РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА ЛИНЕЙНЫЕ МНОЖИТЕЛИ. ТЕОРЕМА ВИЕТА ДЛЯ ПРИВЕДЁННОГО МНОГОЧЛЕНА n-Й СТЕПЕНИ
учебно-методический материал по алгебре (10 класс) по теме

Статья/Физика и математика – Математика

Пономарёва О.Ф. 

РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА ЛИНЕЙНЫЕ МНОЖИТЕЛИ. ТЕОРЕМА ВИЕТА ДЛЯ ПРИВЕДЁННОГО МНОГОЧЛЕНА n-Й СТЕПЕНИ

МКОУ Кумылженская СОШ № 1 имени Знаменского А.Д.

        В данной работе рассматривается метод разложения многочленов n-й степени на линейные множители, решение приведённых уравнений n-й степени. Даны алгоритмы решения и краткости рассуждений.

        Ключевые слова: разложение многочленов n-й степени на линейные множители, соотношения между корнями и коэффициентами приведённого многочлена третьей и четвёртой степеней.

        Практическое значение имеет умение быстро производить разложение многочленов n-й степени на линейные множители. В своей практике считаю весьма важным и даже необходимым добиваться от учащихся именно такого способа решения приведённых уравнений n-й степени.

Повторив определение и свойства приведённого квадратного трёхчлена:

1. Р(х) = х2  + pх + q — приведённый квадратный трёхчлен.
2. Разложение квадратного трёхчлена на множители:

если х1 , х2  — корни приведённого квадратного трёхчлена, то х2  + pх + q = (х — х1) (х —  х2 ).

На основании этого свойства можно составить квадратный трёхчлен по его корням.

Задание 1. Составить квадратный трёхчлен по его корням  х1 = 3; х2 = 5.

Решение.

х1 = 3; х2 = 5, то (х — 3) (х — 5) = х2 — 8х + 15.

Ответ: х2 — 8х + 15.

3. Теорема Виета для приведённого квадратного трёхчлена.

Если  х1 , х2  — корни многочлена  х2  + pх + q, то p =  — (х1 + х2), q =  х1  • х2. 

Решая приведённые квадратные уравнения, отыскиваются корни среди делителей свободного члена.

Задание 2. Решить уравнение  х2  — 5 х + 6 = 0.

Решение.

х2  — 5 х + 6 = 0, х1 = 2; х2 = 3,

так как  —  (х1  + х2)  = — 5, х1  • х2  = 6.

Ответ: х1  = 2; х2  = 3.

Подумайте над следующим вопросом: «Справедливы ли эти свойства для произвольного многочлена n-й степени?» Используя сравнение и аналогию, учащиеся дают определение приведённого многочлена n-й степени и формулируют для него свойство, аналогичное свойству II. «Если х1, х2, х3,..., хn — корни приведённого многочлена  Р(х) степени n, то Р(х) = (х — х1) (х —  х2)... (х — хn)».  

Задание 3. Составить приведённый многочлен Р(х) 3-й степени,

если х1 = 1, х2 = 2, х3 = ―1.

Решение.

Так как Р(х) = (х — х1 ) (х —  х2 )... (х — хn ),

где х1, х2, х3,…, хn — корни приведённого многочлена Р(х) степени n,

то Р(х)= (х — 1 ) (х — 2 ) (х + 1 ).

Произведя раскрытие скобок, имеем: Р(х) = х3 — 2 х2  —  х + 2.

Ответ: х3 — 2 х2  —  х + 2.

Задание 4. Составить приведённый многочлен Р(х) 4-й степени, если х1 =  х2 = √2, х3 = х4 = ―√2.

Решение.

Так как Р(х) = (х — х1 ) (х —  х2 )... (х — хn ),

где х1, х2, х3,…, хn — корни приведённого многочлена Р(х) степени n,

то Р(х)= (х —  √2) (х — √2) (х + √2) (х + √2).

Используя формулу сокращённого умножения (а2 — в2) =(а — в) (а + в),

имеем: Р(х) = (х2 — 2)2, Р(х) = х4  — 4 х2+ 4.

Ответ: х4  — 4 х2+ 4.

Используя разложение приведённого многочлена n-й степени на множители, выведем соотношения между корнями и коэффициентами

приведённого многочлена третьей степени, четвёртой степени.

1. Если многочлен х3 + pх2 + qx + r имеет корни х1, х2, х3, то верны равенства: р  =  ― (х1 + х2 + х3),  q = x1х2 + х2х3 + х1х3, r =  ―  х1 х2 х3. 
2. Если многочлен х4 + pх3 + qx2 + rх + s имеет корни х1, х2, х3, х4, то верны равенства: р = ― (х1 + х2 + х3 + х4),  q = x1х2 + x1х3 + x1х4 +  х2х3 + х2х4 +х3 х4, r = ― (х1 х2 х3 + х1 х2 х4 + х2 х3 х4),  s = х1 х2 х3 х4.   

   Задание 5. Числа х1, х2, х3 ― корни  многочлена D(х) = 3х3 + 5х2 + х + 4.

Определить: 1) х1 + х2 + х3; 2) х1 х2 х3; 3) 1/ х1 + 1/х2 + 1/х3.

Решение.

Так как D(х) = 3х3 + 5х2 + х + 4, то Р(х) = х3 + 5/3 • х2 + 1/3 • х + 4/3,

где х1, х2, х3 — корни приведённого многочлена Р(х) степени 3-й.

х1 + х2 + х3 = — р, то  1) х1 + х2 + х3 = — 5/3.

Используя r = ― х1 х2 х3 , имеем: 2) х1 х2 х3 = ― 4/3.

3) Преобразуем: 1/ х1 + 1/х2 + 1/х3 =

х2 х3 : (х1 х2 х3) + х1 х3 : (х1 х2 х3) + х1 х2 : (х1 х2 х3)  =

 (х1 х2 + х1 х3 + х2 х3) :  х1 х2 х3 = 1/3 : (― 4/3) =  ― 1/4.

Ответ: — 5/3; ― 4/3; ― 1/4.

Задание 6. Решить уравнение  х3 — 5 х2 — х + 21 = 0.

Решение.

х3 — 5 х2 — х + 21 = 0,

Так как х1  + х2  + х3 = 5;  x1х2 + х2х3 + х1х3 = — 1;  х1 х2 х3 = — 21.

Решая систему из трёх уравнений с тремя неизвестными,

отыскиваем корни данного уравнения:  х1 = 1 — 2√2; х2 = 3; х3 = 1 + 2√2.

Ответ: х1 = 1 — 2√2; х2 = 3; х3 = 1 + 2√2.

Применяя данный метод разложения приведённого многочлена n-й степени на множители, от учащихся не нужно требовать подробной записи, после условия исходного приведённого многочлена n-й степени можно сразу записывать разложение на множители.  

Отметим, что рассмотренный метод позволяет быстро определять корни приведённых уравнений n-й степени и уравнений общего вида n-й степени, что имеет важное практическое значение для учащихся во время проведения внешних аттестаций, различного типа исследований качества знаний.

Литература:

1. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / под ред. А. Б. Жижченко.– 3-е изд. – М. : Просвещение, 2010. – 368 с.
2. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учебное пособие для студентов. – М.: Просвещение, 2002. – 224 с.