Наибольшее и наименьшее значение функции
презентация к уроку по алгебре (10 класс) по теме

Этапы
1. Найти f /(x)
2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.
4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее
Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
1) y / = 3x2 – 27
2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
3
-3
x = 3
[0; 4]
x = –3
[0; 4]
y(4) = 43– 27 4 = – 44
y(3) = 33– 27 3 = –54
3
х
1
0
х
В 11
-
5
4
3) y(0) = 0
Алгоритм решения задач
Этапы
1. Найти f /(x)
2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.
4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее
Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
1) y / = 3x2 – 27
2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
3
-3
y(3) = 33– 27 3 = –54
3
х
1
0
х
В 11
-
5
4
3)
Другой способ решения
+
+
–
x
y\
y
-3
3
0
4
min
Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума.Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.
Этот способ будет удобно вспомнить, когда вычисления значений функции в концах отрезка будет сложным.
наибольшее значение
наибольшее значение
наименьшеезначение
наименьшеезначение
a
b
a
b
Предположим, что функция f не имеет на отрезке [а; b] критических точек. Тогда она возрастает (рис. 1) или убывает (рис. 2) на этом отрезке.Значит, наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [а; b] — это значения в концах а и b.
функция возрастает
функция убывает
наибольшее значение
наименьшеезначение
a
b
a
b
Предположим, что функция f имеет на отрезке [а; b] одну точку экстремума.Если это точка минимума, то в этой точке функция будет принимать наименьшее значение. Если это точка максимума, то в этой точке функция будет принимать наибольшее значение.

СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ – функция, представленная как композиция нескольких функций. Сложная функция – функция от функции. Сложная функция представлена в виде цепочки простых функций. – промежуточный аргумент, – независимая переменная.
Производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента.
)
(
)
(
)
(
x
v
x
v
u
x
v
u
/
/
/
Ч
=
[
]
(
)
(
)
)
(
)
(
x
v
u
(
)
x
v
x
Чтобы найти производную сложной функции, нужно:Определить, какая функция является внешней и найти по таблице производных соответствующую производную.2. Определить промежуточный аргумент.
Функция промежуточного аргумента – квадратичная функция
Функция квадратного корня
Показательная функция
Функция промежуточного аргумента – квадратичная функция
Логарифмическая функция
Функция промежуточного аргумента – тригонометрическая функция sinx
Степенная функция
Функция промежуточного аргумента – квадратичная функция
Проверим, принадлежит ли х=ln3 промежутку [1; 2]
Найдите наименьшее значение функции y = e2x – 6ex + 3 на отрезке [1; 2]
1.
Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
Значения функции в концах отрезка.
1) y(1) = e2 – 6e + 3;
y(2) = e4– 6e2+ 3
2) y / =
[1; 2]
Найдем значение функции в критической точке.
2ex(ex – 3) = 0
ex – 3 = 0
x = ln3
(e2x)/ =
e2x
(ex)/ = ex
(2x)/
= e2x
2
= 2e2x
(kx)/ = k
0
№
(
)
)
(
v
v
u
v
u
/
/
/
Ч
=
]
[
– 6ex
+ 0
2e2x
1) производнаядля внешней функции:
(ex)/ = ex
= 2ex(ex – 3)
(С)/ = 0
+

–
x
y\
y
ln3
min
Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума.Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.
>0
Найдите наибольшее значение функции
2.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
x
g
x
g
f
x
g
f
/
/
/
Ч
=
5 – 4х – х2 0
D(y):
і
x = – 2
D(y)
Найдем критические точки, которые принадлежат D(у).
Вычислим производную, используя формулу для вычисления производной сложной функции.
х
(
)
х
2
1
/
=
–

+
x
y\
y
-2
max
Наибольшее значение функция примет в точке максимума.
3
х
1
0
х
В 14
3
При решении некоторых заданий на вычисление наибольшего и наименьшего значений функции можно найти ответ и без вычисления производной.
)
(
g(x)
f
Сложная функция представлена в виде цепочки простых функций. Где g(x) – промежуточный аргумент, квадратичная функция
g(x) = ax2 +bx + c
Если внешняя функция является монотонно возрастающей на всей области определения, значит, наибольшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция будет иметь наибольшее значение.
А наименьшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция будет иметь наименьшее значение.
Рассмотрим примеры.
Найдите наибольшее значение функции
2.
5 – 4х – х2 0
D(y):
і
2 способ
Решим задание без вычисления производной.
Функция квадратного корня монотонно возрастает на всей области определения, значит, наибольшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция – х2 – 4х + 5 будет иметь наибольшее значение. Старший коэффициент квадратного трехчлена равен – 1< 0, значит, ветви параболы направлены вниз. И наибольшее значение квадратичная функция будет иметь в вершине.
(-1)
-4
х
2*
0
-
=
= -2
a
b
х
2
0
-
=
Итак, наибольшее значение функция квадратного корня примет, когда промежуточная квадратичная функция примет наибольшее значение, т.е. в точке х = – 2. Вычислим его:
3
х
1
0
х
В 14
3
D(y)
Найдите наименьшее значение функции
4.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
x
g
x
g
f
x
g
f
/
/
/
Ч
=
x = - 1
D(y)
Найдем критические точки, которые принадлежат D(у).
Вычислим производную, используя формулу для вычисления производной сложной функции.
+

