает математическую интуицию, конструктивное мышление, без которых немыслимо творчество.

 Курс предназначен для учащихся 9 классов средних общеобразовательных учреждений, реализующих предпрофильную подготовку. Рассчитан на 16 часов аудиторского времени.

Цель: создание условий для обоснованного выбора учащимися профиля обучения в старшей школе через оценку собственных возможностей в освоении математического материала  на повышенном уровне на основе расширения знаний об уравнениях второй степени с параметром.

Задачи:

• формирование элементарных навыков решения уравнений второй степени с параметром;
• закрепление основ знаний о решении уравнений второй степени;
• знакомство с новым теоретическим материалом, не входящим в школьный курс;
• формирование умений вычленять главное, устанавливать причинно-следственные связи, самостоятельно пополнять полученные знания;
• включение учащихся в поисковую деятельность как фактор личностного развития;
• развитие практических умений учащихся через самостоятельное решение.

Включенный в программу материал представляет познавательный интерес для учащихся и может применяться для разных групп школьников вследствие своей обобщенности и практической направленности. Развертывание учебного материала четко структурировано и соответствует задачам курса.

Установление степени достижения учащимися промежуточных и итоговых результатов производится на каждом занятии благодаря использованию практикумов, самостоятельных работ, консультаций.

Формой итоговой аттестации учащихся является зачет.

Требования к усвоению курса.

Учащиеся должны знать:

• определение квадратного трехчлена, квадратичной функции, уравнения второй степени с параметром;
• определение основных свойств квадратичной функции (область определения, область значений, четность, возрастание, наибольшее и наименьшее значения).

Учащиеся должны уметь:

• распознавать тип уравнения второй степени с параметром;
• применять методы решения уравнений второй степени с параметром;
• применять знания свойств квадратичной функции при решении уравнений с параметром.

Учебно-тематический план

Содержание

Тема 1. Квадратные уравнения

На первом занятии учащимся сообщается цель и значение элективного курса, систематизируются знания учащихся. Далее вводятся определения уравнения с параметром, области определения уравнения с параметром. Определения квадратного трёхчлена и квадратного уравнения. Решение уравнений выделением квадрата двучлена. Решение квадратных уравнений по формуле. На практическом занятии рассматриваются решения уравнений.

Тема 2. Неполные квадратные уравнения

Вводится определение неполного квадратного уравнения. Приводятся методы решения неполных квадратных уравнений. Полезно выделить время для самостоятельной работы, так как задания, предлагаемые учащимся способствуют овладению навыками решения неполных квадратных уравнений.

Тема 3. Теорема Виета

При изучении этой темы дается формулировка теоремы Виета. Приводятся примеры применения теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета. Задачи для самостоятельной работы приобщают к исследовательской деятельности, дают возможность найти общий подход к решению уравнений второй степени с параметром, используя теорему Виета.

Тема 4. Знаки корней квадратного уравнения

На этом занятии учащиеся обучаются определению знаков корней квадратного уравнения в зависимости от значения параметра. Рассматриваются различные способы решения одного уравнения с параметром. Также приводится пример уравнения, при решении которого рассматриваются несколько случаев,

 т. е. когда значение корня уравнения зависит от значения параметра.

Тема 5. Расположение корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра

При изучении этой темы выделяются два наиболее распространенных  типа задач, связанных с расположением корней квадратного уравнения: относительно заданной точки и относительно числового промежутка. Вводятся теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена относительно заданной точки или заданного числового промежутка. Практические занятия дают возможность закрепить изученные теоремы, выработать навыки решения аналогичных уравнений. Приводятся задания для самостоятельной работы учащихся.

Тема 6. Наименьшее и наибольшее значения квадратичной функции

При изучении последней темы элективного курса на первом занятии вводятся обозначения наименьшего и наибольшего значений квадратичной функции, выводится алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений квадратичной функции, рассматриваются  решения задач на нахождение max и min функций. Второе занятие по данной теме предполагает практикум, третье занятие – самостоятельную работу.

Литература

Амелькин. В. В., Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами.- Минск: Высшая школа,2003.

Беляева Э. С., Потапов А. С., Титоренко С. А. Уравнения и неравенства второй степени с параметром и к ним сводимые. Пособие для учителей и учащихся.-М.: Наука, 2004 .

Вавилов В. В Мельников И. Н., Олёхин С. В., Насиченко П. И. Задачи по математике. Начала анализа: справочное пособие. -  М.: Педагогика, 2005 .

Горштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С. Задачи с параметрами.- М.: Педагогика, 2003 .

Данкова И. Н., Занина О. В., Савинков Ю. А. Тематическое планирование и дидактические материалы.-М.: Педагогика, 2003 .

Кушнир И. И. Уравнения.- Ростов-на-Дону: Феникс, 2002 .

Ткачук В. В. Математика – абитуриенту. М.: Астрель,2003 .

Шарыгина И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10 класса средней школы. -М.: Просвещение, 2003.

Ястребинецкий Г. А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры.- М.: Дрофа, 2001 .

