Показательные уравнения в заданиях ЕГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Цели:

- рассмотреть способы решения простейших показательных уравнений, показать примеры решения данных уравнений, примеры уравнений, встречающихся в заданиях ЕГЭ  

Решение показательных уравнений

Рассмотрим простейшее показательное уравнение

                                                ах = b,                                              (1)

где а > 0 и a≠1. Область значений функции у = ах — множество положительных чисел. Поэтому в случае b <0 или b =0 уравнение (1) не имеет решений.

Пусть b>0. Функция у = ах на промежутке (- ∞; + ∞ ) возрастает при а>1

(убывает при 0<а<1) и принимает все положительные значения. Применяя теорему о корне (п. 8), получаем, что уравнение (1) при любом положительном а, отличном от 1, и b >0 имеет единственный корень. Для того чтобы его найти, надо b представить в виде b= ас. Очевидно, что с является решением уравнения ах = ас (рис. 134).

П р и м е р 1. Решим уравнение 7x-2 = .

Заметим, что 49 = 72, а =7. Поэтому данное уравнение  можно записать в виде 7x-2 = 7. Следовательно, корнями данного уравнения являются такие числа х, для которых х - 2 =, т. е. х = 2.

Ответ: 2

 Пример2. Решим уравнение  

Перепишем его в виде                              Корнями этого уравнения являются такие числа х, для которых х2 - 2х - 1= 2. Приходим к квадратному уравнению, корни которого — числа 3 и - 1. Ответ: 3; -1.

Пример 3. Решим уравнение 6х+1 + 35-6x-1 =71.

Заметим, что 6 x+1 = 36-6 x-1. Поэтому данное уравнение можно записать в виде 36∙6 x-1 + 35∙6 x-1 = 71, т. е. 71-6 х-1=71, откуда 6x-1=6°, х-1=0, х=1. Ответ: 1.

 Пример 4. Решим уравнение 4х - 5 • 2х + 4 = 0. Сделаем замену переменной t = 2x. Заметим, что 4x = (2x)2 = t2. Поэтому данное уравнение принимает вид

t2-5t + 4 = 0. Найдем решения этого квадратного уравнения: t1 = l и t2 = 4. Решая уравнения 2x=1 и 2х = 4, получаем x=0иx=2. Ответ: 0;2.

Показательные уравнения в заданиях ЕГЭ. Задание В7.