Решение дробных рациональных уравнений. 8 класс
методическая разработка по алгебре (8 класс) по теме

Урок по теме "Решение дробных рациональных уравнений". 8-й класс

Цели урока:

Обучающая:

• закрепление  понятия дробного рационального уравнения;
• рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;
• рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
• обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму.

Развивающая:

• развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
• развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций - анализ, синтез, сравнение и обобщение;
• развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;
• развитие критического мышления;
• развитие навыков исследовательской работы.

Воспитывающая:

• воспитание познавательного интереса к предмету;
• воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
• воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока: урок – закрепление и систематизация знаний, умений и навыков.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! Сегодня на уроке мы рассмотрим с вами различные способы решения дробных рациональных уравнений. На доске написаны уравнения,  посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить?

1. 7х – 14 = 0

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».

2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом, решение уравнений

 Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

1. Как называется уравнение №1? (Линейное.) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа - в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).

Решим уравнение №1

2. Как называется уравнение №3? (Квадратное.) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)

Решим уравнение №3

3. Что представляет собой уравнение №2? (Пропорцию). Что такое пропорция? (Равенство двух отношений.) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов.)

Решим уравнение №2

         Решение:

          9х  = 18 ∙ 5

          9х = 90

          х = 90 : 9

          х = 10

 Ответ: 10

 Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).  Но так как данное уравнение имеет знаменатель, содержащий неизвестное, то необходимо написать …? ОДЗ.

         Решение:

                                                                  ОДЗ:  х ≠ − 2,   х ≠ 4

         (х – 2)(х – 4) = (х + 2)(х + 3)

          х2 – 4х – 2х + 8 = х2 + 3х + 2х + 6

          х2 – 6х – х2 – 5х = 6 – 8

          -11х = -2

          х = -2 : (-11)

           Ответ:  

4. Решим уравнение №4. Какие свойство используются при решении этого уравнения? (Если обе части уравнения умножить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.)

Решение:

    | ∙ 6

          3х – 3 + 4х  = 5х

          7х – 5х = 3

           2х = 3

           х = 3 : 2

           х = 1,5

  Ответ: 1,5

Какое дробно-рациональное уравнение можно  решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).

         Решение:

            | ∙ (7 – х)

         12 = х(7 – х)

         12 = 7х – х2

          х2 – 7х + 12 = 0

          D = 1 > 0,  х1 = 3,  х2 = 4.

          Ответ: 3; 4.

5. Теперь  решим уравнение №7  двумя способами.

         Решение:

         1 способ:

                                                              ОДЗ: х ≠ 0,  х ≠ 5

Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.)

          х² − 3 х + х – 5 – х – 5 = 0

          х² − 3 х – 10 = 0

         D = 49 > 0,  х1 = 5,  х2 = − 2

       х = 5 не удовлетворяет ОДЗ.           Говорят, 5 – посторонний корень.

       Ответ: − 2

       Решение:

      2 способ:

          | ∙ х(х – 5)                                     ОДЗ: х ≠ 0,  х ≠ 5

      х(х – 3) + х – 5 = х + 5

      х² − 3 х + х – 5 – х – 5 = 0

       х² − 3 х – 10 = 0

       D = 49 > 0,  х1 = 5,  х2 = − 2

       х = 5 не удовлетворяет ОДЗ.            5 – посторонний корень.

       Ответ: − 2

Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных уравнений данным способом. Дети сами формулируют алгоритм.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

1. Перенести все в левую часть.
2. Привести дроби к общему знаменателю.
3. Решить уравнение, используя правило: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
4. Исключить из его корней те, которые обращают знаменатель в нуль (с помощью ОДЗ или проверкой)
5. Записать ответ.

Другой способ решения.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

      1.  Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

      2.  Умножить обе части уравнения на общий знаменатель; не забыв написать ОДЗ

      3.  Решить получившееся целое уравнение;

      4.  Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель   (используя ОДЗ или проверкой)

      5.  Записать ответ.  

Также можно решить уравнение, используя основное свойство пропорции, не забыв исключить из его корней те, которые обращают знаменатель в нуль (с помощью ОДЗ или проверкой)

8. Подведение итогов урока.

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными уравнениями, научились решать эти уравнения различными способами. На следующем уроке, дома у вас будет возможность закрепить полученные знания.

Какой метод решения дробных рациональных уравнений, по вашему мнению, является более легким, доступным, рациональным? Не зависимо от метода решения дробных рациональных уравнений, о чем необходимо не забывать? В чем «коварство» дробных рациональных уравнений?

Всем спасибо, урок окончен.