«РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА ЛИНЕЙНЫЕ МНОЖИТЕЛИ. ТЕОРЕМА ВИЕТА ДЛЯ ПРИВЕДЁННОГО МНОГОЧЛЕНА n-Й СТЕПЕНИ»
проект по алгебре (10 класс) по теме
Проектно-исследовательская работа, в которой выявлены новые методы разложения многочленов n-й степени на линейные множители. Данный проект расширяет возможности для обучения новым методам решения приведённых уравнений n-й степени.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 razlozhenie_mnogochlenov_na_lineynye_mnozhiteli.pptx | 646.15 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Математика ─ наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Без современной математики с её развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.
Актуальность заключается в необходимости понимать, как действует метод разложения многочленов n-й степени на линейные множители.
Проблема: насколько разнообразны способы разложения многочленов n-й степени на линейные множители?
Цели: исследование и выявление новых методов разложения многочленов n-й степени на линейные множители; решение приведённых уравнений n-й степени; совершенствование своих возможностей в области проектной деятельности и познания процесса изменения величин; воспитание чувства гордости за науку.
Задачи проекта: развитие интереса к исследовательско-познавательной деятельности, популяризация знаний; раскрытие творческого потенциала; развитие коммуникативных навыков; формирование управленческих умений (умения понимать поставленную задачу, понимать последовательность действий для выполнения поставленной задачи, планировать свою работу); формирование социального опыта (навыков организации, осуществление сотрудничества в процессе совместной работы, воспитание ответственности за порученное дело).
Методы: поисково-исследовательский метод с использованием научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в Интернет-ресурсах; анализ данных, полученных в ходе исследования.
Вспомним определение и свойства приведённого квадратного трёхчлена: приведённый квадратный трёхчлен: Р( х ) = х 2 + p х + q , где х ― переменная, p и q ― некоторые числа; разложим квадратный трёхчлен на множители: х 2 + p х + q = ( х — х 1 ) ( х — х 2 ), где х 1 , х 2 — корни приведённого квадратного трёхчлена .
Задание 1. Составить квадратный трёхчлен по его корням х 1 = 3; х 2 = 5 . Решение. На основании свойства приведённого квадратного трёхчлена, имеем: х 1 = 3; х 2 = 5, то ( х — 3) ( х — 5) = х 2 — 8х + 15. Ответ: х 2 — 8х + 15.
Задание 2. Решить уравнение х 2 — 5 х + 6 = 0. Решение. х 2 — 5 х + 6 = 0, х 1 = 2; х 2 = 3, так как — (х 1 + х 2 ) = — 5, х 1 • х 2 = 6. Ответ: х 1 = 2; х 2 = 3.
«Справедливы ли эти свойства для произвольного многочлена n-й степени?» Если х 1 , х 2 , х 3 ,..., х n — корни приведённого многочлена Р( х ) степени n , то Р( х ) = ( х — х 1 ) ( х — х 2 )... ( х — х n ).
Задание 3. Составить приведённый многочлен Р( х ) 3-й степени, если х 1 = 1, х 2 = 2, х 3 = ―1. Решение. Так как Р( х ) = ( х — х 1 ) ( х — х 2 )... ( х — х n ), где х 1 , х 2 , х 3 ,…, х n — корни приведённого многочлена Р( х ) степени n , то Р( х )= ( х — 1 ) ( х — 2 ) ( х + 1 ). Произведя раскрытие скобок, имеем: Р( х ) = х 3 — 2 х 2 — х + 2. Ответ: х 3 — 2 х 2 — х + 2.
Задание 4. Составить приведённый многочлен Р( х ) 4-й степени, если х 1 = х 2 = √2, х 3 = х 4 = ―√2. Решение. Так как Р( х ) = ( х — х 1 ) ( х — х 2 )... ( х — х n ), где х 1 , х 2 , х 3 ,…, х n — корни приведённого многочлена Р( х ) степени n , то Р( х )= ( х — √2) ( х — √2 ) ( х + √2 ) ( х + √2 ). Используя формулу сокращённого умножения а 2 — в 2 =(а — в) (а + в), имеем: Р( х ) = (х 2 — 2) 2 , Р( х ) = х 4 — 4 х 2 + 4. Ответ: х 4 — 4 х 2 + 4.
