Исследование функции на наибольшее и наименьшее значение
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Продолжительность: 2урока

Класс: 10

Тема урока:
«Наибольшее и наименьшее значения функции»

Цели урока:

Обучающие:

• выявить уровень овладения студентами комплексом знаний и умений по исследованию функций с помощью производной и по применению этого исследования к построению графиков функций;
• рассмотреть алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a;b] и на интервале;
• научить применять это правило при выполнении практических заданий.

Развивающие:

• развивать умение обобщать, абстрагировать и конкретизировать знания при исследовании функции;
• развивать самостоятельность и творческий подход к решению задач;
• формировать навыки самоконтроля при выполнении самостоятельной работы; навыки коррекции собственной деятельности через применение информационных технологий;
• развивать внимание, речь, логическое мышление, графический навык, интерес к изучаемому материалу и предмету в целом;
• осуществлять межпредметную связь и профессиональную направленность.

Воспитательные:

• воспитывать:

•  волю и настойчивость для достижения конечных результатов;
• культуру математической речи;
• трудолюбие, аккуратность и эстетическое отношение к выполнению любого задания;

• формировать коммуникативные качества, навыки взаимопомощи, взаимоконтроля.

Оборудование:

• Мультимедийный проектор.
• Презентация с целеполаганием и заданиями.
• Приложения с основными формулами и правилами дифференцирования.
• Сигнальные карточки и карточки с буквами для осуществления обратной связи.
• Карточки с заданиями для самостоятельной работы.

Используемые методы обучения:

• По источникам знаний: словесные, наглядные, практические.
• По степени взаимодействия преподавателя и студента: эвристическая беседа и самостоятельная работа.
• По характеру познавательной деятельности студентов и участия преподавателя в учебном процессе: объяснительно-иллюстративный, частично проблемно-поисковый (эвристический).
• По принципу расчленения или соединения знаний: сравнительный, обобщающий.

План урока:

1. Организационный момент: (2мин)

• сообщение темы, цели и плана урока.

2. Актуализация знаний студентов: (25мин)

• Тестирование по теме «Правила и формулы дифференцирования»( 10мин)
• проверка домашнего задания;(3мин)

• решение устных заданий.(12мин)

3. Проверка уровня знаний и умений по теме «Связь свойств функции и производной» в форме тестирования.(4 варианта теста) (8мин)
4. Повторение по теме «Исследование функции с помощью производной и построение графиков»:(15мин)

• работа с учебником.

5. Объяснение нового материала.(5мин)
6. Работа с учебником:(15мин)

• устное задание;(3мин)
• обобщение теоретических знаний;(2мин)
• групповая работа.(10мин)

7. Творческое задание, осуществление межпредметной связи и использование навыков профессиональной направленности студентов.(15мин)
8. Домашнее задание.(2мин)
9. Подведение итогов урока, рефлексия, выставление оценок.(3мин)

Ход урока

1. Организация начала урока. Целеполагание.

• Мобилизация учебной деятельности учащихся: доброжелательный настрой преподавателя и студентов (студентам предлагается отметить настроение, с которым они пришли на урок):

Изобразите, пожалуйста, Ваше настроение:

• Преподаватель сообщает тему урока и предлагает студентам определить цели урока. Демонстрация целей с помощью мультимедийного проектора:

• повторить правила и формулы дифференцирования;
• уточнить основные понятия и теоремы, обобщить теоретические знания по теме «Исследование функции с помощью производной»;
• расширить схему исследования функции, рассмотрев вопрос об исследовании функции на наибольшее и наименьшее значения;
• научиться применять полученные знания при выполнении практических заданий;
• проявить и развить свои способности, применяя знания, полученные на уроках информатики;
• развить коммуникативные навыки во время совместной работы

2. Актуализация субъективного опыта и знаний студентов:

1. Тест по теме «Применение правил и формул дифференцирования»

Уровень А

В ответе укажите номер задания и букву, под которой расположен правильный ответ.

1. Найдите производную функции в точке x0

; x0=-1

а) 2                        б) -2                        в) -1                        г) 3

2. Найдите производную функции:

а) 4x-1                        б) 2x-1                        в) 2x2+1                г) 4x+1

3. Найдите производную функции:

а) xsinx-cosx                б) xsinx+cosx                в) sinx-xcosx                г) xcosx+sinx

Уровень В

В ответе укажите номер формулы и букву, под которой расположен соответствующий график функции.

1. Укажите пары: «функция – график производной этой функции»

Уровень C

В 1 и 2 заданиях в ответе укажите букву, под которой расположен правильный ответ, в №3 запишите свою формулу.

1. Найдите производную функции:

а) sinx-1                б) cosx+1                в) –sinx+1                г) –sinx-1

2. Найдите производную функции:

а) 3x2+2x-1                б) 2x3+3x+1                в) 3x2-2x+1                г) 3x2+2x+1

3. По данной производной определите исходную функцию и запишите свой ответ:

y΄=4x+cosx.

Самопроверка проходит с помощью мультимедийного проектора.

Ответы:

Уровень А:  1. - б, 2. - а, 3. - г;

Уровень В:  1. - а, 2. - в, 3. - г, 4. - д;

Уровень С:  1. - г, 2. - а, 3. -  y = 2x2 + sinx+ C,

3 задача уровня С – обратная к дифференцированию, подробно с таким действием, как интегрирование, вы познакомитесь в ближайшее время.

2. Проверка домашнего задания: демонстрация правильного решения через слайд.

