«Умножение с модулем в школьном курсе 8 класса»
план-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему

Тема: «Умножение с модулем в школьном курсе 8 класса»

Введение.
    Каждый учитель знает, какие проблемы у учащихся вызывают задания, содержащие модуль. Это один из самых трудных материалов, с которыми школьники сталкиваются на экзаменах.

Выбор темы обусловлен тем, что:

-во-первых, задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах и на экзаменах,

-во-вторых, это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсе высшей математики.

Несмотря на то, что тема «Модуль числа» проходит «красной нитью» через весь курс школьной и высшей математики, для ее изучения по программе отводится очень мало времени (в 6 классе -2 часа, в 8 классе - 3 часа).
Поэтому учителю необходимо находить разнообразные методические приемы, использовать различные подходы и методы в обучении решению задач с модулем. Разнообразие методов будет способствовать сознательному усвоению математических знаний, вовлечению учащихся в творческую деятельность, а также решению ряда методических задач, встающих перед учителем в процессе обучения, в частности, реализации внутри предметных связей (алгебра-геометрия), расширению области использования графиков, повышению графической культуры учеников.
Указанные обстоятельства обусловили выбор данной темы.

Цели и задачи урока:

-Показать преимущества метода интервалов как универсального метода решения задач с модулями;

-Систематизировать, расширить и углубить знания по данной теме;

-Развить наблюдательность, умение анализировать и переносить знания в новую ситуацию;

-Содействовать развитию инициативности, трудолюбия, стремления к совершенствованию своих знаний;

-Воспитать умение работать в группах и парах;

-Развивать познавательный интерес к обучению.

Ход урока:

1. Организационный момент
Постановка целей, задач урока и его основных моментов

«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические  сезамы».
                                            Современный польский математик С. Коваль.

2. Проверка домашнего задания выполненного в системе дистанционного обучения.  Объявление обучающимся результатов домашнего задания.

3.Устная работа (с использованием презентации)

а) решить уравнения:

х(х-5)=0,                        х2-16=0,

х2-4х=0,                        х2-3х=0,

х2-4=0,                                -4х2+16=0,

х2+4=0,                                3х2-12х=0.

б) выполните действия:

С3хС12,                        К13хК25,                (3Х2У6)4,

В18:В6,                        (С4)3,                        -4Х5У23ХУ7.

в) прочитайте выражения:

6х53,                        82+32,                        (8+3)2,

(-4)2-52,                        (а-v)3,                        а3-в3.

г) При каком значении параметра b уравнение не имеет корней

 bx – 2=b+4x. (При b=4)

д) При каком значении параметра b корень уравнения 3x=b в 3 раза меньше корня уравнения х+8b=50 – x. (При b=5)

е) Сколько корней имеет уравнение при a=4,5. (3 корня)

и) При каком значении параметра уравнение имеет множество решений. (при а=2)

к) При каких значениях параметра m график функции y=mx+5 проходит через точку с координатами (-1;2). (При m=3)

4) Изучение нового материала.

Существуют несколько способов решения уравнений с модулями.

1)Решение простейших уравнений с модулем методом интервалов. Наиболее универсальным приёмом решения уравнений с модулями является метод интервалов. Этим методом можно решать уравнения всех типов с модулями.

Данный метод состоит в том, что область определения у равнения разбивается на промежутки, в каждом из которых все под модульные выражения  сохраняют знак. Для этого достаточно найти корни под модульных выражений и расположить их в порядке  возрастания на числовой оси. Концы полученных промежутков можно относить к любому из смежных промежутков. Далее исходное уравнение рассматривается и решается на каждом из полученных промежутков, и найденные решения объединяются.

Рассмотрим примеры:

а)Решите уравнения.

|2x-4|=1

Решение.

|2x-4|=1

Областью определения уравнения является вся числовая ось. Найдём значения х, при котором под модульное выражение обращается в 0.

Имеем:  2х-4=0,

                2х=4,

                х=2.

Эта точка разбила область определения на 2 промежутка:

 (-∞; 2]; (2; +∞]. Решим уравнение с модулем на каждом из них:

1. если х(-∞; 2], тогда раскроем модуль уравнения  

|2x-4|= -(2х-4) = -2х+4,

4-2х=1,

-2х=1-4,

-2х=-3,

х=1,5.

Проверим принадлежность  данного корня промежутку (-∞; 2], т.к. 1,5  (-∞; 2],, то х=1,5 является корнем уравнения.

2. если х(2;+∞), то имеем уравнение

|2x-4|=2х-4,

2х-4=1,

2х=5,

х=2,5.

Число 2,5(2;+∞), значит х=2,5 является корнем уравнения.

Ответ: 1,5 ; 2,5.

б) |x+1|+|х+2|=2.

Решение:

|x+1|+|х+2|=2.

Найдём нули под модульных выражений:

х+1=0,

х=-1;

х+2=0,

х=-2.

Числа -2 и -1 разбили область определения на три промежутка, на каждом из них решаем уравнение.