Материал для занятий

Занятия 1, 2. Квадратные уравнения

        Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами («параметр» с греч. parametron – отмеривающий).

        В математике параметр – это постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая свое постоянное значение лишь в условиях данной задачи. Числовые значения этой величины позволяют выделить определенный элемент (кривую) из множества элементов (кривых) того же ряда. Например, в уравнении х2 + у2 = r2   величина r является параметром окружности.

        В задачах с параметрами наряду с неизвестными фигурируют величины, численные значения которых хотя не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом параметры, входящие в условие, существенно влияют на логический и технический ход решения и форму ответа. Интересны часть решения и форма ответа задачи – выявить как зависит ответ от параметра.

        С параметрами мы встречались, когда вводили понятия:

• функция прямая пропорциональность:    

                                       y = kx     (x и y – переменные, k – параметр, k ≠ 0);

• линейная функция:

                                       у = kх + b    (k, у – переменные; k и b – параметры);

• линейное уравнение:

                                        а х + b = 0   (х – переменная, а и b – параметры);

• уравнение первой степени:

                                      ах + b = 0    (х - переменная, а и b параметры, а ≠ 0);

• квадратное уравнение:

                    ах2 + bх + с = 0  (х – переменная, а, b и с –параметры, а ≠ 0).

Определение. Пусть дано равенство с переменными х и а  f (х, а) = 0. Если ставится задача для каждого действительного значения а решить это уравнение относительно х, то f(х, а) = 0 называется уравнением с переменной  х и параметром а.

        Под областью определения уравнения f (х, а) = 0 с параметром а будем понимать все такие системы значений х и а, при которых f(х, а) имеет смысл.

        Решить уравнение f(х, а) = 0 с параметром а – значит для каждого действительного значения  а найти все решения данного уравнения или установить, что их нет.

        Договоримся, все значения параметра а, при которых f (х, а) не имеет смысла, включить в число значений параметра, при которых уравнение не имеет решений.

Многочлен ах2 + bх + с, где а ≠ 0; а, b, с –действительные числа, называют квадратным трехчленом.

        Уравнение вида ах2 + bх + с = 0; где а ≠ 0  а; b; с –действительные числа, называется квадратным.

        Число     Д = b2 – 4ас        называется дискриминантом квадратного трехчлена ах2 + bх + с, а также дискриминантом уравнения ах2 + bх + с = 0   ( 1 ).

Проведем тождественное преобразование, которое называется выделением полного квадрата.  Т. к. а ≠ 0; то

ах2 + bх + с = а ( х2 + · х + ) = а ( х2 + 2х+-+) =

= а((х+)2 - ).

Уравнение (1) равносильно уравнению

а (( х + ) 2 -  ) = 0;   (а ≠ 0)  (2).

Решим уравнение (2):

( х + ) 2 -  ) = 0

( х + )2 -  = 0

В зависимости от значения дискриминанта Д возможны 3 случая:

1. Д < 0.  Так как при любом числовом значении  х число  (х + )                                           неотрицательно, а число (– ) положительно, то число (х + )2  

 также положительно и поэтому не может равняться нулю. А это  означает, что уравнение (2) и равносильное ему уравнение (1) не имеет действительных корней.

2. Д = 0. Тогда уравнение (3) принимает вид:

 (х + )2  = 0 ,  (а ≠ 0).

Это уравнение равносильно уравнению первой степени: х +  = 0,   (а ≠ 0).

Следовательно, если Д = 0, то уравнение (3) имеет единственное решение

х = −;

3. Д > 0, Тогда Д = ()2, поэтому выражение, стоящее в левой части уравнения (3) можно рассматривать как разность двух квадратов:

     (х + )2     и  ()2.    

   (( х + ) + ) ((х + ) −  ) = 0.

Это уравнение равносильно совокупности решений:

  х +  +  = 0   а ≠ 0,           х + -  = 0,  а ≠ 0.

Очевидно, это уравнение (3) и равносильное ему уравнение (1) в этом случае имеют два корня:

     х1 =  ;             х2 = ;      (а ≠ 0)

Итак, квадратное уравнение  ах2 + bх + с = 0; где а ≠ 0, не имеет действительных корней, если его дискриминант отрицателен, имеет только два действительных корня, если дискриминант положителен, и имеет только одно решение (или два равных корня), если дискриминант равен нулю.

Практические советы

1. Если второй коэффициент (b) четный  (b = 2к), то для нахождения корней удобно пользоваться формулами:

               х1,2 = ,     а ≠ 0.

2. Старайтесь по возможности «работать» с квадратным трехчленом, у которого старший коэффициент а положителен. Этого всегда можно добиться при решении уравнений, неравенств с числовыми коэффициентами. Если а = 0 , то уравнение   ах2 + bх + с = 0 является линейным, bх + с = 0.     Если b = 0 и с = 0, то решением уравнения ах2 + bх + с = 0 является любое действительное число.                

    Если  b ≠ 0, то единственное число     х =  − .

       Рассмотрим пример решения уравнения.

1. Определить все значения параметра  а, при котором уравнение

2ах2 − 4 (а + 1) х + 4а + 1 = 0   имеет один корень.

