Рабочая программа по факультативному курсу « Инварианты, графы, метод математической индукции и неравенство треугольника » для 7 класса
учебно-методическое пособие по алгебре (7 класс) по теме

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

« Средняя общеобразовательная школа № 5»

Ангарского муниципального образования

РАССМОТРЕНО                                                                  СОГЛАСОВАНО                                                                                   УТВЕРЖДАЮ

Школьное МО учителей                                                      Заместитель директора по УВР                                                  Директор школы

Протокол №___от______                                                      _________ Маслова Н.Е.                                                         ________Перфильева Н.В.

Руководитель МО                                                                «__»__________2013г.                                                                  Приказ №____от_______

____________Когер Н.В.

Рабочая программа

по факультативному курсу  « Инварианты, графы, метод  математической индукции и неравенство треугольника »

для   7    класса

(уровень: базовый, профильный, общеобразовательный, специального коррекционного обучения)

                                                                                                                                                                           Учитель Маслова Н.Е..                                                                                                                                                                            Квалификационная категория:  первая  

2013/2014 учебный год

Пояснительная записка.

Рабочая программа для 7 класса по факультативному курсу  « Инварианты, графы, метод математической индукции и неравенство треугольника » составлена на основе программы утвержденной ЦИМПО: протокол № 32 от 29.05.08. Per. № 1411.Автор: Штыков Николай Николаевич, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры социально-экономических дисциплин ГОУ ВПО “ВСГАО”/

Количество часов: 34( 1ч/н).

Цель курса: изучение некоторых видов инвариантов в алгебре, геометрии, и теории чисел; ознакомление обучающихся с элементами теории графов и их  применением в комбинаторных и алгебраических задачах; изучение метода ; математической индукции.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

Задачи курса: нахождение и применение различных инвариантов в задачах; решение задач с помощью теории графов; доказательство равенств и неравенств на основе метода математической индукции; применение неравенсгв на треугольника и связанных с ним геометрических неравенств к решению задач.

Программой курса предусмотрено изучение нового теоретического материала путем последовательного решения задач, приводящих к формулировке (и доказательству) общих утверждений.

Программа состоит из четырех разделов, с описанием содержания каждого из них и указанием форм и методов их освоения обучающимися. При изучении каждого раздела данного курса предполагается знакомство обучающихся с основными математическими понятиями курса математики по программе шестого и частично седьмого классов.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 

К каждому разделу подготовлены наборы заданий и краткий теоретический материал, достаточный для решения задач. Задания ко всем разделам разделены по уровням сложности. Возможны различные варианты решения заданий. При разборе решений устанавливаются соотношения между разными заданиями,  выделяются ключевые методы и подходы к анализу содержания заданий.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   

Содержание разделов программы.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             

Раздел 1, Инварианты в задачах по алгебре, геометрии и теории чисел ( 8ч.)

Во многих задачах рассматриваются множества объектов, над которыми производятся некоторые операции. В большинстве случаев объектами являются числа, над которыми производятся арифметические действия. Задачи в таких случаях часто заключаются в том, что требуется доказать, что из заданною набора объектов нельзя получить определенными в условии операциями некоторый другой набор. Решение таких задач  сводиться к поиску величины, сохраняющейся в множестве при заданных операциях (инварианту) и установлению противоречия в различии значений этой величины в начальном и конечном состояниях.

Задачи на инварианты технически  не очень сложны, но найти подходящий инвариант не всегда просто. В данном разделе представлено много интересных и содержательных задач по алгебре и теории чисел, решение которых опирается на нахождение инвариантов. Четность является одним из самых простых и часто встречающихся видов инвариантов. В разделе представлено несколько задач, решение которых опирается на идею четности. Другие задачи решаются с помощью менее очевидных инвариантов.

Основные рассматриваемые понятия: последовательность операций над математическими объектами (числами, функциями, множествами и т.д.), начальное и конечное значения, инвариант.

Основной метод: нахождение инварианта, приводящего к решению задачи.

Раздел 2. Элементы теории графов(9 ч.)