№927(1)

Построить график функции: у = –х4+8х2–16

Решение:

1. D(у): R (функция–многочлен)
2. y(–x) = – (–x)4 + 8(–x)2 – 16 = –х4+8х2–16 = y(x) Функция чётная, её график симметричен относительно оси Оу.
3. y’(x) = (–х4+8х2–16)’ = – 4x3 + 16x = – 4x(x2–4) = – 4х(х – 2)(х + 2)
4. Критические точки:

1. D(y’) = R

б.   y’ = 0 ↔ –4х(х – 2)(х + 2) = 0, х1=0, х2 = 2, х3 = –2

в.

г. у(–2) = –(–2)4+8(–2)2 – 16 = –16 + 32 – 16 = 0 = у(2)

д. у(0) = –04+8·02 – 16 = – 16

6. Дополнительные точки: у()= –9, у()= –25
7. Построение графика функции.

№928(1)

Построить график функции y=x3 – 3x2 + 2 на отрезке [–1;3]

Решение:

1. D(у): R (функция–многочлен)
2. y(–x) = (–x)3 – 3(–x)2 + 2 = –х3– 3х2+2 ≠ y(x) ≠ y(–x) Функция ни чётная, ни нечётная, её график не обладает симметрией ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат.
3. y’(x) = (х3– 3х2+2)’ = 3x2 –6x = 3x(x–2)
4. Критические точки:

2. D(y’) = R

б.   y’ = 0 ↔ 3x(x–2) = 0, х1=0, х2 = 2

в.

г. у(–1) = (–1)3– 3(–1)2 + 2 = –1 – 3 + 2 = –2

д. у(0) = 03 – 3·02 + 2 = 2

е. у(2) = 23 – 3·22 + 2 = – 2

ж. у(3) = 33 – 3·32 + 2 = 2

6. Построение графика функции.

Блок-схема алгоритма
на нахождение критических точек:

3. Решение устных заданий.

1. О производной функции y=f(x) известно следующее:

1. Опишите свойства функции по плану:

1. Промежутки возрастания и убывания.
2. Точки экстремума функции.
3. Что можно сказать о точке (3;–2)?

2. Изобразите схематически график этой функции.

2. Какие из данных функций возрастают:

А. y = –3x + 1, Б. y = –3x2, В. y = x2 + 1, Г. y = 6x (ОТВЕТ: Г)

В чём заключается признак возрастания (убывания) функции?

3. Функция задана своим графиком:

Верны ли следующие высказывания (ответ покажите сигнальными карточками)

1. точка х1 –критическая точка (верно)

точка х1 – стационарная точка (верно)

точка х1 – точка экстремума (верно)

точка х1 – точка минимума (неверно)

2. точка х2 – критическая точка (верно)

точка х2 – стационарная точка (верно)

точка х2 – точка экстремума (неверно)

точка х2 – точка перегиба (верно)

3. точка х3 – критическая точка (верно)

точка х3 – стационарная точка (неверно)

точка х3 – точка экстремума (верно)

точка х3 – точка минимума (верно)

4. всякая критическая точка является точкой экстремума (неверно)
5. всякая точка экстремума является критической точкой (верно)
6. всякая стационарная точка является точкой экстремума (неверно)

3. Проверка уровня знаний и умений по теме «Связь свойств функции и производной» в форме тестирования.(4 варианта теста)

Вариант I

На рисунке изображён график производной некоторой функции. Укажите в таблице интервалы, на которых функция обладает указанным свойством:

Вариант II

На рисунке изображён график производной некоторой функции. Укажите в таблице интервалы, на которых функция обладает указанным свойством:

Вариант III

На рисунке изображён график производной некоторой функции. Укажите в таблице интервалы, на которых функция обладает указанным свойством:

Вариант IV

На рисунке изображён график производной некоторой функции. Укажите в таблице интервалы, на которых функция обладает указанным свойством

ОТВЕТЫ:

4. Повторение по теме «Исследование функции с помощью производной и построение графиков»:

№930(1)

Выполняется 1 студентом на доске, остальные – в тетрадях.

5. Объяснение нового материала.

Работа по рисунку:

– Можно ли сказать, что функция, график которой представлен на рисунке, имеет наибольшее или наименьшее значение? (Нет)

Однако, если рассмотреть функцию на некотором интервале, то выбрать наибольшее и наименьшее значение можно.

На каждом из указанных интервалов назовите точку, в которой функция достигает своего наибольшего или наименьшего значения:

1. [a;b] (минимальное значение–в точке b, максимальное – в точке а)
2. [b;d] (минимальное значение–в точке с, максимальное – в точке d)
3. [b;f] (минимальное значение–в точке b, максимальное – в точке e)
4. [d;f] (минимальное значение–в точке d, максимальное – в точке t)

В каких точках числового промежутка могут достигаться наибольшее и наименьшее значения? (На концах отрезка либо в критических точках, которые принадлежат данному отрезку)

6. Работа по учебнику:

1. №936 (устно)
2. Алгоритм определения наибольшего и наименьшего значений на стр.273 (§52)
3. Групповая работа (4 группы): №937 (1;2) и №938(1,2)

7. Творческое задание:

Составить блок-схему для алгоритма «Исследование функции на наибольшее и наименьшее значения».

8. Подведение итогов урока.

• Анализ ответов;
• Оценка результатов работы;
• Анализ ошибок, допущенных при выполнении самостоятельной работы.
• Продолжите фразу:

• Сегодня на уроке я повторил…
• Сегодня на уроке я закрепил…
• Мне предстоит повторить…

• Пожалуйста отметьте своё настроение на конец урока.

9. Домашнее задание:

• Стр. 284 «Проверь себя», задания 1–4
• Даны производные функций:

1. y’ = x + sin x
2. y’ = 2 + x2
3. y’ = +

Отыщите саму функцию.