Решение: Если  а = 0, то данное уравнение является линейным  − 4х  + 1 = 0   с единственным корнем  х = .   Если а ≠ 0, то исходное уравнение является квадратным и имеет единственное решение при Д = 0.  Т. к. второй коэффициент четен (к = − 2 (а + 1)), то  = 4 (а + 1) 2 − 2а (4а + 1) =

= 4а2 + 8а + 4 − 8а2 − 2а = − 4а2 + 6а + 4;

    2а2 − 3а − 2 = 0,

                а1 = − ;       а2 = 2.

        Ответ:  0;  −  ;   2.

    Определение. Квадратный трехчлен, у которого первый коэффициент равен единице, называется приведенным квадратным трехчленом.

     Общепринято второй коэффициент приведенного квадратного трехчлена обозначать p, а его свободный член q, т. е. приведенный квадратный трехчлен имеет вид         х2 + pх + q.

     Квадратное уравнение вида    х2 + pх + q = 0    называется приведенным квадратным уравнением.

        Занятия 3, 4. Неполные квадратные уравнения

1. Если а ≠ 0,   b = 0,  с ≠ 0, то квадратное уравнение ах2 + bх + с имеет вид ах2 + с = 0.  Т. к.  а ≠ 0, то  х2 = −,  при условии  − > 0 имеем:

     │х│ = ;  т. е.      х1 = − ;             х2 = .

      Следовательно, если в квадратном уравнении   ах2 + bх + с = 0    b = 0,

  с ≠ 0   и уравнение имеет корни, то они равны по абсолютной величине, но противоположны по  знаку.

2. Если а ≠ 0; b ≠ 0; с = 0, то уравнение ах2 + b х + с = 0 имеет вид

ах2 + bх = 0

Последнее уравнение равносильно совокупности уравнений: х = 0 и  

ах + b = 0.  В этом случае уравнение  ах2 + bх + с = 0   имеет два корня:

                   х1 = 0;             х2 =  ;      (а ≠ 0)

Таким образом, если в квадратном уравнении  ах2 + bх + с = 0  (а ≠ 0)  свободный член равен нулю, то такое квадратное уравнение обязательно имеет нулевой корень.

        Рассмотрим примеры решения уравнений.

2. Определите, при каких значениях k один из корней уравнения

х2 + (k − 1)х + k2 − 4 = 0      равен нулю.

  Решение: Если свободный член равен нулю, то один из корней уравнения

  х2 + (k − 1)х + k2 − 4 = 0 будет нулевой.

Следовательно, если k = 2  или  k = − 2, то данное уравнение имеет один корень, равный нулю.  

Ответ: − 2; 2.

3.   Определите при каких значениях n уравнение       х2 − 4х − 1 − nх + 2n = 0  имеет корни, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку.

        Решение: Запишем квадратный трехчлен, стоящий в левой части в стандартной канонической форме:        х2 − (4 + n) х + 2n − 1 = 0.    Для выполнения поставленной задачи  должны выполняться условия:

      4 + n = 0   (А),

     2n − 1 < 0  (В).

Условие (А):   n = − 4 удовлетворяет условно (В): n <.  Значит, при  n = − 4 данное уравнение имеет корни, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку.

     Ответ: − 4.

4.Решите уравнение y (py − 4) = 0.

Решение: Это уравнение   равносильно совокупности уравнений:

у = 0,

 ру = 4.

Если р = 0, то второе уравнение совокупности не имеет корней и решением совокупности будет у = 0. Если р ≠ 0, то у = 0  или  у = .

Ответ: если р  (−∞; 0)  (0; 1)  (1; + ∞),  то у = 0;  у + ;  если р = 0, то  

у = 0;  если р = 1, то у  R.

        Уравнения для самостоятельной работы

1. 8х2 − а − 2 = 0.
2. (10 − а) х2  − 1 = 0.
3. (m + 9) х2 − mх − 3х = 0.
4. х ( ах + 2) = 0.

Занятия 5, 6. Теорема Виета

     Теорема. Для того, чтобы числа х1 и х2 были корнями уравнения                  ах2 + bх + с = 0 необходимо и достаточно выполнения равенств:

            х1 + х2 = ;               х1 ∙ х2 =  .

Здесь сформированы два утверждения – прямое и обратное.

5. Не решая уравнения     х2 − (2а + 1)х + а2 + 2 = 0  найдите, при каком а один из корней в два раза больше другого.

        Решение: Пусть   х1 и х2   -  корни исходного  уравнения. По условию   х1 = =2х2 .Чтобы найти корни  х1 и х2 ,  удовлетворяющие условию задачи необходимо решить систему:  

Д > 0,

х2 + 2х2  = 2а + 1,

х2∙2х2  = а2 + 2;

4а − 7 > 0,             а > 7/4 ,                            а>7/4,

 х2= ,             ;           а=4;

х2 2 = ;

Ответ : 4.

6. При каком значении параметра а сумма обратных величин действительных корней уравнения    2х2 − 2ах + а2  − 2 = 0  равна  ?

