Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения.
презентация к уроку по алгебре (8 класс) на тему

Конспект урока

           по алгебре.

Тема: «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения».

  МОУ СОШ № 27

Выполнила: учитель математики и информатики МОУ СОШ №27

Карлышева Е. В.

Сухие строки уравнений –

В них сила разума влилась.

В них объяснение явлений,

Вещей разгаданная связь.

        Л.М.Фридман

Тема урока: «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения».

Цели урока:

• Образовательные:

- познакомиться  с понятиями: квадратное уравнение и неполное квадратное уравнение;

-  научиться решать неполные квадратные уравнения.

• Развивающие:

- развитие мышления, анализа, синтеза, выделение общего.

• Воспитательные:

- становление трудовых качеств, развитие интереса к предмету.

- развитие коллективизма.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование: проектор, экран, программное обеспечение, наглядный материал (презентация), раздаточный материал (карточки, таблица с методами решения неполных квадратных уравнений).

Ход урока.

1. Организационный момент.

        Ребята! Квадратное уравнение – это фундамент, на котором построено огромное здание алгебры. Квадратные уравнения применяются начиная с 8-го класса и до окончания вуза. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств.

2. Изучение нового материала.

        1. Историческая справка.

        Простые уравнения люди научились решать более трех тысяч лет назад в Древнем Египте, Вавилоне и только 400 лет назад научились решать квадратные уравнения. Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.

        Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники  XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений было сформулировано в Европе в 1544 г. М.Штифелем.

        Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

        Именно в XVI – XVII вв.  происходит бурное развитие науки, прежде всего в области математики и естествознания, и на этой основе складывается новое представление о Вселенной.        

        2. Задача, приводящая к квадратному уравнению.

        Прежде, чем приступить к теме урока, я хочу предложить вам одну задачу. Эта задача пришла к нам из Древней Индии XII века  и носит название задача Бхаскары.

                На две партии разбившись,

                Забавлялись обезьяны.

                Часть восьмая их в квадрате

                В роще весело резвилась.

                С криком радостным часть восьмая

                Воздух свежий оглашали.

                Вместе сколько ты скажи мне,

                Обезьян там в роще было?

Решение задачи:

Пусть х – количество обезьян в роще.

1 партия – (1/8х)²

2 партия – 1/8х

Составим и решим уравнение:

(1/8х)² + 1/8х = х,

1/64х² + 1/8х – х = 0,

х² + 8х – 64х = 0,

х² - 56х = 0.

        3. Определение квадратного уравнения.

        Получили уравнение, которое нам ещё не знакомо и узнать пока сколько же было обезьян не сможем. Но к концу урока, вы сами мне уже сможете ответить на вопрос задачи. Так что же уравнение мы получили?

Такое уравнение называется квадратным.

Т. е. уравнение вида:

ax² + bx + c = 0, (а ≠ 0),

где х – переменная,

       a – первый коэффициент,

       b – второй коэффициент,

       c – свободный член.

         Как вы думаете, почему уравнение такого вида называются       квадратными?

                Индивидуальная работа по карточкам №1.

№1.  Определите коэффициенты и свободные члены  в уравнениях:

        4. Определение неполного квадратного уравнения.

        Давайте попробуем определить коэффициенты в задаче Бхаскары.

х² - 56х = 0,  a = 1, b = -56, c = 0.

        Скажите, пожалуйста, чего не хватает в данном уравнении?

        Если в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0, (а ≠ 0), хотя бы один из коэффициентов равен 0 (кроме а), то такое уравнение называется  неполным квадратным уравнением.

        Неполные квадратные уравнения бывают 3 видов:

        (в каждом из примеров обсуждать вопрос о количестве корней).

1. тип ax² + c = 0 (c ≠ 0)

Пример:

5х² - 125 = 0,                4х² + 64 = 0,

5х² = 125,                 4х² = - 64,

х² = 25,                         х² = - 64,

х = ±5.                        корней нет.

Ответ: ±5.                Ответ: корней нет.

2) тип ax² + bx = 0 (b ≠ 0)

Пример:

4х² + 9х = 0,

х(4х + 9) = 0,

Х = 0 или  4х + 9 = 0,

                    4х = -9,

                      х = -2,5,

Ответ: -2,5; 0.

3. тип ax²  = 0

5х² = 0,

х = 0.

Ответ: 0.

        А теперь решение неполных квадратных уравнений сведём в таблицу, которую я каждому из вас раздам.

        Посмотрите на таблицу и ответьте на вопрос:

Какое количество корней может иметь квадратное уравнение?

3. Закрепление.

        Групповая работа по карточкам №2.

        Делимся на две команды, каждой команде даётся по карточке с заданиями и координатная полуплоскость. Одна из двух координат дана, необходимо решить квадратное уравнение и записать второй координатой корень уравнения.

№2. Отметить в координатных полуплоскостях точки, которые являются решениями неполных квадратных уравнений.

В результате у вас должна получиться звезда.

        Парная работа по карточкам № 3.

        Ребята, предлагаю вам следующую игру. Каждому ряду я раздам задания. Первая парта в паре решает первое задание, передаёт карточку второй парте, вторая парта 2 – ое задание решает и передаёт 3 - ей и т. д. Какой ряд быстрее и правильнее решит, тот выиграл.

№3. «Цепочка». Решите уравнения.

           1 ряд.                      2 ряд.                             3 ряд.

1. 9x² - 1 = 0                1. 16х² - 9 = 0                1. 25х² - 4 = 0
2. 1 + 4y² = 0                2. 5у² +2 = 0                2. 3у² + 1 = 0
3. 4x² - 3x = 0                3. – 2х² + 5х = 0                3. 6х² - 4х = 0
4. -5x² + 7x = 0        4. 4х² - 9х = 0                4. -3х² + 9х = 0
5. – 8x² = 0                5. 10х² = 0                        5. 23х² = 0

Сверяют свои ответы с ответами, которые выданы на экране.

        Вернёмся к задаче, рассмотренной в начале урока, и попробуем ответить на поставленный вопрос.

х² - 56х = 0,

х(х – 56) = 0,

х = 0 или х – 56 = 0,

               х = 56.

Ответ 56 обезьян.

4. Итог урока.

1. С какими новыми уравнениями мы познакомились?

2.  Какой вид имеют квадратные уравнения?

3. Какое уравнение называется неполным квадратным уравнением?

Домашнее задание: придумать к каждому виду неполного квадратного уравнения примеры, а на следующем уроке мы их с вами будем решать.

Карточка №1. Определите коэффициенты и свободные члены в уравнениях:

Карточка №2. Отметить в координатных полуплоскостях точки, которые являются решениями неполных квадратных уравнений.

Карточка №3. «Цепочка». Решите уравнения.

           1 ряд.                      2 ряд.                             3 ряд.

1. 9x² - 1 = 0                1. 16х² - 9 = 0                1. 25х² - 4 = 0
2. 1 + 4y² = 0                2. 5у² +2 = 0                2. 3у² + 1 = 0
3. 4x² - 3x = 0                3. – 2х² + 5х = 0                3. 6х² - 4х = 0
4. -5x² + 7x = 0        4. 4х² - 9х = 0                4. -3х² + 9х = 0
5. – 8x² = 0                5. 10х² = 0                        5. 23х² = 0