Одним из наиболее важных понятий, относящихся к структуре дискретных систем, является понятие графа. Это понятие, описывающее структуру связей между отдельными частями системы, в силу своей общности используется во многих математических моделях. Графы очень часто используются в приложениях, поскольку они возникают как модель при изучении многих объектов. Примеры графов: узлы и соединения в электрической цепи, схема дорог, множество предприятий с указанием двухсторонних связей между ними, группа людей с указанием их психологической совместимости, структура управления с указанием объектов и их подчиненности друг другу и т.д.

Тематика исследований, связанных с графами, очень широка. Это и исследование структуры и свойств графов, изучение специальных классов графов, построение быстрых алгоритмов для решения различных задач на графах, и т. д.

В данном разделе рассматриваются только некоторые простые вопросы, относящиеся к свойствам произвольных графов.

Основные понятия: вершины и ребра графа, связность, цикл.

Раздел 3. Метод математической индукции (9ч.)

Метод математической индукции является важным способом доказательства предложений (утверждений), зависящих от натурального аргумента. Метод математической индукции состоит в следующем; Предложение (утверждение) Р(п), зависящее от натурального числа п, справедливо для любого натурального п если: Р(\) является истинным предложением (утверждением); Р(п) остается истинным предложением (утверждением), если п увеличить на единицу, то есть Р{п + 1) - истинное предложение (утверждение). Таким образом, метод математической индукции предполагает два этапа: 1) проверяется, истинно ли предложение (утверждение) Р(\). 2) предполагается, что предложение Р(п) истинно, и доказывается истинность предложения Р(п + 1) (/? увеличено на единицу). Метод математической индукции широко применяется при доказательстве теорем, тождеств, неравенств, при решении задач на делимость, при решении некоторых геометрических и многих других задач. В задачах раздела с помощью метода математической индукции доказываются различные утверждения, касающиеся делимости натуральных чисел, равенств и неравенств.

Особое внимание уделяется «идеологическим задачам», таким как задачи о ханойской башне и разрезании квадрата.

Основные понятия: база, утверждение индукции, индукционный переход.

Раздел 4. Неравенство треугольника и его применение к решению задач (8ч.)

Неравенство треугольника применяется для решения большого количества различных геометрических неравенств. В геометрические неравенства входят длины сторон, медиан, биссектрис, высот, радиусов вписанной, описанной и вневписанных окружностей, величины углов треугольника. В многоугольниках в неравенства включаются длины диагоналей. Имеются неравенства с площадями геометрических фигур.

В данном разделе рассматривается небольшой класс таких неравенств. Некоторые неравенства для своего решения не требуют ничего, кроме неравенства треугольника, решения других основываются также на известных алгебраических неравенствах, прежде всего на неравенстве между средним арифметическим и средним геометрическим неотрицательных чисел.

Иногда геометрические неравенства доказываются с помощью симметрии. Построение симметричных точек, отрезков и прямых позволяет достаточно просто решить ту или иную задачу. Использование симметрии часто является эффективным приемом для решения так называемых экстремальных задач. Основные понятия: неравенство треугольника, неравенства для средних линий треугольника, геометрические неравенства.

Знания и умения.

По итогу проведения курса, оценивается владение учащимися ниже перечисленными методологическими знаниями о инвариантах, графах, метода математической индукции и неравенство треугольника:

- знать что такое последовательность операций над математическими объектами (числами, функциями, множествами и т.д.), начальное и конечное значения, инвариант;

-уметь  решать  задачи, сводящиеся к поиску величины, сохраняющейся в множестве при заданных операциях (инварианту) и установлению противоречия в различии значений этой величины в начальном и конечном состояниях;

-владеть понятиями: вершины и ребра графа, связность, цикл;

-иметь представление о методе математической индукции; уметь применять его при доказательстве теорем, тождеств, неравенств, при решении задач на делимость, при решении некоторых геометрических и многих других задач;

- знать основные понятия: неравенство треугольника, неравенства для средних линий треугольника, геометрические неравенства;

- уметь доказывать геометрические неравенства  с помощью симметрии; строить  симметричные точки, отрезки и прямые,  позволяющие достаточно просто решить ту или иную задачу;

-уметь применять геометрические неравенства длины сторон, медиан, биссектрис, высот, радиусов вписанной, описанной и вневписанных окружностей, величины углов треугольника при решении задач.

- уметь использовать симметрию для решения так называемых экстремальных задач.

Учебно-тематический план.

Календарно-тематический план