Решение: Корни исходного уравнения могут существовать  при условии

 ≥ 0    или      а2  − 2 (а2  − 2) ≥ 0,

− а2  + 4 ≥ 0;      а2  − 4 ≤ 0,             − 2 ≤ а ≤ 2.

Пусть  х1, х2     - корни данного уравнения.

Согласно теореме Виета:  

 х1 + х2  = а,

х1 ∙ х2  = .

По условию :   

Используя равенство (1), имеем: ;       а2  − 3а  −  2 = 0.

Следовательно, сумма обратных величин действительных корней заданного уравнения равна  при условии

а2  − 3а  − 2 = 0,                      а =,

− 2 ≤ а ≤ 2;            или             а = ,

                                                  − 2 ≤ а ≤ 2.

Ответ:    а =.                        

7.   Найдите все значения а, при которых сумма квадратов корней уравнения             х2  − ах  + а  + 7 = 0   равна 10.

Решение: Корни исходного уравнения существуют, если  Д ≥ 0 или  

а2  − 4 (а + 7) ≥ 0,   а2  − 4а −  28 ≥ 0,

а  (−∞; 2 − 4]  [2 + 4; + ∞)

Пусть х1 и х2  - корни данного уравнения. Запишем для них теорему Виета:               х1 + х2  = а,

х1 ∙ х2  = а +7.

х12 + х22  = (х1 + х2) 2 − 2х1 ∙ х2 = а2 − 2 ( а + 7).

По условию сумма этих квадратов равна 10:

а2 − 2а − 14 = 10,

а2 − 2а − 24 = 0,

а = 6 или а = − 4

При а = 6 дискриминант исходного уравнения отрицателен. Следовательно,

 а = − 4.

       Ответ:   а = − 4.

Задачи для самостоятельной работы

5. При каких значениях n каждое из следующих уравнений не имеет действительных корней?

а)   х2 − 8х + 2n = 0;                          в)    n х2 − х + 5n = 0;

б)   4х2 + 3nх + 36 = 0;                   г)   (n − 1) х2 + nх + n + 1 = 0.

6. При каких значениях а уравнение (а − 1) х2 − 2 (а + 1) х + а − 2 = 0  имеет один корень?

7.   При каких значениях m только один из корней уравнения равен нулю?

а)   2х2 − mх + 2m2 − 3m = 0;

б)   х2+ ( m + 3) х + m − 3 = 0. 

8. При каких значениях k каждое из следующих уравнений имеет два  различных действительных корня?

а) х2 + (1− k) х + 1 = 0;

б) kх2 + 2 (k + 1) х + k + 3 = 0;

в) (k − 4) х2 +  2 ( k − 2) х + k = 0.

9. Решите уравнение     319 х2 + 1988х + 1669 = 0.

10. При каких значениях параметра а разность корней уравнения

2х2 − ( а + 2) х + (2а − 1) = 0    равна их произведению?

11. Найдите все значения а, для которых разность корней уравнения

      2х2 − ( а + 1) х + а + 3 = 0    равна 1.

12.   В уравнении   (а2 − 5а + 3) х2 + ( 3а − 1) х +  2 = 0 определите а так, чтобы отношение корней равнялось 2.

13.    В уравнении  х2 − 2х +  с = 0  определите то значение с, при котором его корни  х1 и х2  удовлетворяют условию 7х2 − 4х1 = 47.

14.   В уравнении   4х2 − 15х + 4 m2 = 0  найдите m так, чтобы один корень был квадратом другого.

15.   При каком значении а сумма кубов корней уравнения

         (2а + 1) х2 +  (2а + 1) х + 2а2 = 0 равна 3?

Занятия 7, 8. Знаки корней квадратного уравнения

Теорема Виета очень часто используется в данных задачах. Однако в некоторых случаях можно указать и  другие способы, которые основываются на графических иллюстрациях.

8. При каком а уравнение   (а + 5) х2 + (2а − 3) х + а − 10 = 0 имеет два различных отрицательных корня?

Решение:

1 способ.

а + 5 ≠ 0;    а ≠ -5.         Д = (2а − 3) 2 − 4 ( а + 5) (а − 10) = 8а + 209 > 0.

   Оба корня будут отрицательными, если

Д > 0,

х1 + х2  < 0,

 х1 ∙ х2  > 0.

Таким образом,     8а + 209 > 0,

> 0,

 > 0.

 Ответ: (;  − 5)  ( 10; + ∞)

    2 способ.

  Пусть f (х) = (а + 5) х2 + (2а − 3) х + а − 10.    Для того, чтобы оба корня были отрицательны, необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

1)  Д > 0;     2)  (а + 5)∙ f (0) > 0;     3)   х0 < 0.

 х1 ∙х2 > 0, значит с/а > 0.

 Таким образом, задача свелась к решению системы неравенств:

8а + 209 > 0,

(а − 10) (а + 5) > 0,

> 0.

 Ответ: (;  − 5) ( 10; + ∞)

9. При каких значениях параметра а уравнение

х2 − 2(а − 3) х + а2 − 3а + 2 = 0    имеет два  действительных различных корня? Определите знаки корней в зависимости от а.