–
x
y\
y
-1
min
Наименьшее значение функция примет в точке минимума.
3
х
1
0
х
В 14
1
6
D(y):
R
x
О
(
)
a
a
a
х
х
ln
/
=
>0
>0
Найдите наименьшее значение функции
4.
D(y):
R
x
О
Решим задание без вычисления производной.
Показательная функция с основанием 2>1 монотонно возрастает на всей области определения. Значит, наименьшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция х2 + 2х + 5 будет иметь наименьшее значение. Старший коэффициент квадратного трехчлена равен +1> 0, значит, ветви параболы направлены вверх. И наименьшее значение квадратичная функция будет иметь в вершине.
1
2
х
2*
0
-
=
a
b
х
2
0
-
=
Итак, наименьшее значение показательная функция примет, когда промежуточная квадратичная функция примет наименьшее значение, т.е. в точке х = – 1. Вычислим его:
D(y)
= – 1
3
х
1
0
х
В 14
1
6
2 способ
Найдите наибольшее значение функции
6.
4 – 2х – х2 0
D(y):
>
Решим задание без вычисления производной.
Логарифмическая функция с основанием 5 является монотонно возрастающей на всей области определения. Значит, наибольшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция 4 – 2х – х2 будет иметь наибольшее значение. Старший коэффициент квадратного трехчлена равен –1<0, значит, ветви параболы направлены вниз. И наибольшее значение квадратичная функция будет иметь в вершине.
(-1)
-2
х
2
0
-
=
= -1
1
3
х
1
0
х
В 14
4
a
b
х
2
0
-
=
« Самый плохой архитектор от наилучшей пчелы с самого начала отличается тем, что, прежде чем строить ячейку из воска, он уже построил ее в своей голове. » К. Маркс
Задача :Какими должны быть размеры участка прямоугольной формы площадью , чтобы на его ограждение было израсходовано наименьшее количество материала ?
Составим математическую модель задачи :из всех прямоугольников площадью 1600 кв. м найти прямоугольник наименьшего периметра
1. Р – периметр прямоугольника
2. х ( м ) – длина прямоугольника
х
x = 40 – точка минимума, значит функция р ( х ) в этой точке принимает наименьшее значение. Следовательно и периметр прямоугольника будет наименьшим.
0
40
х
+
-
Длина участка – 40 ( м )
Ширина участка – 40 м
Длина прямоугольника – 40 ( м )
Ширина прямоугольника –
Ответ: длина участка 40 м, ширина участка – 40 м.
Задача :Выращенную на участке клубнику ученики отправляют в детский сад в коробках, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, периметр боковой грани которого 72 см. Какими должны быть размеры коробки, чтобы ее вместимость была наибольшей ?
Математическая модель :Из всех прямоугольных параллелепипедов с квадратным основанием, периметр боковой грани которого 72 см, найти параллелепипед наибольшего объема.
Выращенную на участке клубнику ученики отправляют в детский сад в коробках, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, периметр боковой грани которого 72 см. Какими должны быть размеры коробки, чтобы ее вместимость была наибольшей ?
Р = 72 см
Из всех прямоугольных параллелепипедов с квадратным основанием, периметр боковой грани которого 72 см, найти параллелепипед наибольшего объема.
Р = 72 см
х
36 – х
х
1. V – объем прямоугольного параллелепипеда
2. х ( см ) – длина прямоугольного параллелепипеда , х ( см ) – ширина прямоугольного параллелепипеда36 – х ( см ) – высота прямоугольного параллелепипеда
x = 24 – точка максимума, значит функция v ( х ) в этой точке принимает наибольшее значение. Следовательно и объем прямоугольного параллелепипеда при х = 24 будет наибольшим.
0
36
х
+
-
24
Длина прямоугольного параллелепипеда – 24 ( см )
Ширина прямоугольного параллелепипеда – 24 ( см )
Высота прямоугольного параллелепипеда – 36 – 24 = 12 ( см )
Ответ : чтобы вместимость коробки была наибольшей, ее размеры должны быть 24 см, 24 см, 12 см