1. если х  (-∞; -2), то выражения под модулями имеют знаки: |x+1|=-(х+1)=-х-1,

|х+2|=-(х+2)=-х-2,

-х-1-х-2=2,

-2х-3=2,

-2х=5,

х=-2,5.

Число  -2,5(-∞; 2), значит х=-2,5 является корнем уравнения.

2. если х-2;-1], то имеем

|x+1|=-(х+1)=-х-1,

|х+2|=х+2, уравнение примет вид:

-х-1+х+2=2,

0х=2-2+1,

0х=1, корней нет.

3. если х+ ∞), то имеем

|x+1|=-х+1,

     |х+2|=х+2.

Уравнение х+1+х+2=2,

2х+3=2,

2х=-1,

х=-0,5.

Число -0,5+ ∞), значит является корнем уравнения.

Ответ: -2,5; -0,5.

в)  |x|+|х+2|=2.

Областью определения уравнения является вся числовая ось.

Найдём нули под модульное выражений: х=0, х+2=0, х=-2.

Числа -2 и 0 разбивают ось на три промежутка, на каждом из них решаем уравнение.

1. если х  (-∞; -2), то имеем:

|x|=-х,

|x+2|=-(х+2)=-х-2,

-х-х-2=2,

-2х=4

 х=-2, число -2 не принадлежит промежутку (-∞; -2),

|x+1|=-(х+1)=-х-1, значит в данном интервале решений нет.

                    2) если х

                        -х+х+2=2,

                         0х=0, любое действительное число х является решением, т.е.  

                        на данном промежутке  решение, это все х

4. если х

2х=0,

х=0.

Число 0 не принадлежит интервалу  а значит, на данном промежутке решений нет.

                        Ответ:

г) |2х-5|=х-1.

Решение:

|2х-5|=х-1.

Найдём нули под модульного выражения:

2х-5=0,

2х=5,

х=2,5.

1. если х  (-∞; -2,5), то имеем уравнение

-2х+5=х-1,

-3х=-6,

х=2.

Число 2 (-∞; -2,5), значит, х=2 является корнем уравнения.

2. если :

2х-5=х-1,

х=4.

Число 4

Ответ: 2;4.

д) |х-1|+ |х-2|=3.

Решение:

|х-1|+ |х-2|=3

Найдём нули под модульных выражений: х-1=0, х=1, и х-2=0,х=2.

1. если х∞; 1), имеем уравнение:

1-х+2-х=3,

-2х=0,

Х=0.

Число 0∞; 1), значит, х=0 корень уравнения.

    2)если х [ 1;2 ], то в этом промежутке уравнение принимает вид:

х-1+2-х=3,

0х=2, корней нет.

3. если х∞), то решим уравнение:

х-1+х-2=3,

2х-3=3,

2х=6,

х=3.

Число 3∞), значит, х=3 корень уравнения.

Ответ:0;3.

2. Можно решать уравнения, содержащие знак модуля с помощью возведения обеих частей уравнения в квадрат.

Пример:

|2-3х|- |5-2х|=0.

Решение.

|2-3х|- |5-2х|=0,

|2-3х|=|5-2х|.

Так как обе части уравнения неотрицательны, то можно возвести обе части уравнения в квадрат.

Получим:

4-12х+9х2=25-20х+4х2,

5х2+8х-21=0,

Х=-3 или х=1,4.

Ответ: -3;1,4.

3)Графический способ решения уравнений, содержащих знак модуля.

Алгоритм метода.

а) Построить графики функций у=f(х), у=q(х).

б) Найти точки пересечения этих графиков, абсциссы которых и будут корнями уравнения.

Графический метод позволяет определить число корней уравнения, найти точные значения корня.

5) Физкультминутка

Обучающиеся выполняют комплекс упражнений, укрепляющие мышцы спины и позвоночник, что позволяет снять напряжение и сохранить осанку.

6)Закрепление нового материала.        

7) Упражнения для самостоятельной работы:

1). |х2 +6 х + 8|= |7х –6|

2). |3х2 –5х – 2 |= |х2 +6х –16|

3). |2х2 –1|=|х2– 2х – 3|

4). |2х –3|=|х +7|

5). |х +7|= |х–2|

6). |х2 –1|= |х +5|

7). |2х –1|=| х +3|

8). |х–2 |=|3х +9|

9). |х–2 |=|3 –3х|

10). |х – х2 –1|= |2х –3 + х2|

11). |х2 +4 х + 3|= |х +1|

12). |х–2 |=3|3 – х|

8)  Компьютерное тестирование (самопроверка знаний)

Работа за компьютерами.  Использование единой коллекции федеральных цифровых образовательных ресурсов (Интернет-ресурсы).

После завершения тестирования  учащиеся проверяют результаты на компьютере.

9)  Подведение итогов урока.

Рефлексия.

Продолжите фразу:

• "Сегодня на уроке я повторил:.."
• "Сегодня на уроке я закрепил:.."
• "Для себя я понял:..."

10)  Домашнее задание

Дистанционное домашнее задание.