Решение: а)  = (( а − 3)) 2 − а2 + 3а − 2 = 2а2 − 15а + 25.

Если  2а2 − 15а + 25 > 0,  то уравнение имеет два различных действительных корня, т. е. если   а <     или    а> 5.

  б) т. к.  х1 ∙ х2 =  а2  − 3а + 2  по теореме Виета, то если  а2  − 3а + 2< 0,  

1 < а < 2 уравнение имеет корни разных знаков (Д > 0).  Для  того чтобы  

х1 > 0 и х2  > 0,  необходимо и достаточно выполнения условий:

Д > 0,                                                    2а2 − 15а + 25 > 0,

х1 + х2 > 0,   Решив систему                а2−  3а + 2 > 0,

х1 ∙ х2  > 0.                                              а − 3 > 0,

 получим   а > 5.

 Уравнение имеет 2 различных корня, если а <   или а > 5. При этом если

а > 5, то х1 > 0 и х2  > 0; если  1 < а < 2, то х1 <0 и х2  > 0; если  а < 1 или

 2 < а < , то х1 < 0 и х2  < 0.

  в) Д = 0  при  а = 5  или  а = .

Если  а = 5,  то х1 =х2  > 0; если а =;  то х1 =х2  < 0.

  г) Рассмотрим случай, когда уравнение имеет один нулевой корень, т. е. когда свободный член равен нулю:  а2−  3а + 2 = 0,  если  а = 1 или  а = 2,  то

 х1 < 0 и х2  = 0.

          Ответ:    а <   или  а > 5:

если а < 1 или 2 < а < , то х1 < 0 и х2  < 0;

если а = 1 или  а = 2, то х1 < 0 и х2  = 0;

если 1 < а < 2 , то х1 < 0 и х2  > 0;

если а = , то х1 = х2  < 0;

если  < а < 5 , то корней нет; 

если  а = 5 , то х1 = х2  > 0;

если  а > 5 , то х1 > 0 и х2  > 0.

Задания для самостоятельной работы

16. Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения

  (а − 1) х2 + 2ах + а + 3 = 0  одного знака.

17.    При каких значениях параметра а уравнение имеет два различных корня? Определите знаки этих корней в зависимости от а:

    а)    (а − 2) х2 − 2ах + 2а − 3 = 0;  

    б)    (а − 3) х2 − 2 (3а − 4) х + 7а − 6 = 0;   

    в)    х2 − 2(а − 1) х + 2а + 1 = 0;  

    г)    х2 + 2х − 8 = (х − 4) а;  

    д)      (3а − 1) х2 + 2ах + 3а − 2 = 0.      

Занятия 9-11.  Расположение корней квадратного

трехчлена в зависимости от параметра

        Выделим прежде всего два наиболее распространенных типа задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена.

        I тип - задачи, в которых изучается расположение корней относительно заданной точки.

        Теорема 1. Пусть f(х) =  ах2 + bх + с квадратичная функция, х1 х2  - действительные корни, N – какое–нибудь действительное число.

        Для того, чтобы корни квадратного трехчлена были меньше, чем число N, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

Д ≥ 0,

 < N,

а ∙ f(N) > 0.

        Теорема 2.  Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число M, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

Д ≥ 0,

> М,

а ∙ f(М) > 0.

        Теорема 3.  Для того, чтобы один из коней квадратного трехчлена был меньше, чем число К, а другой больше числа К, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие  а ∙ f(К) < 0.

        II тип – задачи, в которых исследуется расположение корней квадратного трехчлена относительно числового промежутка.

        Теорема 4.   Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число М, но меньше, чем число N (М) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

Д ≥ 0,

а ∙ f(М) > 0,

        а ∙f(N) > 0,

        M <  < N.

        Теорема 5.   Для того, чтобы только больший корень квадратного трехчлена лежал в интервале МN (M < N), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

а ∙ f(М) < 0,

а ∙ f(N) > 0.

        Теорема 6.   Для того, чтобы только меньший корень квадратного трехчлена лежал в интервале МN (M < N), необходимо  и достаточно, чтобы выполнялись условия:

а ∙ f(М) > 0,

а ∙ f(N) < 0.

        Теорема 7.  Для того, чтобы один корень квадратного трехчлена был меньше, чем N, а другой больше, чем N (M < N), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

а ∙ f(М) < 0,

а ∙ f(N) < 0.

10. При каком значении параметра с оба корня уравнения

х2 − 2сх + с2 − 1 = 0  заключены между числами − 2 и 4?  

Решение: Попробуем найти корни уравнения   х1,2 = с = с ± 1.

 По условию:     −2 < с + 1 < 4,                      − 1 < с < 3,

                                                        или

                               − 2 < с − 1 < 4;                     − 1 < с < 5.

  Ответ:   − 1 < с < 3.

11.При каких значениях а все решения уравнения (а − 1) х2 − ( а + 1) х + а = 0 

удовлетворяют условию  0 < х < 3?