Вывод соотношений между корнями и коэффициентами приведённого многочлена третьей и четвёртой степеней. Если многочлен х 3 + p х 2 + q x + r имеет корни х 1 , х 2 , х 3 , то верны равенства: р = ― (х 1 + х 2 + х 3 ), q = x 1 х 2 + х 2 х 3 + х 1 х 3 , r = ― х 1 х 2 х 3 . Если многочлен х 4 + p х 3 + q x 2 + r х + s имеет корни х 1 , х 2 , х 3 , х 4 , то верны равенства: р = ― (х 1 + х 2 + х 3 + х 4 ), q = x 1 х 2 + x 1 х 3 + x 1 х 4 + х 2 х 3 + х 2 х 4 +х 3 х 4 , r = ― (х 1 х 2 х 3 + х 1 х 2 х 4 + х 2 х 3 х 4 ), s = х 1 х 2 х 3 х 4 .
Задание 5. Числа х 1 , х 2 , х 3 ― корни многочлена D ( х ) = 3х 3 + 5х 2 + х + 4. Определить: 1) х 1 + х 2 + х 3 ; 2) х 1 х 2 х 3 ; 3) 1/ х 1 + 1/х 2 + 1/х 3 . Решение. Так как D ( х ) = 3х 3 + 5х 2 + х + 4, то Р( х ) = х 3 + 5/3 • х 2 + 1/3 • х + 4/3, где х 1 , х 2 , х 3 — корни приведённого многочлена Р( х ) степени 3-й.
х 1 + х 2 + х 3 = — р , то 1) х 1 + х 2 + х 3 = — 5/3. Используя r = ― х 1 х 2 х 3 , имеем: 2) х 1 х 2 х 3 = ― 4/3. 3) Преобразуем: 1/ х 1 + 1/х 2 + 1/х 3 = х 2 х 3 : (х 1 х 2 х 3 ) + х 1 х 3 : (х 1 х 2 х 3 ) + х 1 х 2 : (х 1 х 2 х 3 ) = (х 1 х 2 + х 1 х 3 + х 2 х 3 ) : (х 1 х 2 х 3 ) = 1/3 : (― 4/3) = ― 1/4. Ответ: — 5/3; ― 4/3; ― 1/4.
Задание 6. Решить уравнение х 3 — 5 х 2 — х + 21 = 0. Решение. х 3 — 5 х 2 — х + 21 = 0, Так как х 1 + х 2 + х 3 = 5; x 1 х 2 + х 2 х 3 + х 1 х 3 = — 1; х 1 х 2 х 3 = — 21. Решая систему из трёх уравнений с тремя неизвестными, отыскиваем корни данного уравнения: х 1 = 1 — 2√2; х 2 = 3; х 3 = 1 + 2√2. Ответ: х 1 = 1 — 2√2; х 2 = 3; х 3 = 1 + 2√2.
Результаты работы: апробация созданного проекта на: внеурочной деятельности школьников профильных групп; элективных занятиях; на заседании МО учителей математики, физики, информатики и ИКТ. Участие в международной научно-практической конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований 2015».
Вывод: Доступность, логичность материала может быть использована для подготовки к различным типам исследований качества знаний учащихся. Отметим, что рассмотренный метод позволяет быстро определять корни приведённых уравнений n-й степени и уравнений общего вида n-й степени, производить разложение многочленов n-й степени на линейные множители.
Литература: Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват . учреждений : базовый и профил . уровни / под ред. А. Б. Жижченко .– 3-е изд. – М. : Просвещение, 2010. – 368 с. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учебное пособие для студентов. – М.: Просвещение, 2002. – 224 с.
Спасибо за внимание!