Решение: Пусть f (х) = (а − 1) х2 − (а + 1) х + а = 0.   Если а ≠ 1, то необходимым и достаточным условием для того, чтобы функция f (х) имела все свои корни, принадлежащие интервалу, будет выполнение системы неравенств:

Д ≥ 0,

(а − 1) ∙ f (0) > 0

(а − 1 ) ∙ f (3) > 0,                  где          х0  = 

0 < х0 < 3,

 Решив данную систему, получим:

если а = 1,  то  −2х + 1 = 0,  х =;      (0; 3)

Ответ:  < а <  ;   а = 1.

12. При каких значениях параметра а только один корень уравнения

х2 − 4х + а = 0, имеющего различные корни, принадлежит интервалу (1; 4)?

    Решение: Пусть  f(х) = х2 − 4х + а. Заметив, что абсцисса вершины параболы принадлежит прямой х = 2, ветви параболы направлены вверх, приходим к выводу, что уравнение имеет два различных корня при условии, что ордината вершины параболы меньше 0. Это возможно при а<4. При условиях задачи интервалу (1; 4) может принадлежать только больший корень уравнения

х2 − 4х + а =0.                        

Таким образом, решение задачи сводится к решению системы:

f(4) > 0,

f(1) ≤ 0.

Ответ:   0 < а ≤ 3.

13. При каких значениях параметра а из неравенства 1 < x < 2   следует неравенство х2 − 2ах + а < 0 ?

Решение: Пусть f(х) = х2 − 2ах + а.  Тогда требование задачи выполняется, если трехчлен f(х)  имеет два корня   х1, х2  (х1 < х2),  для которых справедливы неравенства   х1 ≤ 1,  х2  > 2,   т. е. совместна система:

f(1) ≤ 0,

f(2) < 0.

Решив систему:     1 − а ≤ 0,

4 − 3а < 0;       получаем:    а  ( ;  + ∞)

Ответ:  (;  + ∞).

Задачи для самостоятельного решения

18.        При каких значениях параметра а корни уравнения  

ах2 − (2а + 1)х + 3а − 1 = 0 больше 1 ?

19.  При каких значениях параметра а один из корней уравнения

(а2 − 2)х2 + (а2 + а − 1) х − а3 + а = 0    больше числа а, а другой меньше числа а?

20. При каких значениях параметра а один из корней уравнения  

  а2х2 + ах − 2 = 0  по абсолютной величине больше 1, а другой меньше 1?

21.   Найти все значения а, при которых любые значения х, удовлетворяющие неравенству  ах2  + (1 − а2) х  − а > 0, по модулю не превосходят 2.

22. При каких значениях параметра а корни уравнения  

ах2  − (а3 + 2а2 + 1) х + а (а + 2) = 0 принадлежит отрезку (0; 1)?    

23.        При каких значениях параметра а корни уравнения  

 ах2  + 2 (а + 3) х + а + 2 = 0  неотрицательны ?

24.   При каких значениях параметра а уравнение х2 + 2 (а − 1) х + а + 5 = 0 имеет хотя бы один положительный корень?

25.  При каких значениях параметра а один из корней многочлена  

        2х2 − 2 (2а + 1) х + а (а − 1)  удовлетворяют неравенству х1 < a <  х2 ?

26.  При каких значениях параметра а один из корней многочлена  

     ( а2 + а + 1) х2 + ( а − 1) х + а2 больше 3, а другой меньше 3?

27.    При каких значениях параметра а оба корня уравнения

     2х2 + ах + а2 − 5 = 0,   1)   меньше  1,  2)  больше − 1?

Занятия 12-14. Наибольшее и наименьшее значения квадратичной функции

Так как выражение ах2 + bх + с,     а0 можно представить в виде

ах2 + bх + с  = а ( х + )2  +, то отсюда следует

а)  если   а> 0   min (ах2 + bх + с) =  при  х = ;

х  R

б) если а < 0, max (ах2 + bх + с) =  при  х = .

х  R

Рассмотрим примеры решения заданий.

14.  Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  у = 3х2 + 6х + 7.

Решение: Имеем   у = 3х2 + 6х + 7 = 3 (х + 1)2 + 4

min (3х2 + 6х + 7) = 4  при  х = − 1.

х  R

Т. к. функция у = 3х2 + 6х + 7  не является ограниченной сверху, то наибольшего значения она не имеет.

Наибольшее значение функции f(х) на отрезке [а ; b] принято обозначать

через max f(х), а наименьшее – через min f(х).

х  [а ; в]                                                               х  [а ; в]

15.  Найдите наибольшее и наименьшее значения функции   у = х2 + х  на отрезке [− 2; 5].

у = х2 + х  = (х +)2 −

 Координаты вершин параболы ();   [− 2; 5].

Наибольшее и наименьшее значения квадратичной функции могут достигаться либо на концах отрезка  [− 2; 5],  либо в точке  х =  .

Вычислим  у(− 2);  у();  у (5).

у(− 2) = 2;  у() = ;   у (5) = 30.

Таким образом, max у(х) = у(5) = 30,

                        х  [− 2; 5]  

min у(х) = у() = .

х  [− 2; 5]

16. Найдите х, при котором  min (а2 − 2ах + 3х) = max (−b2 + 4 bх − 3х2 + 1).   

                                                    а                                   в

Решение: В квадратном трехчлене  а2 − 2ах + 3х  относительно  а выделим полный квадрат:  а2 − 2ах + х2 − х2 + 3х =  (а− х)2 − х2 + 3х     

min (а2 − 2ах + 3х) = − х2 + 3х.

  а

В квадратном трехчлене   − b2 + 4 bх − 3х2 + 1 относительно b выделим полный квадрат:  −( b2 − 2 ∙ 2х ∙ b + 4х2 − 4х2 + 3х2 − 1) = −(( b − 2х)2 − х2 − 1) =  −( b − 2х)2 + х2 + 1,

 max (−b2 + 4bх − 3х2 + 1) = х2 + 1.

в

Решим уравнение:

− х2 + 3х =  х2 + 1

− 2х2 + 3х − 1 = 0,

2х2 − 3х + 1 = 0,

х1 = ,  х2  = 1.

17.  Изобразите точки с координатами (х; у), для которых выполняется равенство:  min (х2 + 2ху − у2) = max (− х2 − 2ху − 2у2).

                х                                                         у        

Имеем:      х2 + 2ху2 − у2 = (х + у)2 − 2ху2 , следовательно,

min (х2 + 2ху − у2) = − 2у2 ;

    х

  − х2 − 2ху − 2у2  = −2 (у + )2  ,  

т. е.      max (− х2 − 2ху − 2у2) = .    Имеем:  − 2у2 = ; у = ± .

 Искомое множество состоит из двух прямых:     у =    и у = − .    

Задания для самостоятельного решения

30. Для каких значений параметра а наименьшее значение функции

  у =х2 – (а + 2) х + а2 на отрезке [- 1; 1] равно 4?

31. Найдите х, при котором max min (а2 – 2аb – b2 – 2ах + 10bх) = 7.

b              а

32. Определите знак с, если а + b + с < 0 и уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет корней.
33. Изобразите все точки с координатами (х; у), для которых выполняется равенство:

а) mах min (а2 – b2 – 2аb + 2ах + 2b + у) =1;

b        а

б) min max (а2 – b2 – 2аb + 2ах + 2b + у) =1;

а        b

34. При каком значении параметра а квадрат разности корней уравнения

 х2 – ах + а – 6 = 0 будет наименьшим? Чему равен квадрат этой разности?

35. При каком значении параметра а сумма квадратов корней уравнения

х2 – ах + а – 2 = 0 будет наименьшим? Чему равен квадрат этой разности?

36. Парабола у = х2 + pх + q пересекает прямую у = 2х – 3 в точке с абсциссой х0 = 1. При каком значении p и q расстояние от вершин параболы до оси ОХ минимально?

Занятия 15, 16. Зачёт

В качестве зачётных предлагаются задания из раздела «Задания для самостоятельного решения».

Указания:

9. Заметьте, что 319 – 1988 + 1669 = 0, откуда следует, что х = - 1 является корнем уравнения. Примените теорему Виета.
10. Имеем: (х1 – х2)2 = (х1 + х2)2 – 4х1х2. используйте теорему Виета и условие задания х1 – х2 = х1х2.

12. Пусть х – корень уравнения, тогда второй корень 2х. По теореме Виета:

х + 2х =,                3х = ;

х·2х = ,                  2х2= .

15. Используйте теорему Виета и формулу суммы кубов.

18.   Пусть f(х) = ах2 − (2а + 1)х + 3а − 1, (а ≠0), координаты вершины параболы (х0; у0). Для того, чтобы корни квадратного трёхчлена f(х) были больше 1, необходимо и достаточно выполнения условий:

Д ≥ 0,

х0 > 1,

а · f(х) > 0.

Не забудьте рассмотреть случай а = 0. возможен второй подход к решению задания: решить неравенство х1 > 1, где х1 – наименьший корень.

19.  Задача равносильна следующей: при каких значениях параметра а корни  квадратного трёхчлена (а2 − 2)х2 + (а2 + а − 1) х − а3 + а лежат на вещественной оси по разные стороны от точки х = а?

В нашем случае условие принимает вид: (а2 − 2) · f(а) < 0.

Заметим, что решить эту задачу другим методом, рассматривая неравенства

х1< а и х2 > а, очень сложно.

20.   Задача равносильна следующей: при каких значениях параметра а только один корень квадратного трёхчлена

f(х) = (3а + 2)х2 + (а – 1)х + 4а = 3, где 3а = 2≠ 0 принадлежит интервалу (- 1; 1), а другой меньше – 1?

(3а + 2) ∙ f( - 1) < 0,             (3а + 2) ∙ f( - 1) > 0,

(3а + 2) ∙ f( 1) > 0.        (3а + 2) ∙ f( 1) < 0.

Требования приведённой задачи выполняются только при условии:

(3а + 2) ∙ f( - 1) < 0,

(3а + 2) ∙ f( 1) > 0.

21. Пусть f(х) = х2 – 2(а – 1)х + 2а + 1. требования задачи выполнимы, если совместна система:

F( - 4) > 0,

F(0) < 0,

F(4) > 0.

22. Задача равносильна следующей: при каких значениях параметра а один из двух корней квадратного трёхчлена

f(х) = а2 х2 + ах – 2; а ≠   0, принадлежит интервалу (- 1; 1) на вещественной оси, а второй расположен вне этого интервала и по модулю равен 1? Требование задачи выполняется только в том случае, когда числа f( - 1) и f(1) имеют разные знаки (корни по модулю не равны 1).

24.  Дискриминант уравнения равен: (а2 (а + 2) + 1)2 - 4 а2 (а + 2) = (а2 (а +2) – 1)2. Корни уравнения: х1 = , х2 = а2 + 2а.

30. у(х) = (х)2 +  а2 – а – 1.

Возможны 3 случая:

1. – 1 ≤  ≤ 1, по условию  а2 – а – 1 = 4.
2.  > 1.
3.  < - 1.

34. Используйте теорему Виета: (х1 + х2) = а2 – 4а + 24.

Рассмотреть квадратный трёхчлен f(а) = а2 – 4а + 24.

36. Можно использовать графическую иллюстрацию, это является подсказкой к решению заданий.

Ответы и решения

5.  n > 8;  б) │n │<8;  в) │n │ >;  г) │n │ > .

6. а = ; а = 1.
7. а) 1,5;  б) 3.
8. а) а < - 1;  а > 3;  б) k ≠ 0; k < 1;  в) k  R.
9.  по теореме Виета х1 ∙ х2 = ; т. к. х1 = - 1, то х2 = .
10.  1;
11.  9; -3;
12. .
13.   – 15.
14. 
15.  .
16.  a < - 3,  1< а < .
17.  а) 1 < а < 2 или 2 < a < 6.  Если 1 < а < , то х1< 0, х2 < 0; если а < , то х1< 0, х2 = 0; если  < a < 2, то х1< 0, х2 > 0; если 2 < a < 6, то х1 > 0; х2 > 0;   б)  < a < 3; a > 3; если a < ;  < a < 6/7, то х1< 0, х2 < 2; если а = , то х1 = 0, х2 > 0;   если  < a < 3, то х1< 0, х2 > 0;  в) a < 0 или a > 4. Если а<  , то х1 = 0, х2 > 0; если  < a < 0, то х1< 0, х2 < 0; если a >4, то х1 > 0; х2 > 0;   г) a < 2 или a > 18. Если a < 2, то х1< 0, х2 > 0; если a > 18, то х1 > 0; х2 > 0;   д)  < a < ;  < a < . Если  < a < , то х1 > 0; х2 > 0;   если  < a < , то х1< 0, х2 > 0; если а = , то х1< 0, х2 = 0; если  < a < , то х1< 0, х2 < 0.
18.  Рассмотрим случай а ≠ 0. При таких а решим систему:

( 2а + 1)2 – 4а (3а – 1) ≥ 0,

(2а + 1)/2а > 0,

а(а – (2а + 1) + 3а – 1) > 0.

Решая эту систему, находим, что а  (1; ). Если а = 0, уравнение имеет корень х = -1, который требованиям задачи не удовлетворяет.

19. Требованию задачи удовлетворяют решения неравенства

(а2 – 2)(( а2 – 2) а2  + (а2 + а – 1)а - а2 + а < 0, где а2 – 2 ≠ 0; а = ±  требованиям задачи не удовлетворяют. Решая неравенство, находим, что

 а ..

20. ( - 1; ).
21.  Решив систему:     10а + 9 > 0,

2а + 1 < 0,

- 6а + 25 > 0,

получим (- 0,9; - 0,5).

22. Требования задачи выполнимы только при условии f(-1); f(1) < 0.

 Ответ: (-2;-1)(1;2).

23. –2 ≤ a ≤
24. a = 0.
25.  ≤ a ≤ -2.
26. a ≤ -1.
27. нет решений.
28. a < -3; a > 0.
29. а[; а[ ]
30. 1). –1 ≤ ≤ 1; тогда min у(х) = а2 – а – 1 при х = . По условию

        х  (-1; 1)

 а2 – а – 1 = 4, откуда а1 = -2, а2 =   ( -1 ≤  ≤ 1,  -2 ≤ а + 2 ≤2;  -4 ≤ а ≤ 0). Имеем а = -2.

2).  > 1 или a > 0; тогда min у(х) = у(1);

        х [-1; 1]

имеем 1 – (а + 2) + а2 = 4;  а1 = ;  а2 = ;  т. к. a > 0, то

 а =.

3).  < x < -1; a < - 4; тогда  min у(х) = у(-1),

          х € [-1; 1]

имеем 1 + а + 2 + а2 = 4; уравнение решений не имеет. Ответ: -2; .

35.   а =1.
36. у = х2 + pх – p – 2. Координаты вершины параболы ( ;  – p – 2). Расстояние от вершины параболы до оси ОХ равно: (p + 2)2 + 1; наименьшее расстояние равно 1 при p = - 2.  Ответ: p = -2; q = 0.